應用控制變量法推導一維彈性碰撞速度公式

摘要：一動一靜彈性正碰是一維彈性正碰的特例，且解方程相對容易，根據運動疊加原理，采用控制變量法可快速得到一維彈性正碰的一般解。

關鍵詞：一動一靜彈性正碰;運動疊加原理;控制變量法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0111-02

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：李虎（1985-），男，湖北省房縣人，學士，中學一級教師，從事高中物理教學研究.

基金項目：本文是廣東省珠海市教育科研“十三五”規劃第五批（2020年度）課題《基于科學方法教育的高中物理實驗校本課程教材開發與實踐研究》（課題編號：2020KTG29）階段性研究成果之一.[FQ）]

特例一動一靜彈性碰撞規律.如圖1，碰撞前運動物體m1的速度v1，物體m2靜止;碰撞后物體m1和m2的速度分別為v1′和v2′.

根據動量守恒定律和機械能守恒定律，得

m1v1=m1v1′+m2v2′①

12m1v21=12m1v1′2+12m2v2′2 ②

由①式得

m1v1-v1′=m2v2′ ③

由②式得

m1v21=m1v1′2+m2v2′2

m1v21-m1v1′2=m2v2′2

m1v21-v1′2=m2v2′2

m1v1-v1′v1+v1′=m2v2′2④

將③式代入④式

m2v2′v1+v1′=m2v2′2

v1+v1′=v2′⑤

成功將二元二次方程組降階為二元一次方程組

m1v1=m1v1′+m2v2′v1+v1′=v2′

聯立解得v1′=m1-m2m1+m2v1，v2′=2m1m1+m2v1

一般情況碰撞前物體m1和物體m2的速度分別為v1和v2;碰撞后物體m1和m2的速度分別為v1′和v2′.

同理，若v1=0，則

m2v2=m1v1′+m2v2′

12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2

則v2′=m2-m1m2+m1v2，v1′=2m2m2+m1v2

綜合以上分析，

①若v2=0，則彈性碰撞后小球1、2的速度分別為

v11′=m1-m2m1+m2v1，v12′=2m1m1+m2v1;

②若v1=0，則彈性碰撞后小球1、2的速度分別為

v21′=2m2m2+m1v2，v22′=m2-m1m2+m1v2

當v1≠0，且v2≠0的一般彈性碰撞，則

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

12m1v21+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2

聯立解得

v1′=v11′+v21′=m1-m2m1+m2v1+2m2m2+m1v2

v2′=v12′+v22′=2m1m1+m2v1+m2-m1m2+m1v2

反思一動一靜彈性碰撞規律是中學階段學習的重點，理解了碰撞后的速度公式，遇到類似的問題，便可“套公式求解”，大大簡化計算.如果說，一動一靜彈性碰撞速度公式的推導，還在大多數高中生的能力范圍之內，那么一般情況下彈性碰撞的速度公式的推導，就讓相當一部分高中生望塵莫及了.基于“科學方法是知識通向能力的橋梁”，筆者在教學研究中發現，在深入理解一動一靜彈性碰撞規律的情況下采用控制變量法和運動疊加，可輕而易舉推導出一般彈性碰撞的速度公式.成功的喜悅，溢于言表，分享成功進行了一次科學方法教育的案例.

參考文獻：

[1] 單文忠.一動一靜彈性碰撞的推論、拓展及應用[J].數理化學習（高中版），2009（18）：33-35.

[責任編輯：李璟]