直線的參數方程在解析幾何競賽題中的應用

摘要：本文選取具有代表性的競賽試題為例，解析直線的參數方程在解析幾何中的應用. 如果題目只涉及過定點線段長度的計算問題，直線的參數方程可以發揮其優勢.

關鍵詞：直線的參數方程;解析幾何;競賽試題;線段長度

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0109-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：賀航飛（1982-），男，湖南省衡南人，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：海南省教育科學“十三五”規劃立項課題“基于智慧課堂的理科資優生培養校本課程體系構建”基于智慧課堂的理科資優生培養校本課程體系構建（項目編號：QJY20191035）.[FQ）]

過點P0（x0，y0）且傾斜角為α的直線l的參數方程為x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數）. t的幾何意義是直線l上的點P（x，y）到點P0（x0，y0）的有向距離，

|PP0|=|t|. 當點P在點P0上方時，t是正值;當點P在點P0下方時，t是負值.

設A（x1，y1），B（x2，y2）是直線l上的兩點，對應的參數分別是t1，t2，則|AB|=|t1-t2|，AB的中點M對應的參數為t1+t22，且

|P0M|=|x1+x22|.

如果P，A，B三點共線，則利用t的幾何意義可以方便計算形如|PA|·|PB|和1|PA|+1|PB|等結構. 下面以若干競賽試題為例，剖析直線的參數方程在解析幾何中的應用.

例1（2018年河南預賽）設經過定點M（a，0）的直線l與拋物線y2=4x相交于P，Q兩點，若1|PM|2+1|QM|2為常數，則a的值為.

解析設直線l的參數方程為x=a+tcosαy=tsinα（t為參數），與y2=4x聯立，得t2sin2α-4tcosα-4a=0.

點P，Q對應的參數t1，t2是以上方程的兩根，則

t1+t2=4cosαsin2α，t1t2=-4asin2α.

1|PM|2+1|QM|2=1t21+1t22

=（t1+t2）2-2t1t2t21t22

=2cos2α+asin2α2a2

=（a-2）sin2α+22a2.

由于a為常數，上式取值要跟α無關，當且僅當a-2=0，即a=2.

評注像這種只涉及到長度計算的題型就能充分體現直線參數方程的優越性，相對于傳統方法，計算量大大減小. 需要注意的是，相關點要在同一直線上.

例2（2018年江蘇初賽）在平面直角坐標系xOy中，已知圓O的方程為x2+y2=4，過點P（0，1）的直線l與圓O交于點A，B，與x軸交于點Q，設QA=λPA，QB=μPB，求證：λ+μ為定值.

證明設直線l的參數方程為x=tcosαy=1+tsinα（t為參數），與x2+y2=4

聯立，得t2+2tsinα-3=0.

A，B對應的參數t1，t2是以上方程的兩根，

則t1+t2=-2sinα，t1t2=-3.

點P對應的參數tP=0，令y=0，

所以點Q對應的參數tQ=-1sinα.

結合圖形知QA與PA同向，從而λ=|QA||PA|=|t1-tQ||t1-tP|.

又t1-tQ與t1-tP同號，

則λ=t1-tQt1-tP=1-tQt1.

同理，μ=1-tQt2.

從而λ+μ=2-tQ·t1+t2t1t2=2--1sinα·-2sinα-3=83為定值.

評注在直線的參數方程中，只要知道點的橫坐標或者縱坐標即可求得此點對應的參數. 由于t的幾何意義是有向距離，在計算相關長度時要帶有絕對值，再結合具體條件考查能否去掉絕對值.

例3（2016年吉林預賽）已知橢圓x28+y22=1的右頂點為C，A為第一象限的橢圓周上任意一點，點A關于原點的對稱點為B，過點A作x軸的垂線，與BC交于點D，比較|AC|2與|CD||CB|的大小，并給出證明.

解析|AC|2<|CD||CB|，下面給出證明.

設A（22cosθ，2sinθ），

則B（-22cosθ，

-2sinθ）.

直線BC的參數方程為x=22+tcosαy=tsinα（t為參數）.

其中θ，α均是銳角.

|AC|2=（22cosθ-22）2+2sin2θ=6cos2θ-16cosθ+10=（1-cosθ）（10-6cosθ）.

令x=22cosθ，

可得點D對應的參數tD=22（cosθ-1）cosα.

令x=-22cosθ，

可得點B對應的參數tB=-22（cosθ+1）cosα.

故|CD|·|CB|=|tBtD|=8（1-cosθ）（cosθ+1）cos2α.

直線BC的斜率

tanα=2sinθ22+22cosθ=sinθ2（1+cosθ）.

從而1cos2α=1+tan2α=5+3cosθ4（1+cosθ）.

于是|CD|·|CB|=8（1-cosθ）（cosθ+1）cos2α=（1-cosθ）（10+6cosθ）>|AC|2，問題得證.

評注為了消元，這里利用斜率關系來計算cos2α是一個難點. 解題過程兩次進行因式分解，一次是對6cos2θ-16cosθ+10進行分解;一次是1+tan2α=5+8cosθ+3cos2θ4（1+cosθ）2=（5+3cosθ）（1+cosθ）4（1+cosθ）2.

例4（2017年全國聯賽B卷）在平面直線坐標系xOy中，曲線C1：y2=4x，曲線C2：（x-4）2+y2=8. 經過C1上一點P作一條傾斜角為45°的直線l，與C2交于不同的點Q，R，求|PQ||PR|的取值范圍.

解析設P（m2，2m），直線l的參數方程為x=m2+2t2y=2m+2t2（t為參數），與（x-4）2+y2=8聯立，得t2+（2m2+22m-42）t+m4-4m2+8=0.

點Q，R對應的參數t1，t2是以上方程的兩根，

則|PQ|·|PR|=|t1t2|=m4-4m2+8=（m2-2）2+4.

Δ=（2m2+22m-42）2-4（m4-4m2+8）

=-2m（m-4）（m+2）（m-2）>0，

解得m∈（-2，0）∪（2，4），此時m2-2∈（-2，2）∪（2，14）.

從而|PQ|·|PR|=（m2-2）2+4∈[4，8）∪（8，200）.

評注拋物線y2=2px的參數方程為x=2pm2y=2pm（m為參數）. 借助直線的參數方程來計算|PQ|·|PR|是比較自然的，不過方程聯立和判別式的計算過程涉及的項數較多，需要細心整理. 由于“圓”的特殊性，也可以用圓冪定理來計算|PQ||PR|.

參考文獻：

[1] 李寧.用直線的參數方程解2016年高考題[J].數理化學習（高中版），2016（09）：6-7.

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