數學概念教學的四個視角

沈秋喜　錢艷妮

【摘 要】數學概念教學的關鍵在于對數學概念本質的理解和把握，有效的概念教學成為探討的方向。筆者以“長方形和正方形的面積計算”為例，在真實情境中，經歷深層想象和多次推理，理解長方形和正方形面積的本質，體會面積計算的價值。

【關鍵詞】數學教學 概念教學 面積計算

數學概念在建構學生知識體系的過程中起著舉足輕重的作用，它直接影響著學生的運算能力、邏輯思維、空間想象和實踐創新等一系列核心素養的培養和提升。研究數學概念內涵的關鍵在于對數學概念本質的理解和把握，然而概念的高度抽象性、概括性成為學生學習過程中的攔路虎。因此如何有效地進行數學概念教學就成為數學教學研究不變的主題。下面筆者就以蘇教版數學三年級下冊“長方形和正方形的面積計算”的教學為例，談談具體的做法。

一、創設真實情境，感悟概念本質

（一）在真實情境中喚醒已有經驗

數學知識的學習不再是簡單的掌握知識，而是要以知識為載體培養學生的學習能力，培養學生用數學的眼光觀察世界。因此，教師在創設教學情境時，可以選擇學生熟悉的、與真實生活相關的情境作為切入點，讓學生體會到原來生活中存在著許多與數學相關的現象，感受到數學與生活的密切聯系，激發學生學習數學的興趣。例如，上課伊始，筆者創設小羊們玩俄羅斯方塊游戲的情境，并從游戲中選取3種形狀不同的圖形（如圖1）。

學生借助1平方厘米的小正方形去估算這些圖形的面積。學生在觀察比較中發現，雖然這些圖形的形狀各不相同，但它們的面積都是4平方厘米。從而讓學生體會到面積作為事物的一種屬性，和長度一樣是可以度量的，并初步感受圖形面積的大小和單位面積的小正方形的個數有關，為后續學習長方形面積奠定基礎。

（二）在真實情境中提出驅動性問題

驅動性問題能激發學生的注意力，使其主動投入數學知識的探索中，學生通過解決問題能促進對知識本質的深度理解。在驅動性問題的引領下，學生自主產生學習的內在動力，從而在多個維度進行持續思考、自主探索。在教學過程中，設計小羊們想知道長方形油菜花田面積的驅動性問題，引發學生思考：當長方形的面積很大時，再用單位面積的小正方形去測量就變得不太現實，有沒有更好的方法可以知道長方形的面積呢？學生憑借已有的生活經驗和敏銳的直覺猜想：長方形的面積與長方形的長和寬有關。甚至有學生說出長方形的面積就是用長乘寬。但是“為什么長方形的面積是用長乘寬來計算的呢”？學生還處在知其然而不知其所以然的認知層面，筆者通過引導學生探究來尋找長方形面積背后更為本質和核心的概念或思想。

二、經歷深層想象，領悟概念本質

想象是人腦對已有的表象經過加工、改造，產生新的表象和思維的過程。在教學中，教師不僅要讓學生掌握面積計算的方法，更要讓學生感悟面積的本質含義，引導學生的思維走向深處。如果只是用1平方厘米的小正方形擺幾個長方形，或用1平方厘米的小正方形去鋪滿已知長、寬的長方形，再從數據與圖形的直觀比較中直接得出長方形的面積計算公式，那么操作只是停留在擺一擺、數一數、算一算的直觀現象展示上，學生并沒有真正理解為什么長方形的面積和長與寬有關。為了讓學生真正深入探究過程，筆者引導學生進行合理的深層想象，充分理解這里的長、寬分別代表的是每個單位面積個數和行數，讓學生思維從一維長度向二維面積發展。

（一）密鋪——具象

師：如何求出這個長方形的面積呢？踏實、認真的暖羊羊首先想到了擺一擺的方法，如圖2。

師：這個長方形里包含了幾個小正方形？

生：12個。

師;你是怎么知道的？

生：4×3=12（個），12個1平方厘米的小正方形，所以面積就是12平方厘米。

師：這里的4指的是什么？3指的又是什么呢？

生：每排擺4個，擺了3排。

師：那么如何求小正方形的個數呢？

生：用每排個數×排數求出小正方形的個數是12個，所以面積就是12平方厘米。

（二）“半鋪”——半抽象

師：愛動腦筋的美羊羊，只用了6個小正方形就知道了長方形的面積。你知道它是怎么擺的嗎？

生：沿著長擺4個，沿著寬擺3個，如圖3。

師：為什么這樣擺也能求出長方形的面積呢？

生1：沿著長擺4個。

生2：沿著寬擺3排。

師：仔細觀察，這里的每排個數和排數分別和長方形的什么有關呢？

生：長方形的長就是每排個數，長方形的寬就是排數。

（三）想象——抽象

師：喜羊羊也發現了這個秘密，但它一個都不用擺，就能知道長方形的面積。你知道它是怎么想的嗎？

生：如圖4，長4厘米，寬3厘米，面積就是4×3=12平方厘米。

師：為什么4×3就是面積呢？

生：沿著長可以擺4個，沿著寬能擺3排，一共有12個小正方形，所以它的面積就是12平方厘米。

師：這里的長是4厘米就是有4個1厘米，每個1厘米就可以想象成1個小正方形。寬是3厘米就可以想象成3個小正方形。

師：看來每排個數和排數確實和長方形的長和寬有關。為什么用長×寬就能求出長方形的面積呢？

生：長就是每排個數，寬就是排數，長方形的面積就等于長乘寬。

由于學生在認識面積意義時，已經有用單位面積的小正方形鋪滿長方形的操作經驗，所以在用情境喚醒學生已有的經驗后，可以讓學生通過想象經歷用1平方厘米的小正方形分別把長方形鋪滿，再到“半鋪”，最后到不鋪的完整過程。第一，在“鋪滿”中發現，要知道長方形的面積，只要知道小正方形的個數，而小正方形的個數=每排個數×排數，初步感知長方形的面積與長方形的長和寬有關;第二，在“半鋪”中發現每排個數對應長方形的長，排數對應長方形的寬，體會長方形的面積與長方形的長和寬有關;第三，在“想象”中揭示長方形的面積與長方形的長和寬的關系;第四，在深層思考中推理出長方形的面積公式。學生的思維從具象到半抽象，再到抽象，層層遞進，反復感受，充分感悟圖形的面積需要兩個維度的數值來刻畫的特點。學生掌握了推理長方形面積公式的方法后，正方形的面積公式可以用由此及彼的推理方式得到。

三、借助多次推理，凸顯概念本質

推理是數學的基本思維方式，是發展學生用數學的思維思考世界的重要途徑。在推理的過程中，考查的對象數量越多，那么推理的過程就會更加深入，結論的可靠性也更強。有效利用幾何畫板的可變化的特點，創設豐富的表象為合情推理提供更多的例子，而后推理出長方形和正方形的面積公式。可以分為4個階段推進（如圖5）：

（1）寬保持不變，長變大;（2）長保持不變，寬變大;（3）長和寬同時變大;（4）想象超出屏幕更大的長方形。長和寬在不斷地變化，學生進行對應的想象：沿著長擺幾個，沿著寬擺幾個，一共有多少個單位面積，面積是多少，把學生的思維由“長方形的面積=每排個數×排數”抽象到“長方形的面積=長×寬”。借助多媒體課件連續改變圖形的長和寬，讓學生直觀地看到長和寬與面積之間的聯系，使得學生對面積的認識不只停留在公式的記憶上，而是對面積的本質有了更深刻的理解，即圖形中面積單位的總個數。此時，學生的思維更加清晰，推理的空間也變得更為廣闊，從有限走向無限，從而增加了推理所得結論的可靠性，也讓學生的推理思維得到發展。

四、內化提升練習，深化概念本質

數學知識的學習過程，必須遵循數學學科特性和學生的認知規律，通過不斷地分析、綜合、運算、推理、判斷來完成。因此，練習在考慮基礎性、針對性的同時，應體現面積本質的應用，有利于學生深化理解，形成技能。因此，本節課設計了如下練習。

（1）圖6中每個小正方形表示1平方厘米，你能算出長方形的面積是多少平方厘米嗎？

（2）如圖7，你能知道這張照片原來的面積是多少嗎？

（3）思考：村主任用18米長的籬笆圍一個長方形的花壇，這個長方形可能是怎樣的？你能分別求出它們的面積嗎？

練習的設計不但要對教材中的習題進行有效的利用和整合，還要設計有層次、有梯度的練習。第（1）題是基礎題，可以幫助學生鞏固對長方形和正方形面積計算公式的理解和應用;第（2）題是變式題，可以促進學生靈活運用知識解決問題的能力的提升。在這兩個練習中，長方形的長和寬并沒有直接出示，而需要學生通過觀察并推斷出長和寬后，才能利用面積公式計算出長方形的面積。第（3）題是拓展題，可以讓學生的思維“跳一跳”，提升數學思維品質。特別是最后一問，周長和面積本身就是易混淆的兩個概念，學生通過思考得到4種不同的長方形，在對比和觀察中發現，雖然長方形的周長不變，但長和寬都在變化，所以面積也在不斷地變化，從而更深入地理解面積的本質。教師繼續以此為推理的基礎材料，引導學生進一步思考：寬還能繼續變小嗎？學生意識到寬還能變成更小的1分米，那么長就是89分米。教師以此為思考點，最后提出兩個問題：（1）照這樣能變成多少個不同的長方形？寬逐漸接近幾？這時長又有什么變化呢？（2）如果兩個長方形中的寬分別為1分米、1厘米，我們又該如何用以米作單位的小數來表示？這時我們又可以用怎樣的小正方形來測量面積呢？在這樣的深度思考中，不僅滲透了趨于無窮的極限思想，學生的思維空間也得到了擴大，思維的自由度得到了提升。讓思維向深處漫延，也是為小數范圍面積計算的理解埋下伏筆。

綜上所述，數學概念教學應抓住概念的本質屬性，充分借助想象和推理展開探索過程，在探索的過程中促進對本質屬性的理解和內化，從中汲取思維的力量，幫助學生成為心智自由的學習者，進而發展學生的數學核心素養，為學生的終身發展奠定堅實的基礎。