帶電粒子在圓形邊界勻強磁場中的運動規律探究

摘要：帶電粒子在勻強磁場中的運動一直是高考考查的熱點，考查的題型既有選擇題，又有計算題.其中圓形邊界的勻強磁場題型給學生造成較大的困難.本文歸納總結了帶電粒子在圓形邊界的勻強磁場中的幾種運動情況及對應的解決方法.

關鍵詞：勻強磁場;圓形邊界;旋轉圓;發散和匯聚;臨界圓

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0113-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：劉東新（1978-），男，江蘇省溧陽人，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究.[FQ）]

帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動是比較常見的，勻強磁場分有邊界和無邊界，有邊界的則又能分為直線邊界、圓形邊界等.由于邊界的不確定導致看似簡單的勻速圓周運動也變化多端.

1 作好“對稱”圖，解決單粒子問題

帶電粒子以某一初速度進入圓形勻強磁場區域，再以同樣大小的速度離開，具有對稱性，入射方向與出射方向與徑向的夾角相等，如圖1.如果帶電粒子沿徑向入射，那么也一定沿徑向射出，如圖2.

題1如圖3所示，在半徑為R=mv0Bq的圓形區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，從圓弧頂點P以速率v0的帶正電粒子平行于紙面進入磁場，已知粒子的質量為m，電荷量為q，粒子重力不計.若粒子對準圓心射入，求它在磁場中運動的時間.

解析由牛頓第二定律得Bqv0=mv20r，求得：r=R，作出帶電粒子的運動軌跡，如圖4，由于帶電粒子的運動軌跡為14圓弧，故運動時間為t=

π2Rv0=πm2Bq.

2 巧作“旋轉圓”，解決共源多粒子問題

如果粒子源在圓形磁場邊界不斷發射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入勻強磁場時，將一半徑為R=mv0qB的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索粒子的運動規律，這種方法稱為“旋轉圓”法.

題2如圖5所示，圓形區域有一勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，邊界跟y軸相切于坐標原點O.O點處有一放射源，沿紙面向各方向射出速率均為v的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑是圓形磁場區域半徑的兩倍.已知該帶電粒子的質量為m、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力，求帶電粒子通過磁場空間的最大偏轉角.

簡析如圖6所示，通過“動態圓”可以觀察到粒子運動軌跡均為劣弧，對于劣弧而言，弦越長，弧就越長，弧所對應的圓心角就越大，偏轉角也越大，運動時間就越長，如圖7所示，sin

φmax2=Rr=12，即φmax=60°.

如果帶電粒子運動的軌跡圓半徑小于磁場圓半徑，又能產生新的問題.

題3如圖8，虛線所示的圓形區域內存在一垂直于紙面的勻強磁場，磁感應強度為B，半徑為r，P為磁場邊界上的一點，大量相同的帶電粒子以相同的速率經過P點，在紙面內沿不同方向射入磁場.若粒子射入速率為v，相應的出射點分布在三分之一圓周上.不計重力及帶電粒子之間的相互作用，求帶電粒子的比荷.

簡析如圖9所示，通過旋轉圓可知，當粒子在磁場邊界的出射點A離P點最遠時，則AP=2R，如圖10所示.

由幾何關系知：2R=2rcos30°

可求得：qm=23v3Br.

3 發散和匯聚，突破圓形邊界勻強磁場的難點問題

在圓形邊界的勻強磁場中，若帶電粒子做勻速圓周運動的半徑恰好等于磁場區域的半徑，那么就有以下規律：當粒子從磁場邊界上同一點沿不同方向進入磁場區域時，粒子離開磁場時的速度方向一定平行，而且與入射點的切線方向平行，此種情境稱為“磁發散”，如圖11甲所示.當粒子以相互平行的速度從磁場邊界上任意位置進入磁場區域時，粒子一定會從同一點離開磁場區域，而且該點切線與入射方向平行，此種情境稱為“磁匯聚”，如圖11乙所示.

題4如圖12所示， 在xoy平面內， 有一線狀電子源沿x正方向發射速度均為v的電子，形成寬為2R、在y軸方向均勻分布且關于x軸對稱的電子流.電子流沿+x方向射入一個半徑為R、中心位于原點O的圓形勻強磁場區域， 磁場方向垂直xoy平面向里.在磁場區域的正下方d處，有一長為2d的金屬板MN關于y軸對稱放置，用于接收電子，電子質量為m，電量為e，不計電子重力及它們間的相互作用.

（1）若正對0點射入的電子恰好從P點射出磁場，求磁感應強度大小B;

（2）若所有電子都能從P點射出磁場，MN板能接收到的電子數占發射電子總數的比例是多大？

簡析MN板能接收到的電子從P點射出時，速度偏轉角為θ（即與x正方向的夾角θ）滿足45°≤θ≤135°.

到達N、M點的電子軌跡如圖13、14所示，其入射點為E、F，EF豎直長度占射入總長度2R的比例是MN板能接收的電子數占發射電子總數的比例22.

4 作好臨界圓，解決圓環形磁場問題

當勻強磁場存在于一個圓環形區域時，帶電粒子無論是從外部射入磁場，還是從內部射入磁場，與磁場邊界相切的臨界圓，往往就是解決問題的突破口.帶電粒子在圓形邊界的勻強磁場中運動，其本質是勻速圓周運動，題目可能千變萬化，但解決題目的的方法卻是有限的.先確定粒子軌跡的圓心，進而作出粒子的運動軌跡，是解決這類問題的前提.在這個前提下，尋找題目的特征，弄清題目考查的內容，運用合適的方法，總能解決問題.

參考文獻：

[1] 于潔，馬純奎.帶電粒子在有界勻強磁場中的運動問題賞析[J].高中數理化，2021（10）：34-35.

[責任編輯：李璟]