以大觀念為核心重構單元學習

牛獻禮

【摘 要】“多邊形的面積”單元教學以數學“大觀念”為核心，將課程內容結構化，各部分內容的著力點既前后關聯又各有側重，即“平行四邊形的面積”的教學應借助方格紙度量面積，讓學生理解“轉化”的道理，并學會用“剪拼法”將未知轉化為已知;“三角形的面積”的教學注重引導學生用“合拼法”“剪拼法”等多種轉化方法探究新知，并理解不同方法背后的共同道理;“梯形的面積”的教學則進一步放手讓學生自主選擇轉化方法去推導公式。各部分的教學都注重“理法融合”，關注學生對具體知識背后的“大觀念”的持續性理解。

【關鍵詞】大觀念 轉化思想 自主探究 持續性理解

素養是一個人表現出來的思維品質和做事風格。學生的素養往往體現在解決新情境下復雜問題的意愿和能力，而這需要學生理解和遷移知識學習過程中蘊含的思想方法、思維方式、情感態度等。一個人對思想方法等的認識形成一個個的“觀念”（idea），其中居于學科中心地位、最核心的就是“大觀念”（big

ideas）。“大觀念”是抽象概括出來的概念，它能反映學科本質，處于更高層次，因而能夠將各種相關概念和理解聯系成為一個連貫的整體，使之能夠在更大范圍內得以遷移運用，是知識向核心素養轉化的中介。

為此，筆者在執教小學數學五年級“多邊形的面積”單元時，分析并提煉出具體知識內容背后的大觀念。

大觀念1：測量圖形的面積，實質是測量該圖形所包含的面積單位的個數。

大觀念2：可以借助圖形與圖形之間、各圖形要素之間的關系，推導出多邊形的面積公式。

大觀念3：多邊形面積公式的不同推導過程有著共同的道理，都是將未知轉化為已知去解決新問題。

大觀念4：以上過程發展了學生的幾何直觀、推理能力和空間觀念等數學思想。

教學時，我們不能把學習目標設定為“掌握多邊形的面積公式，會利用公式計算面積”這么簡單，而應該引導學生通過對平行四邊形、三角形和梯形等多邊形面積公式的自主探究和深入思考，不斷理解面積度量的本質，持續感悟“轉化”的思想方法，從而實現數學思想方法層面的“通”與“進”。

筆者以提煉出的“大觀念”為核心，對“多邊形的面積”單元內容進行了結構化重組，將“轉化”思想貫穿單元始終，各部分的著力點既前后關聯又各有側重，幫助學生深入理解圖形面積的本質，即圖形面積就是計算面積單位的個數。

一、典型課例1：平行四邊形的面積

平行四邊形與長方形一樣，其面積的本質含義都是“包含的面積單位的個數”，計算方法也是用“一行的個數×行數”。從知識之間的內在邏輯關系來看，平行四邊形的面積公式是面積計算的一個關鍵模型，本節課形成的“將未知轉化為已知去解決新問題”等大觀念對后續的三角形、梯形、圓形、組合圖形以及不規則圖形等的面積計算都有著重要的啟示作用。

為此，平行四邊形面積的教學應突出兩個關鍵點：一是溝通“數方格”與“剪拼法”的聯系，理解“把平行四邊形轉化成長方形是為了更方便地數方格”，體會轉化的必要性;理解平行四邊形的“底”就是“一行有幾個面積單位”，“高”就是“有幾行”，“底×高”就是“一行的個數×行數”，計算出的是“面積單位的個數”，從而真正建構平行四邊形面積的概念。二是聚焦于學生的“真問題”（即多數學生受長方形面積公式負遷移的影響，最容易產生“鄰邊相乘”的想法），在比較、辨析中理解“底乘高”和“鄰邊相乘”的區別。將這兩個關鍵點理解透徹，在后續計算三角形、梯形等圖形的面積時，學生能夠基于已有知識經驗展開自主探索。

1. 復習長方形的面積公式及推導過程

師生在交流中形成下圖（見圖1）。

2. 探究怎樣計算平行四邊形的面積

學生借助方格紙上的平行四邊形獨立思考，然后全班交流（見圖2）。

生1：數方格。把不滿一格的半格都互相拼成整格，一共有15個格（見圖3）。

生2：剪拼法。沿著高把左側的三角形“剪下來”，再把這個三角形整體向右移動，拼成了長方形，面積是5×3=15（格）（見圖4）。

討論：“數方格”的方法和“剪拼法”有什么區別和聯系？

歸納：平行四邊形里有大半格還有小半格，方格數起來很不方便;而通過“剪拼法”把平行四邊形轉化成面積相等的長方形之后，小方格都變成整格了，很容易看出“一行有幾個”和“有幾行”，方便數也方便計算。

師：看來“轉化”還真有必要呀！請大家再想一想，平行四邊形的面積計算其實是什么？

小結：和長方形一樣，平行四邊形的面積計算本質也是數面積單位的個數。

【設計意圖】“數方格”也就是數面積單位，是測量本質的直觀體現，能有效改正“鄰邊相乘”的錯誤思路。同時，在方格圖里進行割補，能使學生直觀地感受到：只有將圖形這樣變形，才能最方便地數出它包含了幾個面積單位。

3. 辨析“剪拼轉化”與“推拉轉化”的異同

出示練習：計算下面平行四邊形的面積（見圖5）。

學生獨立嘗試后，答案大致有兩種：32平方厘米和40平方厘米。

生1：用“剪拼法”把平行四邊形右邊的三角形剪下來，拼在平行四邊形左邊，就變成了一個長方形。這個長方形的長是8厘米，寬是4厘米，所以面積是32平方厘米。

教師結合回答，動態呈現剪拼的過程（見圖6）。

生2：我是把平行四邊形“推拉”成一個長方形，再用它的長乘寬（兩個鄰邊相乘），面積是8×5=40（平方厘米）。

師：哪個答案是正確的？有什么辦法可以驗證？

生：可以通過方格圖數一數這個平行四邊形到底包含多少個面積單位來驗證。

課件顯示：方格沿著高“剪拼”成寬是4個格的長方形，得到的面積是8×4=32（格），即32平方厘米;而“推拉”成的長方形的寬是5個格，面積是8×5=40（格），即40平方厘米（見圖7）。

小結：用“剪拼法”把平行四邊形轉化成面積相等的長方形，平行四邊形的底等于長方形的長，高等于長方形的寬，長方形的面積=長×寬，平行四邊形的面積=底×高。

【設計意圖】多數學生受長方形面積公式負遷移的影響，最容易產生“鄰邊相乘”的想法，上述教學聚焦于學生的“真問題”，激發學生積極思考，并借助“數方格”明晰“剪拼轉化”的道理和“推拉轉化”的問題所在。這樣直面學生“真困惑”的追本溯源的數學活動，針對性很強，也為學生奠定了利用“轉化”思想解決問題的認知基礎。

二、典型課例2：三角形的面積

在“三角形的面積”教學中，“合拼法”（即用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形）幾乎是公認的最易于學生理解、掌握的方法。但實際上，如果不是提前看書預習過，通過“再拼上一個完全一樣的三角形”來實現轉化的方法，許多學生是不容易想到的。相比之下，學生由推導平行四邊形面積公式的“剪拼法”遷移到“通過剪拼將三角形轉化為平行四邊形”卻是不難實現的。另外，由于學生的思維水平有差異，三角形面積公式的推導過程也會各不相同。如果缺少了對這些不同思路與推導過程的比較與歸納，學生是很難深刻理解上述“公認的”推導過程的優越性的，更不會真正認識到：公式中的“÷2”不僅代表著“三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半”，更代表著“轉化”的數學思維方法。

因此，在教學中教師應當少一些“暗示”，多給學生一些自主探究和與同伴交流的空間，繼而在多種方法的比較、討論中，促使學生形成“三角形面積公式的不同推導過程有著共同的道理，都是將未知轉化為已知”的大觀念。

1. 喚醒經驗，引導思考

師：想一想，平行四邊形的面積公式是怎么推導出來的？如果給你一個新的圖形應該怎么考慮？

師：（出示三角形）怎樣計算三角形的面積？（板書：三角形的面積）

【設計意圖】數學最重要的是教學生學會思考。上述環節把平行四邊形和三角形的面積公式推導聯系起來，啟發學生做類比聯想，“將未知轉化為已知”這個“大觀念”自然凸顯。

2. 自主探索，推導公式

（1）自主探索

學生借助“探究學習單”獨立思考，教師巡視指導。

（2）全班交流

① 探討用兩個三角形推導的方法。

生：我又“復制”了一個三角形，用這兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，它們的底相等，高也相等，所以三角形的面積=底×高÷2（見圖8）。

師：想一想，“底×高”表示什么？

生：“底×高”是平行四邊形的面積。

師：能解釋一下為什么“÷2”嗎？

生：因為“底×高”是兩個三角形的面積，所以要“÷2”。

②探討用一個三角形推導的方法。

生1：沿著中點的這條線把上面的小三角形剪下來，與下面的梯形拼成一個平行四邊形。平行四邊形的底=三角形的底，高=三角形高的一半，所以三角形的面積=底×高÷2（見圖9）。

師：誰聽懂了？為什么要“÷2”？

生2：因為平行四邊形的高是三角形高的一半，所以平行四邊形的面積=底×（高÷2），括號去掉，就是底×高÷2。

生3：我覺得開始時先不要去掉“高÷2”的小括號，要不然不容易懂。

課件展示其他推導方法（見圖10）：

（3）歸納方法

師：想一想，這些不同的方法之間有聯系嗎？它們的共同點是什么？

生1：都是把三角形轉化成已經學過的圖形。

生2：都是把未知轉化成已知。

師：看來“轉化”真是一種重要的數學方法！在這么多“轉化”的方法中，你更喜歡哪一種？

生3：我喜歡用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形的方法，比較簡便。

生4：我喜歡剪拼法。

師：我們知道長方形和平行四邊形的面積計算的是面積單位的個數，那么三角形的面積計算的又是什么呢？

生：也是面積單位的個數。

【設計意圖】經過對三角形面積公式不同推導方法的比較，學生會發現“不同方法背后有共同的道理”，即都是將未知轉化為已知，數學“大觀念”逐漸深入人心。

三、典型課例3：梯形的面積

在推導梯形面積公式之前，學生已經學會了兩種轉化方法—“剪拼法”和“合拼法”，積累了大量的經驗。盡管從模型建構的角度看，“梯形的面積”屬于一節新授課，但從學生已有的學習經驗遷移的角度看，它也可以看作一節圖形面積公式推導的練習課。因此，教學中教師應充分“放手”，鼓勵學生用多種方法推導梯形面積公式，進而在比較、辨析中明白不同方法背后共同的道理，深入理解和形成相關的數學“大觀念”。

1. 回顧舊知，提出設想

（1）回顧推導過程

課件演示：回顧平行四邊形、三角形面積公式的推導過程。

提出研究問題：怎樣求梯形的面積？

（2）鼓勵學生提出設想

生：運用“剪拼法”和“合拼法”，是否也可以求出梯形的面積？

【設計意圖】對圖形面積公式推導方法進行復習梳理，啟發學生進行類比聯想，鼓勵學生提出個人的想法和見解。

2. 自主探索，交流分享

學生自主探究后，全班交流。

生1：用兩個完全相同的梯形拼成一個平行四邊形（見圖11），平行四邊形的高=梯形的高，平行四邊形的底=梯形的（上底+下底），根據“平行四邊形的面積=底×高”推導出“梯形的面積=（上底+下底）×高÷2”。

生2：沿著梯形兩個腰的中點連線并剪開，拼成一個平行四邊形（見圖12）。平行四邊形的面積=梯形的面積，平行四邊形的底=梯形的（上底+下底），平行四邊形的高=梯形的高÷2，所以梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

生3：沿著梯形的對角畫一條線，把它分成兩個三角形（見圖13），左邊三角形的面積=上底×高÷2，右邊三角形的面積=下底×高÷2，所以梯形的面積=上底×高÷2 +下底×高÷2 =（上底+下底）×高÷2。

在交流分享環節，教師鼓勵學生結合直觀圖示解釋自己的推導過程，并緊密圍繞“為什么除以2”這一核心問題，讓學生在多種方法的對比、辨析中，理解不同方法背后共同的道理，深入體會“將未知轉化為已知”的思想方法。

【設計意圖】正是由于教師的充分信任、敢于“放手”，學生“火熱的思考”被激發，創新的火花不斷迸發。在交流環節，教師鼓勵學生“說理”，借助圖示解釋面積公式的推導過程，把推理意識的培養落在了實處。

3. 回顧反思，積累經驗

師：回顧一下梯形面積公式的推導過程，你有哪些收獲？

師生交流，總結梯形面積公式推導的方法及學習經驗。

師：想一想，梯形面積公式和平行四邊形、三角形面積公式之間有什么聯系嗎？

生1：它們都是將未知轉化為已知。

生2：它們計算的都是面積單位的個數。

……

【設計意圖】讓學生“回頭看走過的路”，并把幾個多邊形的面積公式聯系起來思考，有助于將各種相關概念和理解聯系成為一個連貫的整體，形成結構性認識。

（作者單位：北京亦莊實驗小學）

責任編輯：趙繼瑩