萬有引力與宇宙航行的知識概括與典型題解析

摘要：萬有引力與宇宙航行的內容可以高度的概括為一條思路、二套公式、三種速度.這章知識常見的典型題型有三種：同步衛星問題;雙星問題;衛星變軌問題.解題思路是衛星繞行星的運動和行星繞恒星的運動都看成是勻速圓周運動，萬有引力提供向心力.

關鍵詞：萬有引力提供向心力;同步衛星問題的六個一定;雙星問題的三個結論

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0119-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：張巖松（1963.6-），男，山東省泰安市岱岳區人，中學高級教師，從事高中物理教學研究.[FQ）]

1 內容概括

萬有引力與宇宙航行的內容可以高度的概括為一條思路、二套公式、三種速度.

1.1 一條思路

衛星繞行星的運動和行星繞恒星的運動都看成是勻速圓周運動，萬有引力提供向心力.

1.2 兩套公式

天上：Gm1m2r2=m1v2r=m1ω2r=m14π2T2r=m14π2n2r=m1vω

天上一條龍.

地上：Gm1m2R2=m1g

地上一只蟲.

1.3 三種速度

1.3.1 第一宇宙速度

衛星在地球的赤道面內做近地勻圓的速度.

∵GMmR2=mv12R

∴v1=7.9km/s.

也可以根據：mg=mv12R

解得：v1=7.9km/s.

第一宇宙速度是最大的環繞速度，也是最小的發射速度.1.3.2 第二宇宙速度

衛星脫離地球束縛的最小速度.大小是v2=11.2km/s.

當衛星的速度大于11.2km/s時，將會脫離地球的束縛，成為太陽的行星.第二宇宙速度被稱為“

脫離速度”.注意：當衛星的速度7.9km/s

1.3.3 第三宇宙速度

衛星脫離太陽束縛的最小速度是v3=16.7km/s.

當衛星的速度大于16.7km/s時，將會脫離太陽的束縛，跑到銀河系中去.第三宇宙速度被稱為“逃逸速度”.2 常見題型及解析

這章知識常見的典型題型有三種：同步衛星問題;雙星問題;衛星變軌問題.

2.1 同步衛星問題

同步衛星在地球的赤道面內做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力.

∵GMmr2= mv2r，

∴v=GMr①

∵GMmr2=m4π2T2r，

∴T=4π2r3GM②

由①②可以得出結論：高軌低速長周期.

關于同步衛星問題的六個一定：

（1）角速度一定.

（2）周期一定.

（3）線速度的大小一定.

（4）線速度的方向一定.

（5）向心加速度的大小一定.

（6）衛星離地的高度一定.

例1同步衛星相對地面靜止，猶如懸在高空中，下列說法不正確的是（）.

A.同步衛星處于平衡狀態

B.同步衛星的速率是唯一的

C.同步衛星加速度大小是唯一的

D.各國的同步衛星都在同一圓周上運行.

解由上面的結論可知：BCD都正確.故應選A.

例2已知地球赤道上的物體隨地球自轉的線速度大小為v1，向心加速度大小為a1，近地衛星線速度大小為v2，向心加速度大小為a2，地球同步衛星線速度大小為v3，向心加速度大小為a3，設近地衛星距地面高度不計，同步衛星距地面高度約為地球半徑的6倍.則以下結論正確的是（）.

A.v2v3=6B.v1v2=1

C.a1a3=17

D.a2a3=491

解答案應選CD.

結論赤道上的物體和近地衛星之間的距離雖然只有毫厘之距，但大小卻有天壤之別.

2.2 雙星問題與多星問題

2.2.1 雙星問題

被相互引力系在一起，互相繞轉的兩顆星就叫物理雙星.雙星是繞公共圓心轉動的一對恒星.兩恒星類似于一個無形的桿連接著.

有三個結論：

（1）兩恒星的半徑之和等于兩恒星之間的距離.

（2）周期相同.

（3）彼此之間的萬有引力提供各自的向心力.

例3雙星系統由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發現，雙星系統演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發生變化.若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變為原來的k倍，兩星之間的距離變為原來的n倍，則此時圓周運動的周期為（）.

A.n3k2 TB.n3K TC.n2k TD.nk T

解答案選B.

2.2.2 多星問題

例4宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用.設四星系統中每個星體的質量均為m，半徑均為r，四顆星穩定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，如圖1所示.已知引力常量為G.關于四星系統，下列說法錯誤的是（忽略星體自轉）（）.

A.四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動

B.四顆星的軌道半徑均為a2

C.四顆星表面的重力加速度均為Gmr2

D.四顆星的周期均為2πa2a（4+2）Gm

解答案應選B.

小結無論是雙星還是多星，解題思路是相同的.任意一顆星的向心力都是其它星對它的萬有引力的合力提供的;然后利用數學知識確定軌道半徑;最后根據萬有引力提供向心力列方程求解即可.

2.2.3 衛星變軌問題

例5發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3.軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖2所示.當衛星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法中正確的是（ ）.

A.衛星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率;

B.衛星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度;C.衛星在軌道1上經過Q點時的速率小于它在軌道2上經過Q點的速率;

D.衛星在軌道2上經過P點時的速率小于它在軌道3上經過P點時的速率.

解答案應選BCD.

小結

衛星不論是在橢圓軌道上運行，還是在圓形軌道上運行，只要位置相同，所受的萬有引力是相同的，從而向心加速度相同.但是由于曲率半徑不同，導致線速度大小不同，這是這類變軌問題分析、求解的突破口.

《萬有引力與宇宙航行》這章知識說穿了就是研究了一種特殊的勻速圓周運動，為什么說它特殊呢？因為這種圓周運動在天上，而且做圓周運動的物體不是我門常見的小球、小車、滑塊等.這種圓周運動看不見、摸不著，很抽象.因此，雖然還是一種勻速圓周運動，但實踐證明，學生學習這一章的知識會感到很困難，很迷茫.另外，造成學生學習困難的原因還有一個，就是相似的、容易混淆的概念比較多，譬如中心天體、環繞天體;軌道半徑、星體的球體半徑;自轉周期、公轉周期等等.再者，這部分題目有的涉及的運算量很大，不容易計算出結果;有的運算量倒是不大，但是涉及的字母比較多，容易混淆.但是不管怎么變，萬變不離其宗，歸根結底它還是一種勻速圓周運動，而且萬有引力提供向心力.然后從上面提到的“一條龍”中選取其中一個公式，而且在這五個公式中那個方便選那個，最后列方程求解即可.掌握這一點，就能夠以不變應萬變.

參考文獻：

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·物理[M].北京：人民教育出版社，2010.

[責任編輯：李璟]