合理轉化 妙設巧算

摘要：一題多解是培養能力、體現素養的一種行之有效的方法，它對溝通各模塊知識之間的聯系，開拓解題思路，培養思維能力，激發學習興趣都大有裨益.文章從一道高三診斷性試題的解法入手，探究一題多解在教學中的應用.

關鍵詞：一題多解;巧算;探究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0051-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：李小蛟（1984.10-），男，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：四川省數學會重點立項課題“提升學生核心素養的高中數學課程校本化研究”（項目編號：2020SXHJY004）.[FQ）]

1 題目呈現

題目已知等邊ΔABC的三個頂點均在圓x2+y2=4上，點P（3，6），則PA·PB+PA·PC的最小值為（）.

A.14B.10C.8D.2

2 解法探析

解法1令D為BC中點，則PB+PC=2PD.

令點A（2cosθ，2sinθ），因為O為△ABC的重心，則AO=2OD.

所以D（-cosθ，-sinθ）.

所以PA=（2cosθ-3，2sinθ-6），

PD=（-cosθ-3，-sinθ-6）.

所以PA·PB+PA·PC=2PA·PD

=2（7-3cosθ-6sinθ）

=14-6cos（θ-φ）（tanφ=2） .

故當φ=θ時，PA·PB+PA·PC有最小值為8.

評注將和向量利用向量加法的三角形法則PB+PC=2PD合理轉化，從而將題目所求轉化為簡單的數量積求解，再利用重心分中線所成比例巧妙化歸，利用圓上點的參數方程簡化運算，回歸到三角函數問題求最值.

解法2由題意，得

∠AOB=∠BOC=∠COA=23π.

所以不妨令A（2cosθ，2sinθ），

則B（2cos（θ+23π），2sin（θ+23π）），

C（2cos（θ-23π），2sin（θ-23π））.

所以PA=（2cosθ-3，2sinθ-6），

PB=（2cos（θ+23π）-3，

2sin（θ+23π）-6），

PC=（2cos（θ-23π）-3，

2sin（θ-23π）-6）.

代入化簡，得

PA·PB+PA·PC=14-6cos（θ-φ）（tanφ=2）.

故當φ=θ時，PA·PB+PA·PC有最小值為8.

評注圓上點的坐標之間相互依存，圓心角為定值，所以直接采用圓心角之間的關系三角換元（參數方程），直接代入化簡.

解法3由題意可得O為ΔABC的重心，

故OA+OB+OC=0.

所以PA·PB+PA·PC

=（OA-OP）（OB-OP）+（OA-OP）（OC-OP）

=14-2OA·OP-（OP·OB+OP·OC）

=14-2OA·OP+OA·OP

=14-OA·OP

=14-OA×OP×cos<OA，

OP>

=14-6cos<OA，OP>≥8，

當且僅當OA，OP同向時取等.評注利用三角形中重心與頂點的向量關系OA+OB+OC=0將分散的向量數量積運算轉化為以O為起點的向量，讓向量的數量積運算回歸定義，回歸到本質（即長度與角度的運算），此法是解決平面向量數量積最原始的思路起點，也是數學概念、公式最模型化的運用.解法4不妨設P在圓x2+y2=9上運動，于是可令

A（0，2），B（-3，-1），P（3cosθ，3sinθ），

PA=（-3cosθ，2-3sinθ），

PB=（-3-3cosθ，-1-3sinθ），

PC=（3-3cosθ，-1-3sinθ），

所以PA·PB+PA·PC

=PA·（PB+PC）

=（-3cosθ，2-3sinθ）·（-6cosθ，-2-6sinθ）

=18cos2θ-4-6sinθ+18sin2θ

=14-6sinθ≥8（當sinθ=1時取等）.

解法5不妨設P在圓x2+y2=9上運動，于是可令A（0，2），B（-3，-1），P（x，y），

PA=（-x，2-y），

PB=（-3-x，-1-y），

PC=（3-x，-1-y），

所以PA·PB+PA·PC

=PA·（PB+PC）

=（-x，2-y）·（-2x，-2-2y）

=2x2-4-2y+2y2

=14-2y.

因為y∈-3，3 ， 所以PA·PB+PA·PB≥8.

評注由于三角形上三點之間相互依存，雖位置不定但始終存在任意兩點距離相等的聯系，故可將三角形頂點固定，將點P看成圓上的動點，將多動點問題轉化為單動點問題，再利用圓的參數方程將坐標雙變量轉化為角度的單變量，回歸三角，減少運算，直接利用三角函數的有界性求取最值.

解法6令A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由題意可得O為△ABC的重心.

故x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0.

所以PA·PB+PA·PC

=（x1-3，y1-6）·（x2-3，y2-6）+（x2-3，y2-6）·（x3-3，y3-6）

=x1（x2+x3）+y1（y2+y3）-3x1-6y1+18

=-x21-y21-3x1-6y1+18

=14-3x1-6y1.

不妨設x1=2cosθ，y1=2sinθ，

則原式=14-6cos（θ-φ）（tanφ=2）.

所以當θ=φ時，原式有最小值為8.

評注利用三角形重心的坐標公式將三個頂點坐標建立等量關系，將平面向量數量積回歸到坐標運算，通過三頂點在圓上，進行一系列代換，轉化為頂點中一點的坐標關系運算，再次利用參數方程.

解法7由解法6，得

PA·PB+PA·PC=14-3x1-6y1.

令s=14-3x-6y，

記直線l方程為y=16（-3x+14+s），

顯然，當直線l與圓x2+y2=4相切且在圓上方時有（14-s6）max=6，此時（s）min=8.

評注考慮到s=14-3x-6y直線中s的幾何意義，故可以將問題轉化為線性規劃問題處理，此法直接利用直線與圓相切時得到最值;當然也可以將直線l的方程與圓方程聯立，通過直線與圓有公共點（Δ≥0）解答.

解法8PA·PB+PA·PC

=14[（PA+PB）2-（PA-PB）2+（PA+PC）2-（PA-PC）2]，

令M，N分別為AB，AC中點，Q為MN中點，

則原式=PM2+PN2-6

=12（PM+PN）2+（PM-PN）2-6

=12（4PQ2+3）-6.

又因為點Q在圓x2+y2=14上運動，

所以PQmin=OP-12=52，此時原式有最小值為8.

評注平面向量運算中的極化恒等式a·b=14（a+b）2-（a-b）2往往將向量運算中的變量轉化為向量和與差的定量，本題中要注意到PM+PN=2PQ，PM-PN=MN=3.在求解定點P與動點Q距離時，又充分考慮到點Q在定圓x2+y2=14上運動，所以又將PQ的最值轉化為定點P與定圓圓心O的距離.

解法9令D為BC中點，Q為AD中點，

則原式=2PA·PD=12（PA+PD）2-（PA-PD）2=12（4PQ2-DA2）=12（4PQ2-9）.

又因為Q在圓x2+y2=14上運動，

所以PQmin=OP-12=52，此時原式有最小值為8.

評注首先利用平面向量和運算法則將PB+PC轉化為2PD，再利用極化恒等式進行變換.極化恒等式這個概念在高中教材中雖然沒有提及，實際推導比較簡單，在處理一類向量積的時候往往有事半功倍的效果.

解法10令D為BC中點，由A，B，C三點的輪換對稱性可知當原式最小時一定有PB=PC，即此時B，C關于直線PA對稱，即P，A，O，D四點共線，易得AP=1，OA=2，DP=4，此時PA·PB+PA·PC=2PA·PD=8.

評注本題作為選擇題，觀察題目結構，分析題目條件和所求數量積之間關系，盡量數形結合，以形助數，做到小題小做，優化解法，提升解題效率.

平面向量的數量積一直是高考的熱點問題，正確理解數量積的定義和幾何意義是處理問題的關鍵;同時要將三角、函數、解析幾何、不等式等相關知識加以遷移滲透，綜合運用，注重數形結合、化歸與轉化等數學思想;在解題歸納上注重模型意識，合理轉化，妙設巧算，才能將核心素養在解題中得到真正體現和展示.

參考文獻：

[1] 孔繁晶.挖掘幾何意義 巧解平面向量數量積問題[J].數理化解題研究，2021（25）：6-7.

[責任編輯：李璟]