研究一個(gè)圓錐曲線的難點(diǎn)

摘要：平面向量具有代數(shù)——坐標(biāo)表示和幾何表示的特點(diǎn)，這就使其成為解決圓錐曲線問(wèn)題的重要載體.縱觀近幾年的模考和高考試題，很多問(wèn)題往往以圓錐曲線為主線，融向量、函數(shù)、方程等知識(shí)于一體，考查學(xué)生的思維能力、運(yùn)算求解能力及利用數(shù)形結(jié)合思想解題等綜合能力.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;向量;解法

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0065-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：賀鳳梅（1979-），女，湖北省隨州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

1 試題呈現(xiàn)

題目點(diǎn)P為雙曲線x2-y2=1左支上任意一點(diǎn)，EF為圓C：（x-2）2+y2=4的任意一條直徑，則PE·PF的最小值為（）.

A.3B.4C.5D.9

2 總體分析

此題是2021年9月的一道高三調(diào)研試題，題干簡(jiǎn)潔，解法靈活，不同的解法思維量不同，運(yùn)算量不同，算得上是一道經(jīng)典題目. 我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生解答此題僅停留在很基本的認(rèn)知階段，相當(dāng)多的學(xué)生又因?yàn)橛?jì)算不過(guò)關(guān)等原因不同程度卡殼，無(wú)法完成解答. 筆者試著將此題進(jìn)行全方位剖析和解答，以期達(dá)到拋磚引玉之功效.

3 試題解答

解法1圓C的圓心為C（2，0），半徑r=2.

當(dāng)EF所在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-2），

代入（x-2）2+y2=4，得

（x-2）2+[k（x-2）]2=4.

整理，得（x-2）2=4k2+1.

設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），不妨設(shè)x1<x2，

解得x1=2-2k2+1，x2=2+2k2+1.①

從而y1=-2kk2+1，y2=2kk2+1.②設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則x20-y20=1.③

而PE=（x1-x0，y1-y0），PF=（x2-x0，y2-y0），

所以PE·PF=x1x2-（x1+x2）x0+x20+y1y2-（y1+y2）y0+y20.

將①②③代入整理，得

PE·PF=2x20-4x0-1（x0≤-1）.

記f（x0）=2x20-4x0-1，

則f（x0）=2x20-4x0-1在x0∈（-

SymboleB@

，-1]上單調(diào)遞減.

所以x0=-1時(shí)，f（x0）取最小值，且為5.

即PE·PF的最小值為5.

當(dāng)EF斜率不存在時(shí)，方程為x=2.

則E（2，-2），E（2，2），P（x0，y0）.

所以PE·PF=（2-x0，-2-y0）·（2-x0，2-y0）=2x20-4x0-1.

同樣求得PE·PF的最小值為5.

評(píng)注因?yàn)橹本€過(guò)已知點(diǎn)，可設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化得出關(guān)于x0的二次函數(shù)，最后利用單調(diào)性求出最小值. 此解法看似思路自然，比較符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，但從呈現(xiàn)的解題過(guò)程來(lái)看，基本上是一道解答題的運(yùn)算量，從嚴(yán)密性的角度來(lái)看，還要考慮斜率不存在的情況. 所以作為選擇題這樣求解，的確得不償失.

解法2根據(jù)直線EF過(guò)點(diǎn)C（2，0），可設(shè)直線方程為x=my+2，代入（x-2）2+y2=4，得

[（my+2）-2]2+y2=4.

整理，得y2=4m2+1.

解得y1=-2m2+1，y2=2m2+1.

解得x1=-2mm2+1+2，x2=2mm2+1+2.

結(jié)合解法1，整理求解同樣可得

PE·PF=2x20-4x0-1（x0≤-1）.

故求得PE·PF的最小值為5.

評(píng)注此解法所設(shè)方程為直線的橫截式，可以避免討論斜率是否存在的情形，但計(jì)算量仍然不小.那么，有沒(méi)有簡(jiǎn)單的求解方法，實(shí)現(xiàn)小題小解呢？

解法3由向量加法的三角形法則，得

PE=PC+CE，PF=PC+CF.

因?yàn)镋F為圓C的直徑，所以CF=-CE，且CE=CF=r=2.

所以PE·PF=（PC+CE）·（PC-CE）

=PC2-PE2

=PC2-4.

又點(diǎn)P在雙曲線左支上，當(dāng)點(diǎn)P為雙曲線左頂點(diǎn)時(shí)，PC取得最小值，且最小值為5，從而得出PE·PF的最小值為5.

解法4由向量的減法，得

PE=CE-CP，PF=CF-CP.

所以PE·PF=（CE-CP）·（CF-CP）

=CE·CF-（CE+CF）·CP+CP2.

結(jié)合解法1，得

CE·CF=-CE2=-4，CE+CF=0.

所以PE·PF=CP2-4.

下同解法1.

評(píng)注解法3和解法4利用向量加法的三角形法則和向量的減法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時(shí)結(jié)合題目已知條件和圖象，注意到EF為圓C的直徑，所以CF=

-CE，即CF與CE互為相反向量，且CE=CF=r=2，實(shí)現(xiàn)了化簡(jiǎn)，最終結(jié)合雙曲線的圖象性質(zhì)，可求出最小值，這是數(shù)形結(jié)合思想解題的最直觀的體現(xiàn)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高解題效率，節(jié)省解題時(shí)間.

解法5由解法1可得PE·PF=CP2-4.

設(shè)P（x，y），則x2-y2=1.

所以PE·PF=CP2-4

=（x-2）2+y2-4

=2x2-4x-1.

令g（x）=2x2-4x-1，x≤-1，

結(jié)合解法1可知，

x=-1時(shí)，g（x）min=g（-1）=5.

從而PE·PF的最小值為5.

評(píng)注此解法利用向量實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化后，再結(jié)合二次函數(shù)求最值，方法簡(jiǎn)單可行，學(xué)生也容易掌握.

4 舉一反三

題目（2018-2019學(xué)年山東省泰安第一中學(xué)高二上學(xué)期期中考試）P為橢圓x216+y215=1左支上任意一點(diǎn)，EF為圓N：（x-1）2+y2=4的任意一條直徑，則PE·PF的取值范圍為.

解法1PE·PF=（PN+NE）·（PN+NF）

=PN2-NE2

=PN2-4，

而a-c≤PN≤a+c，

所以3≤PN≤5.

所以PE·PF∈[5，21].

解法2PE·PF=（NE-NP）·（NF-NP）

=NE·NF-（NE+NF）·NP+NP2，

而NE·NF=-NE2=-4，NE+NF=0，

所以PE·PF=NP2-4.

下同解法1.

解法3由解法1可得PE·PF=NP2-4.

設(shè)P（x，y），則x216+y215=1.

所以PE·PF=NP2-4

=（x-1）2+y2-4

=116x2-2x+12.

令g（x）=116x2-2x+12，

而-4≤x≤4，

所以g（x）=116x2-2x+12

在x∈[-4，4]上單調(diào)遞減.

所以x=-4時(shí)，g（x）max=g（-4）=21;

x=4時(shí)，g（x）min=g（4）=5.

從而PE·PF的取值范圍為[5，21].

解法4 由解法1或解法2可得

PE·PF=NP2-4.

由x216+y215=1，

設(shè)x=4cosα，y=15sinα，

所以PE·PF=NP2-4

=（4cosα-1）2+（15sinα）2-4

=cos2α-8cosα+12.

令g（cosα）=cos2α-8cosα+12，

而-1≤cosα≤1，

所以g（cosα）=cos2α-8cosα+12在cosα∈[-1，1]上單調(diào)遞減.

所以cosα=-1時(shí)，g（cosα）max=g（-1）=21;

cosα=1時(shí)，g（cosα）min=g（1）=5.

從而PE·PF的取值范圍為[5，21].

5 解題反思

解圓錐曲線和平面向量交匯題的方法通常有代數(shù)法和幾何法.代數(shù)法的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將平面向量用坐標(biāo)表示，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則（加、減、數(shù)乘）、運(yùn)算律及數(shù)量積的意義，最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系;也可以利用幾何法，關(guān)鍵是利用加法的三角形法則、向量的減法、相反向量等，當(dāng)然還要結(jié)合圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算和轉(zhuǎn)化.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，歸根結(jié)底在于培養(yǎng)學(xué)生的理解能力和思維能力，提高解題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)十分重要的任務(wù)，始終貫穿于高中數(shù)學(xué)教學(xué).在解題教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題策略和方法，不斷進(jìn)行分析和思考，從而深化對(duì)問(wèn)題的理解，真正掌握解題的本質(zhì)，探索解題的思路和規(guī)律.這樣做更有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]?李昭平.例談圓錐曲線與平面向量交匯題[J].中學(xué)生數(shù)理化，2006（01）：12-16.

[2] 駱金威.高考數(shù)學(xué)解題的四大能力和四大層次[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（19）：84.

[責(zé)任編輯：李璟]