利用斯特瓦爾特定理解答2021年的幾道高考試題

摘要：文章利用斯特瓦爾特定理解答了2021年的幾道高考數學試題.

關鍵詞：斯特瓦爾特定理;高考題;三角形

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0098-02

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：董立偉（1991-），男，碩士，中學一級教師，從事數學教學研究.

基金項目：太原市第六屆教師個人課題“基于學生深度學習的高中生數學閱讀能力的培養研究”（項目編號：GR-21469）.[FQ）]

斯特瓦爾特定理：設P為△ABC的BC邊上任一點（P≠B，P≠C），則有

AP2=AB2·PCBC+AC2·BPBC-BC2·BPBC·PCBC.

利用余弦定理可以很容易地給出斯特瓦爾特定理的證明，此處不再贅述.

以下我們利用斯特瓦爾特定理解答幾道2021年的高考試題.

例1（2021年新高考Ⅰ卷第5題）已知F1，F2是橢圓C：x29+y24=1的兩個焦點，點M在C上，則MF1·MF2的最大值為（）.

A. 13B. 12C. 9D. 6

解析由斯特瓦爾特定理，得

MO2=MF21·OF2F1F2+MF22·OF1F1F2

-F1F22·OF1F1F2·OF2F1F2.

因為O為線段F1F2的中點及

OF1=OF2=5，

所以MO2=12MF21+12MF22-5.

即MF21+MF22=2MO2+10.

配方，得

MF1+MF22-2MF1·MF2=2MO2+10.

將MF1+MF2=6代入并化簡變形可得

MF1·MF2=13-MO2.

設Mx0，y0，由點M在橢圓C上可得

y20=4-49x20.

所以MF1·MF2=13-MO2

=13-x20+y20

=13-x20+4-49x20

=9-59x20≤9，

當且僅當x0=0時等號成立.

所以MF1·MF2的最大值為9.

故選C.

例2（2021年新高考Ⅰ卷第19題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c. 已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b.

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

解析（1）由BDsin∠ABC=asinC及正弦定理，得

BD=asinCsin∠ABC=acb=b2b=b.

（2）由斯特瓦爾特定理，得

BD2=BA2·DCAC+BC2·ADAC-AC2·ADAC·DCAC.

由BD=b及AD=2DC，得

b2=13c2+23a2-29b2.

化簡變形，得

11b2=6a2+3c2.

因為b2=ac，

所以6a2-11ac+3c2=0.

即3a-c2a-3c=0.

解得c=3a或c=23a.

當c=3a時，b2=3a2.

由余弦定理，得

cos∠ABC=a2+c2-b22ac

=a2+9a2-3a26a2

=76（不合題意，舍去）.

當c=23a時，b2=23a2.

由余弦定理，得

cos∠ABC=a2+c2-b22ac

=a2+49a2-23a243a2

=712.

所以cos∠ABC=712.

例3（2021年浙江卷第14題）在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中點，AM=23，則AC=，cos∠MAC=.

解析由斯特瓦爾特定理，得

AM2=AB2·MCBC+AC2·BMBC-BC2·BMBC·MCBC.

因為AB=2，AM=23，且M是BC的中點，

所以10=12AC2-14BC2.

即AC2=20+12BC2.

在△ABC中對∠B用余弦定理，得

12=4+BC2-AC24BC.

將AC2=20+12BC2代入并化簡，可得

BC2-4BC-32=0.

解得BC=8，AC=213.

再由MC=12BC=4，

并在△MAC中對∠MAC用余弦定理，得

cos∠MAC=AM2+AC2-MC22AM·AC=23913.

所以AC=213，cos∠MAC=23913.

參考文獻：

[1]?沈文選，張垚，冷崗松.奧林匹克數學中的幾何問題[M].長沙：湖南師范大學出版社， 2019.

[責任編輯：李璟]