指向數學建模素養培養的教學路徑探尋

杜曉琳

[摘 ?要] 文章以“二次函數”教學為例，提出初中數學建模素養的培養路徑，即培養學生的觀察能力，用數學的眼光審視世界;培養學生的表達能力，用數學的語言表達數學問題;培養學生的思考能力，用數學的思維去分析解決問題;培養學生的應用能力，嘗試在現實背景中解決實際問題.

[關鍵詞] 數學建模;核心素養;教學路徑

新課標指出，數學建模教學可以簡化為三個階段，一是根據現實生活或具體情境，提出一個數學問題;二是用數學的語言表示數學問題中的數量關系或空間形式，在這一階段，學生需要經歷觀察分析、抽象概括、選擇判定等數學活動，進而獲得數學模型;三是利用模型求得數學問題的結果，用數學問題的結果去解釋現實問題的意義[1]. 如何提高學生的建模素養呢？對此，筆者以“二次函數”教學為例進行探討.

培養學生觀察能力，用數學的眼光審視世界

從現實生活中抽象出數學問題是數學建模的重要環節，對于具體的情境，觀察問題不能流于形式，要培養學生一雙數學的眼睛，用數學的眼光審視世界，形成用數學思考的意識，看出其中存在的數學模型.

比如，在九年級下冊的“二次函數”教學中，筆者設計如下現實情境：請同學們根據以下現實問題列出相應的函數表達式. （1）生物園飼養小白兔，用16 m長的籬笆圍成一個長方形的兔舍，已知圍成的長方形的長為x m，請用含x的關系式表示圍成的長方形的面積. （2）今年一月份某工廠防疫護目鏡的產量是20萬件，計劃之后每月增加產量，且月平均增長率均為x，求第一季度防疫護目鏡的產量y萬件與x之間的關系. （3）某賓館有40個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為160元時，房間會全部住滿;當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑. 若游客居住房間，則賓館須對居住的房間每天支出20元的各種費用. 設每間房每天定價為x元，賓館每天利潤為y元，求y與x的函數關系式. 設計的情境旨在讓學生通過思考現實問題，實現從現實生活到函數模型的過渡. 在教學中，筆者首先讓學生帶著上述目的去觀察列出的三個現實問題;其次，引導學生掌握科學的觀察方法，而觀察的方法比較多，有全面觀察法、對比觀察法等，在觀察之前，要有目的地選擇觀察方法，有重點、有針對性地觀察;最后，要求學生一邊觀察一邊做好記錄，并根據上述情境列出相應的函數表達式，當然對于數據較多的數學實驗，需要用表格的形式把每一項的結果表述清楚，有了觀察結果，后面的總結便有了方向.

在教學中，觀察是必需的教學環節，但僅限于觀察遠遠不夠，還要進行數學思考，發現隱含在現象背后的數學本質. 愛因斯坦曾言，學習者能否獲得眼前的現象，不是肉眼決定的，而是取決于學習者用什么樣的思維去思考，有了什么樣的思想，才會有什么樣的觀察[2]. 因此，教師在設置情境時，要提出有數學思考的問題，讓學生帶著思考去觀察，培養學生擁有一雙慧眼，并讓學生的觀察成為一種習慣，習慣養成了，素養的生成自然水到渠成.

培養學生表達能力，用數學的語言表達數學問題

數學語言是數學思維可視化呈現的有效載體，因此，培養學生的數學語言表達能力就顯得尤為重要. 在教學中，教師要引導學生在課堂上有秩序、有邏輯地表達思維過程，進而提高用專業的數學語言表述數學問題的能力.

在創設了“二次函數”的教學情境后，筆者引導學生用函數關系式表達其中的數量關系.

生1：因為長方形兔舍的周長為16 m，所以兩鄰邊長之和為8 m，其中長為x m，寬為（8-x）m. 根據長方形面積公式，得長方形兔舍的面積S=x（8-x），即S=-x2+8x.

生2：因為第一季度包括三個月：一月、二月、三月，一月份的產量為20萬件，其后每月的增長率為x，所以二月份的產量為20（1+x）萬件，三月份的產量為20（1+x）（1+x）=20（1+x）2萬件. 所以y=20+20（1+x）+20（1+x）2.

生3：因為每天每個房間需要支出20元，所以每天每個房間的利潤是（x-20）元. 當定價160元時可以住滿40個房間，房價每增加10元，就空閑一個房間，當定價x元時，就增加了（x-160）元，空閑了個房間，所以還有

40-

個房間. 根據總利潤=每間利潤×間數，所以每天的總利潤=（x-20）

40-

，化簡得y=-x2+58x-1120.

師：以上三個函數表達式有何共同特點？請用數學語言概括“二次函數”的概念，列舉有關“二次函數”的生活實例.

……

在數學建模教學中，不論是方程模型、不等式模型還是函數模型，教師一般的做法是先出示相關實際問題，讓學生總結數學表達式;然后，讓學生說出表達式，并觀察這些數學表達式的共同特點;最后，總結概括概念. 但在實際課堂中，學生不主動表達成為一種常態，基于此，教師在課堂教學中要創造激勵機制，進行積極的正面引導，鼓勵學生表達，并對表達給予積極的評價;同時要給學生創造表達的機會，讓不同層次的學生在課堂上擁有話語權，都能在課堂上表達觀點，放飛思維;要加強數學語言的教學，要求學生表達觀點時，做到有條理、合乎邏輯，能準確無誤地揭示數學本質.

培養學生思考能力，用數學的思維去分析解決問題

數學沒有思維就失去了靈魂，失去了生命與活力. 因此，學習數學要以思維為基礎，如此，思維能力提升才能真正落地. 章建躍認為，為了從根本上實現數學育人，數學教學要特別注重思維教學，培養學生的思維精神，學生有了數學思維才能對事物做出正確判斷，進而形成分析問題、解決問題的方法論.

過去的“二次函數”教學，教師比較重視“二次函數”的概念與一般形式等顯性知識的教學，對于隱性知識，如程序性知識與策略性知識的教學存在缺失，致使學生無法體會概念形成的過程，導致學生的思維能力得不到培養. 本教學中，筆者通過建立生活情境引導學生把客觀世界的數量關系抽象為函數關系，學生形成了對于“二次函數”的層進式理解，從而構建了“二次函數”的模型. 從領悟數學建模的思想來看，基于學生認知特點的情境引入，有利于調動學生的學習興趣，有利于培養學生的數學思維. 通過生活實例來列不同形式的“二次函數”，學生對概念的認識由模糊到清晰，逐漸建立起“二次函數”的模型，不難發現，現實生活的情境起到了模型化的作用，學生在列“二次函數”表達式的過程中，經歷了發現、提出、分析與解決問題的過程，從而培養了他們動腦思考的能力.

數學知識是對現實知識的提煉與升華. 學生應從現實生活出發，構建屬于自己的數學知識，需要注意的是，在教學中，教師要注意學生的年齡特征與不同學段的課標要求，培養學生的思維能力和模型化素養，進而使他們用數學的思維去分析解決問題.

培養學生應用能力，嘗試在現實背景中解決實際問題

心理學研究表明，學生獲得數學模型后，一旦不及時鞏固與內化，很快就會遺忘. 數學建模要求學生從實際情境設計解決問題的方案，然后加以實施. 教學中，教師可以設置具有層次性的現實問題，讓學生在解決問題中，培養運用數學建模解決現實問題的能力.

比如，在“二次函數”的綜合運用教學中，筆者設計了兩個層次的問題：

（1）如圖1所示，一座橋孔為拋物線形的拱橋，當水面寬AB為12m時，橋孔頂部離水面4m，若水面上漲1m，求此時橋孔的寬.

（2）某店進購一種紅酒，每瓶進價為50元，該店月銷售量y（瓶）與每瓶的售價x（元/瓶）滿足一次函數關系，如表1：（售價不低于進價），（1）求出該店月銷售量y（瓶）與售價x（元/瓶）之間的一次函數關系式;（2）若這種紅酒的每瓶利潤不允許高于進價的30%，設此店銷售這種紅酒每月的總利潤為w（元），那么售價定為多少可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

第一個問題考查學生能否建立適當的坐標系，求得拋物線的“二次函數”關系式，然后利用拋物線的對稱性求得橋孔的寬度，旨在考查學生數學建模的能力. 第二個問題考查學生能否根據實際問題建立“二次函數”關系式，然后利用“二次函數”最值的性質求得最大利潤，旨在考查學生數學建模的能力. 問題1和問題2都是“二次函數”在生活中的具體應用，筆者讓學生先獨立思考，再小組合作討論，既認識了“二次函數”的一般化形式，又體會了“二次函數”的應用價值. 從中領悟到現實情境是生活化的數學，數學模型是形式化、簡約化的生活的奧妙.

總之，數學建模教學的目的是培養學生敏銳的觀察力、精確的表達力、靈活的思維力與綜合的運用力. 教學中，教師應以學生為主體，以問題為主線，以核心素養為目標，調動學生學習數學的積極性，發揮學生的學習能動性.

參考文獻：

[1]吳香秀. 培養數學建模能力 落實數學核心素養[J]. 初中數學教與學，2020（10）：16-18.

[2]沈磊. 數學建模：從方法到思想——兼對初中數學核心素養落地的思考[J]. 數學教學通訊，2019（32）：37-38.