一道斜率為定值模考題的探究與變式

摘要：本文對一道高三模考中的斜率定值問題進行推廣與變式，得到橢圓中的幾個一般性結論，并通過類比得到雙曲線和拋物線中的相關結果.

關鍵詞：斜率;定值;中點;頂點

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0028-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：高繼浩（1987-），男，四川省天全人，碩士，中學一級教師，從事中學數學教學研究.[FQ）]

1 試題呈現

題目（2021年5月北京市東城區高三二模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為F，左、右頂點分別為A-2，0，B2，0，AF=3FB.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設過點P2，1的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，過點N作x軸的垂線，與直線BM交于點D，E為線段DN的中點.證明：直線BE的斜率為定值.

答案：（1）x24+y23=1;

（2）直線BE的斜率為-32.

2 問題提出

改變試題第（2）問點P的坐標后，直線BE的斜率還為定值嗎？注意到試題中B，P兩點的橫坐標相同，利用軟件GeoGebra作圖發現，若保持點P的橫坐標不變，改變點P的縱坐標且點P不與點B重合，則當直線l繞著點P轉動時，直線BE的斜率仍為定值.這是否具有一般性呢？

3 推廣探究

命題1設B為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的右頂點，過點Pa，tt≠0的直線與橢圓交于不同的兩點M，N，過點N作x軸的垂線，與直線BM交于點D，E為線段DN的中點，則直線BE的斜率為定值-b2at.

證明顯然直線MN的斜率存在，設其方程為y-t=kx-a，與橢圓方程聯立，消去y整理，得

b2+a2k2x2+2a2kt-akx+a2（a2k2-2atk+t2-b2）=0.

設Mx1，y1，Nx2，y2，則Δ>0，且

x1+x2=2a2kak-tb2+a2k2，

x1x2=a2a2k2-2atk+t2-b2b2+a2k2.

直線BM的方程為

y=y1x1-ax-a.

令x=x2，得

yD=y1x2-ax1-a.

故yE=yD+y22=y1x2-a+y2x1-a2x1-a.

所以kBE=yEx2-a=y1x2-a+y2x1-a2x1-ax2-a，

其中分子

y1x2-a+y2x1-a=kx1-ak+tx2-a+kx2-ak+tx1-a

=2kx1x2+t-2akx1+x2+2aak-t

=[2a2ka2k2-2atk+t2-b2+t-2ak·2a2k·ak-t+2aak-tb2+a2k2]/（b2+a2k2）

=-2ab2tb2+a2k2，

分母

2x1-ax2-a

=2x1x2-ax1+x2+a2

=2·[a2a2k2-2atk+t2-b2-a·2a2k·ak-t+a2b2+a2k2]/（b2+a2k2）

=2a2t2b2+a2k2，

故kBE=-2ab2t2a2t2=-b2at.

考慮左頂點得到：

命題2設A為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點，過點P-a，tt≠0的直線與橢圓交于不同的兩點M，N，過點N作x軸的垂線，與直線AM交于點D，E為線段DN的中點，則直線AE的斜率為定值b2at.

參照命題1可證得.

命題3設B為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點，過點Pt，bt≠0的直線與橢圓交于不同的兩點M，N，過點N作y軸的垂線，與直線BM交于點D，E為線段DN的中點，則直線BE的斜率為定值-bta2.

考慮下頂點得到：

命題4設A為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的下頂點，過點Pt，-bt≠0的直線與橢圓交于不同的兩點M，N，過點N作y軸的垂線，與直線AM交于點D，E為線段DN的中點，則直線AE的斜率為定值bta2.

4 類比探究

在雙曲線和拋物線中有：

命題5設B為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右頂點，過點Pa，tt≠0的直線與雙曲線交于不同的兩點M，N，過點N作x軸的垂線，與直線BM交于點D，E為線段DN的中點，則直線BE的斜率為定值b2at.

命題6設A為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左頂點，過點P-a，tt≠0的直線與雙曲線交于不同的兩點M，N，過點N作x軸的垂線，與直線AM交于點D，E為線段DN的中點，則直線AE的斜率為定值-b2at.

命題5（命題6）的證明過程與命題1類似，略.

命題7設O為坐標原點，過點P（0，t）t≠0的直線與拋物線y2=2pxp>0交于不同的兩點M，N，過點N作x軸的垂線，與直線OM交于點D，E為線段DN的中點，則直線OE的斜率為定值pt.

證明顯然直線MN的斜率存在且不為零，設其方程為y=kx+t，與拋物線方程聯立，消去y，得k2x2+2tk-px+t2=0.

設Mx1，y1，Nx2，y2，則Δ>0，且

x1+x2=2p-tkk2，x1x2=t2k2.

直線OM的方程為y=y1x1x.

令x=x2，得yD=x2y1x1.

故yE=yD+y22=x2y1+x1y22x1.

所以kOE=yEx2=x2y1+x1y22x1x2=x2kx1+t+x1kx2+t2x1x2=2kx1x2+tx1+x22x1x2=2t2k+2tp-tk2t2=pt.

命題8設O為坐標原點，過點P（0，t）t≠0的直線與拋物線y2=-2pxp>0交于不同的兩點M，N，過點N作x軸的垂線，與直線OM交于點D，E為線段DN的中點，則直線OE的斜率為定值-pt.

參考文獻：

[1]?高繼浩.一道雙曲線題的探究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2021（07）：33-34.

[2] 高繼浩.一道武漢市質檢試題的探究與變式[J].數學通訊，2021（15）：32-33.

[3] 高繼浩.探究一道兩線關系的質檢試題[J].中學數學教學，2021（03）：36-37.

[責任編輯：李璟]