三角形邊等差的解法及命題意圖探究

摘要：關于三角形邊成等差、等比的結論有很多，甚至關于角成等差等比也有一些結論.本文通過一道高考模擬卷試題的多種解法探究邊等差三角形的簡單性質.

關鍵詞：邊等差;基本不等式;構造橢圓;琴生不等式;命題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0100-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：劉小樹（1985.8-），男，安徽省蚌埠人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

1 試題呈現

題目（蚌埠市2020屆高考第四次模擬考試理科第16題）△ABC中，設角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sinB=sinA+sinC2 ，求1sinA+1sinC 的最小值.

2 試題解析

解法1（基本不等式法）

由正弦定理，sinB=sinA+sinC2，①

可化為b=a+c2.②

又由余弦定理及不等式，得

cosB=a2+c2-b22ac

=a+c2-2ac-a+c242ac

=34a+c2-2ac2ac

≥342ac2-2ac2ac=12.

而0<B<π，所以0<B≤π3.

由sinB=sinA+sinC2化為1=sinA+sinC2sinB，因此1sinA+1sinC=1×1sinA+1sinC=12sinB×sinA+sinC×1sinA+1sinC=12sinB×2+sinCsinA+sinAsinC≥12sinB×2+2sinCsinA·sinAsinC=2sinB≥433.

上面兩次不等式等號成立的條件為A=B=C=π3，即△ABC 為正三角形.

解法2（配角三角公式變換法）

由已知條件sinB=sinA+sinC2，得2sinB=sinA+sinC.又由二倍角sinB=sinA+C=sin2×A+C2，配角得到A=A+C2+A-C2，C=A+C2-A-C2，

于是2×2sinA+C2·cosA+C2=2sinA+C2·

cosA-C2sinA+C2≠0.

從而2cosA2cosC2-sinA2sinC2

=cosA2cosC2+sinA2sinC2.

化簡整理為3sinA2sinC2=cosA2cosC2.即tanA2tanC2=13.③

故1sinA+1sinC=1+tan2A22tanA2+1+tan2C22tanC2

=12·tanC21+tan2A2+tanA21+tan2C2tanA2tanC2=2tanA2+tanC2≥2×2tanA2·tanC2=433.

當且僅當A=B=C=π3時，上式等號成立.

解法3（建系構造橢圓法）

令2a0=a+c，2c0=b，則a0=b，c0=b2.

以點A，C分別為橢圓的左右焦點建立平面直角坐標系，如圖1，其中不妨取橢圓離心率為e=12，標準方程為x24+y23=1，

Bx0，y0x0≠±2，y0≠0，0<y0≤3.

故1sinA+1sinC=2sinBsinAsinC=2sinAcosC+cosAsinCsinAsinC，

所以1sinA+1sinC=21tanA+1tanC.④

在△ABC中，tanA=y01+x0，tanC=y01-x0，

于是④化為

1sinA+1sinC=21+x0y0+1-x0y0=4y0≥433，

當且僅當x0=0，y0=3時，

即當△ABC為等邊三角形時取到最小值.

解法4（Jensen不等式法）

因為f（x）=sinx，x∈0，π，f ″（x）=-sinx<0，所以f（x）為上凸函數.

又2sinB=sinA+sinC，所以3sinB=sinA+sinB+sinC≥3sinA+B+C3=332.即sinB≥32.因此0<B≤π3或2π3≤B<π.又因為2sinB=sinA+sinC，2b=a+c，即a，b，c成等差數列.故b不是最大邊.所以0<B≤π3.

由基本不等式，得2sinB=sinA+sinC≥2sinA·sinC，sin2B≥sinA·sinC，當且僅當A=C取等號.即1sinA·sinC≥1sin2B.

所以1sinA+1sinC=2sinBsinA·sinC≥2sinBsin2B=2sinB≥433，當B=π3時取到等號.

故當且僅當A=B=C=π3時，上式等號成立.

3 試題命題意圖分析

試題用了4種方法解題，從解法1到解法4，解題要求難度逐漸加大，但是從考后調查發現，以上四種解法中，解法1，2僅少部分同學使用，解法3更是罕有人用，競賽黨同學容易想到解法4.試題難度系數0.22，區分度0.45，全市得分率為22.01%，最好的學校得分率也僅為40%，足見得分很低.大多數同學使用的方法讓命題者欣慰又大跌眼鏡：直接根據對稱性取正三角形得到答案.這不得不讓人思考，為什么會出現這種事與愿違的結果呢？可以從兩個方面分析：一方面：大多數同學做16題常使用極限法、特殊圖形或特殊值法，加上考試時間緊，壓軸小題難度大，學生不敢在這里耗費時間，不得不取特殊圖形法，而且驗算后發現符合要求，就鋌而走險解題.另一方面如果答案被學生輕而易舉猜到，說明命題沒有體現隱形性，要從命題角度考慮了.本題條件容易讓考生聯想到特殊圖象法.

如果設置為

2acos2C2+2ccos2A2=3b，⑤

或cosA+2cosB+cosC=2，⑥

或5cosA+5cosC-4cosAcosC=4.⑦

相對來講更能達到壓軸和考查的目標.這是因為以上三種情形不易被考生猜到特殊圖形，即使猜也沒有理由.實際上這三種情形是等價的，最終都可以化為2b=a+c，這樣既能達到考查要求，又不會被學生鉆了空子，從而導致命題的尷尬境地.對于以上重新設置的條件為什么可以達到壓軸目的呢，下面將轉化過程具體證明，大家就一目了然了.

三種形式等價證明如下：

⑤2acos2C2+2ccos2A2=3ba1+cosC+c1+cosA=3b

a+c+acosC+ccosA=a+c+b=3b2b=a+c;

⑥cosA+2cosB+cosC=2

cosA+cosC=2-2cosB

2cosA+C2·cosA-C2=2×2cos2A+C22cosA+C2=cosA-C22sinA+C2cosA+C2=sinA+C2cosA-C2sinA+C=12sinA+sinC2sinB=sinA+sinC

2b=a+c;

⑦5cosA+5cosC-4cosAcosC=4

2cosA+C2=cosA-C2

或cosA+C2=2cosA-C2.

同⑥可化為2b=a+c或b=2a+c舍.

不難發現， ⑤⑥⑦考查知識方法更全面、豐富、多元性、隱形性，可以多層次考查學生.另外大家還發現①至⑦都是等價命題.

高中數學命題原則一般是條件間要滿足相容性，不得與公理定理概念相矛盾;力求語言描述準確無歧義;解題方法多元性，多種知識、思想相互溝通，對考生有啟發性;試題素材要新穎、豐富、典型、隱形性，防止猜題.

命題是一項重要的工作，教師命題必須緊扣教學大綱和高考核心素養要求，合理命題，既要考查學生對基礎知識，思想方法的掌握情況，又要讓學生從問題中訓練思維，提升能力，得到啟發，使學生在解題中領悟命題意圖，達到融會貫通，舉一反三.命題要反復斟酌，力求做到沒有失誤，才能命出解法自然，形式完美的經典試題.

參考文獻：

[1]?徐希揚. 邊等差三角形的一個性質及應用[J].中學數學月刊， 1997（08）：16-17.

[責任編輯：李璟]