一道聯考試題的解法探究

摘要：本文對一道聯考試題的解法進行深度探究，從不同角度對試題進行剖析，雖然解法有所不同，但關鍵要抓住三角求值題的特征，實現從一題多解到解決一類問題的飛躍.

關鍵詞：三角求值;一題多解;對偶構造

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0030-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：李亮（1984.12-），男，安徽省太湖人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.[FQ）]

今年五月的皖淮名校聯考，高一數學試卷填空題第16題考了一道三角求值題.從考試結果來看，得分率很低.究其原因，筆者認為還是同學們對三角求值題缺乏必要的認識，方法選取不恰當，平時練的少，對復雜計算駕馭能力有待提升，值得反思.鑒于此，筆者以此題為例，和同學們一起從不同視角來探究，以期提升同學們的數學計算、邏輯推理等能力.

1 試題呈現

題目 sin220°+cos250°+sin20°cos50°=.

2 解法探究

2.1 常規思路，通性通法

解法1（遇平方就降冪，積化和差、和差化積）

原式=1-cos40°2+1+cos100°2

+12sin（20°+50°）+sin（20°-50°）

=34-12cos40°+12cos100°+12sin70°

=34-12cos40°+12（cos100°+cos20°）

=34-12cos40°+12×2cos60°cos40°

=34-12cos40°+12cos40°

=34.

解法2（先積化和差、和差化積，再平方降冪）

原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

=（sin20°+sin40°）2-sin20°sin40°

=[2sin30°cos（-10°）]2

+12[cos60°-cos（-20°）]

=cos210°+14-12cos20°

=1+cos20°2+14-12cos20°

=34.

評注本解法需要學生熟練掌握三角函數的變形降冪公式以及誘導公式，同時還要靈活運用三角函數的積化和差與和差化積公式.

2.2 對比分析，合理拆分

解法3（一般角與特殊角之間的加一加、減一減）

原式=sin220°+cos2（20°+30°）+sin20°·cos（20°+30°）

=sin220°+（32cos20°-12sin20°）2

+sin20°（32cos20°-12sin20°）

=sin220°+34cos220°+14sin220°-12sin220°

=34cos220°+34sin220°

=34.

評注本解法要關注角與角之間的內在聯系，把一般角與特殊角聯系起來，常用技巧可以把兩個角加一加、減一減、乘以2，等等，很多題目可以迎刃而解.

2.3 合情猜想，演繹推理

解法4（大膽假設，小心求證）

因為sin215°+cos245°+sin15°cos45°

=（6-24）2+（22）2+6-24×22=34，

猜想：

sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=34.

證明如下：

左邊=sin2α+（32cosα-12sinα）2+sinα（32cosα-12sinα）

=sin2α+34cos2α-32sinαcosα+14sin2α+

32sinαcosα-12sin2α

=34sin2α+34cos2α

=34.

所以猜想成立，這樣本題可以推廣到一般形式.從而可以作以下同解變形：

sin220°+cos250°+sin20°cos50°

=sin215°+cos245°+sin15°cos45°

=34.

2.4 結構聯想，幾何直觀

解法5（利用正、余弦定理，構造三角形）

原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°，

由此聯想到余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA.

再利用正弦定理變形為

sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.

到此可構造△ABC，如圖1，使

A=120°，B=20°，C=40°，

則sin2120°

=sin220°+sin240°-2sin20°sin40°cos120°.

所以，

原式

=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

=34.

評注正弦定理、余弦定理是對三角形邊角關系的量化刻畫，解題時要仔細觀察代數式的結構，合理聯想，構造符合題意的三角形，可簡化代數運算，發展學生思維.

2.5 對偶構造，同構變形

解法6（構造互余對偶式）

令x=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，

構造y=cos220°+sin250°+cos20°sin50°，

則x+y=2+sin70°，

x-y=-sin70°-12.

兩式相加整理，得

2x=32，

所以x=34.

評注通過對題目結構特征的觀察，利用互余函數構造對偶式，從而獨辟蹊徑，出奇制勝.其實，兩種對偶式的本質是一樣的，利用了三角函數變換中的平方關系.

2.6 恒等變形，曲徑通幽

解法7（運用三角恒等式）

由正弦與余弦的和角公式和差角公式可得以下恒等式：

sin2α-sin2β=sin（α+β）sin（α-β），

cos2α-sin2β=cos（α+β）cos（α-β）.

它們的結構和代數中的平方差公式很像，所以也把它們稱之為三角函數的平方差公式.解題時靈活運用它們會使我們的化簡、計算大大簡化.

原式=sin220°-sin250°+sin20°cos50°+1

=sin70°sin（-30°）+sin20°cos50°+1

=-12sin70°+12（sin70°-sin30°）+1

=34.

通過以上解法，我們可以看出三角函數的化簡與求值常常從以下幾個方面突破：減少函數名稱、減少角的個數、注意式子的結構等.當然教材基本公式的記憶與常見變形是我們解題的基礎.本題看似平常，其實值得研究，筆者只是從常規入手，多視角突破，以期起到拋磚引玉的作用，不足之處敬請大家批評指正.

參考文獻：

[1] 練偉，朱衛霞.運用三角函數中的平方差公式解題[J].數學通訊，2020（13）：18-19.

[2] 楊軍，李歡.實踐波利亞“怎樣解題表”的探究式解題教學案例一則[J].數學通訊，2020（13）：5-7+14.

[責任編輯：李璟]