數(shù)形結(jié)合方法對初中生思維能力培養(yǎng)的重要性及實施策略研究

摘 要：空間形式和數(shù)量關(guān)系是初中數(shù)學(xué)課程體系中毫無爭議的兩大重點。在新課程改革背景下，發(fā)展學(xué)生的思維能力已成為教育者開展教學(xué)的著力點。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，以數(shù)形結(jié)合的思路培養(yǎng)學(xué)生的思維能力不僅是實現(xiàn)學(xué)生高效學(xué)習(xí)的秘訣，也是實現(xiàn)初中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵。因此，如何在教學(xué)設(shè)計及教學(xué)實施等各個階段融入數(shù)形結(jié)合思想，成為當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教師改革探索教學(xué)方法的重點。為此，文章就數(shù)形結(jié)合方法對初中生思維能力培養(yǎng)的重要性及具體實施策略展開研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);思維能力培養(yǎng)

中圖分類號：G633.6?? 文獻標(biāo)識碼：A ??文章編號：1673-8918（2022）01-0009-04

數(shù)學(xué)知識具有抽象性的特征。在初中階段，學(xué)生所要學(xué)習(xí)的那些文字表述性知識和符號化定理雖然看似簡單，但其背后的探究邏輯以及原理卻有一定的復(fù)雜性，知識點細(xì)碎且繁雜，正是大部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)難學(xué)的癥結(jié)所在。為此，在教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合方法對于學(xué)生學(xué)習(xí)效果的強化具有重要意義，教師應(yīng)當(dāng)對此進行積極實踐，為學(xué)生降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，為學(xué)生之后更加深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定良好的知識和思維基礎(chǔ)。

一、 數(shù)形結(jié)合方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用現(xiàn)狀

（一）數(shù)形結(jié)合方法受重視程度不一

初中數(shù)學(xué)知識滲透著十分重要的數(shù)學(xué)思想，無論是數(shù)形結(jié)合還是化歸類比，都能夠幫助學(xué)生有效化解在未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的種種困難。因此，數(shù)學(xué)思維作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個重要組成部分，近年來一直被相關(guān)教育學(xué)者不斷討論探究。其中，將數(shù)形結(jié)合方法運用于學(xué)生抽象思維發(fā)展尚不成熟的初中階段對于教師提高課堂教學(xué)效率有著重要意義。因此，當(dāng)前大多數(shù)初中數(shù)學(xué)教師對數(shù)形結(jié)合方法在教學(xué)中的滲透普遍較為重視。但由于每位教師教學(xué)經(jīng)驗、理念和模式各不相同，且受到個人數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)風(fēng)格的影響，在開展實際教學(xué)時，并不是所有教師都對數(shù)形結(jié)合方法青睞有加。例如有的教師個人的數(shù)字運算能力突出，這些教師更愿意在教學(xué)中以自己認(rèn)為高效的數(shù)字分析方法展開教學(xué)，進而對于數(shù)形結(jié)合方法的使用頻率較低，學(xué)生也不會在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成數(shù)形結(jié)合的意識。

（二）學(xué)生對數(shù)字和圖形的敏感度并不高

對數(shù)字和圖形的敏感度是學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思維解決實際問題的關(guān)鍵。然而就中學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合方法的運用現(xiàn)狀看，大多數(shù)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題過程中數(shù)形結(jié)合的思維還未完全形成。表現(xiàn)為學(xué)生在閱讀問題時經(jīng)常會忽略題干中的突破關(guān)鍵。例如題目給學(xué)生三角形與三角形的三邊，而三邊邊長正好符合勾股定理，若此時學(xué)生能夠及時在腦海中構(gòu)建直角三角形模型，那么要解決之后的問題就不再復(fù)雜，但很多學(xué)生對這樣的間接提示敏感度不高，他們運用銳角三角形對題干展開各種剖析，最終卻也沒能找到解決的方法。分析學(xué)生難以對數(shù)形結(jié)合方法進行靈活運用的原因，很大程度上是教師沒有通過充足的實踐訓(xùn)練使學(xué)生對數(shù)字和圖形的敏感度有所提高，教師通常只在教學(xué)過程中向?qū)W生展示數(shù)形結(jié)合方法的運用示例，學(xué)生十分缺乏運用數(shù)形結(jié)合方法自主解決問題的成功經(jīng)驗，因此在遇到新問題時，便難以想到這樣的方法。

（三）學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思考能力有待提升

數(shù)形結(jié)合方法背后體現(xiàn)的是學(xué)生的邏輯思考力，當(dāng)前學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合方法運用得不高的一大原因，正是學(xué)生的邏輯思維還有待提升。從學(xué)生接受數(shù)學(xué)信息、分析數(shù)學(xué)信息、嘗試?yán)斫鈹?shù)學(xué)信息并將數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化為圖形或是數(shù)量關(guān)系時，邏輯思考力貫穿始終。而相較于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，初中數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜程度與抽象性往往有了較大的提升，所以對于學(xué)生思維的發(fā)散以及已知的調(diào)動也就更加明顯。許多學(xué)生顯然還沒有習(xí)慣這樣的思維方式，就某一具體問題，學(xué)生所聯(lián)系的常常只有一個知識點，思考不到位、不全面使得學(xué)生往往陷入解題的困境，學(xué)生的邏輯思考力限制了他們對數(shù)形結(jié)合方法的有效運用。

二、 運用數(shù)形結(jié)合方法培養(yǎng)初中生思維能力的內(nèi)涵

從人體的生理結(jié)構(gòu)上看，生物學(xué)家研究人腦后發(fā)現(xiàn)：人類大腦左右半球所主宰的功能區(qū)域是不相同的，左半腦主要負(fù)責(zé)語言、判斷、分析等與邏輯思維相關(guān)的活動，而右半腦則主要負(fù)責(zé)視覺、空間、情感等與形象思維相關(guān)的活動。左右腦的信息交流與相互配合衍生出人類的各種身體及心理活動。所以在教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合方法是對左右腦功能的協(xié)調(diào)利用，分別從代數(shù)和幾何角度對抽象思維與形象思維進行融合，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展提供了更大可能。

在教學(xué)中保障基礎(chǔ)知識與思維方法并重，已然成為新課改背景下絕大部分教師的共識。為了培養(yǎng)發(fā)展全面、綜合素質(zhì)強的學(xué)生，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、探究能力、邏輯推理能力和分析判斷能力必須在當(dāng)前初中數(shù)學(xué)課堂中得到充分激活與訓(xùn)練。教師將數(shù)形結(jié)合的思想滲透于教學(xué)活動中，對于此目標(biāo)的實現(xiàn)具有獨到的積極意義。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合方法，要求教師將圖形的幾何特征與數(shù)學(xué)知識量化的學(xué)科屬性相結(jié)合，實現(xiàn)二者的相互遷移與滲透。幫助學(xué)生將抽象、瑣碎的文字表述轉(zhuǎn)化為直觀、生動的具體形象，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)中的重難點，以更為簡便的思路和方式解決復(fù)雜問題。

在當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂上，教師可以運用數(shù)形結(jié)合方法，展開教學(xué)的空間非常廣闊。例如在學(xué)習(xí)“有理數(shù)”時，學(xué)生需要將“有理數(shù)用數(shù)軸上的點表示”“利用數(shù)軸理解絕對值的含義”;在“學(xué)習(xí)位置與坐標(biāo)”時，學(xué)生需要學(xué)會“運用坐標(biāo)描述簡單的圖形”“用有序數(shù)對表示點的位置”;幾何證明的核心技能，也要求學(xué)生擁有將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言的能力。幾乎在每一課的學(xué)習(xí)中，都可以發(fā)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的身影。開展實際教學(xué)時，教師要不斷挖掘并合理運用教材資源，凸顯數(shù)形結(jié)合方法對初中生思維能力培養(yǎng)的獨特價值。

三、 數(shù)形結(jié)合方法對初中生思維能力培養(yǎng)的重要性及實踐策略

（一）簡化文字，有助于深化學(xué)生的數(shù)學(xué)感知

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生分析數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而理解數(shù)學(xué)概念對于初中生而言卻并不是一件容易的事情。因為教材中的大多數(shù)概念往往是曲折研究的高度結(jié)晶，大多用抽象的語言來描述，這使得學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中常感模糊、難懂，如果學(xué)生難以在腦海中對這些復(fù)雜文字進行再次翻譯加工，就不得不以死記硬背的方式加深印象，這種錯誤的學(xué)習(xí)方式只會讓學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中變得更加被動，效率也難得提升。因此教師在教學(xué)中解釋數(shù)學(xué)概念時，可以分別從幾何與代數(shù)兩個不同的視角出發(fā)，幫助學(xué)生建立抽象概念與直觀圖像間的橋梁，為學(xué)生簡化數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生逐漸形成數(shù)形結(jié)合的意識。

例如在學(xué)習(xí)“有理數(shù)”后，遇到比較大小類問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)軸對問題進行二次加工。如問題“將-2.5，5，-1/4，2，0用‘>’連接”，難度雖然不大，但學(xué)生如果直接從代數(shù)的角度入手進行解題則很容易發(fā)生缺漏和混淆。而如果把這些數(shù)字都標(biāo)示在數(shù)軸上，就可以簡單實現(xiàn)由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換，從而幫助學(xué)生快速得出答案。

數(shù)軸作為數(shù)形結(jié)合方法的代表，在“不等式”學(xué)習(xí)中也起到了關(guān)鍵的作用。如有四個不等式組：x>a，x>b（a>b）;x<a，x<b（a<b）;x>a，x<b（a<b）;x<a，x>b（a<b）。只看這些代數(shù)式中的字母，實在讓人眼花繚亂，要讓學(xué)生以他們還不成熟的邏輯推理力來對不等式組的解集進行判斷，必然會讓學(xué)生感到困難重重。但此時以“形”輔助，就能幫助學(xué)生快速理解。學(xué)生只需在數(shù)軸上標(biāo)明a，b之間的數(shù)量關(guān)系，標(biāo)出交集即可。且對于結(jié)論，如“當(dāng)x>a，x>b（a>b）時，x>b”，學(xué)生也實在無須花費時間與精力去記憶，在遇到問題時根據(jù)實際情況在數(shù)軸上進行簡單標(biāo)示，答案就清楚明了了。

數(shù)軸只是眾多數(shù)形結(jié)合方法的一種，通過數(shù)軸上的點，學(xué)生對概念的理解能夠變得更加直觀，學(xué)生的直觀想象思維也由此得到了發(fā)展。以數(shù)軸為代表的數(shù)形結(jié)合方法為學(xué)生提供了理解、分析和解決問題的新思路，還進一步促進了學(xué)生建模思維的形成。

（二）圖像生動，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

在新課改所倡導(dǎo)的“以學(xué)生為中心”的課堂中，可以看到的是學(xué)生主動參與、師生良好互動、氛圍積極熱烈。要使這樣的課堂真正落地，教師就要在課程設(shè)計和教學(xué)方法的改良上花心思、下功夫，讓學(xué)生能夠在知識學(xué)習(xí)中有滿足感與成就感，在豐富的課堂形式中有參與感并收獲樂趣。不得不承認(rèn)的是，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性確實讓學(xué)生在學(xué)習(xí)上必須保證嚴(yán)肅認(rèn)真，但這并不意味著數(shù)學(xué)課堂就必須枯燥乏味。教師在數(shù)學(xué)課程中呈現(xiàn)不同的圖像，最直觀的效果就是——圖形打破了數(shù)與符號的工整性，使學(xué)習(xí)氛圍更加活躍。這樣的學(xué)習(xí)情境能夠有效開拓學(xué)生的思路，豐富多彩、形態(tài)各異的幾何圖形對學(xué)生產(chǎn)生的視覺沖擊可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。作為教師應(yīng)深知，一旦學(xué)生對某一個學(xué)科缺乏興趣，那么基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)效果將難有保障，提升學(xué)生的思維能力就更是天方夜譚。要打破學(xué)生對于數(shù)學(xué)的偏見，教師首先應(yīng)該突破自己的教學(xué)定式，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的幾何美，使他們始終保持學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和運用數(shù)學(xué)知識的熱情。

例如在幾何圖形的對稱性教學(xué)中，教師可以為學(xué)生展示花磚、國旗、布藝等圖案，以此豐富學(xué)生在課堂中的視覺體驗，激發(fā)學(xué)生的興趣。此外，教師還可以引入一些簡單的邏輯推理題型。如圖1，觀察圖形，第1個圖形只有一條對稱軸，第2個圖形有兩條對稱軸，而第3個圖形有三條對稱軸，所以第4個缺失圖形我們應(yīng)該選擇一個擁有四條對稱軸的圖形，于是選擇C。變換的圖形讓學(xué)生開動腦筋，數(shù)形結(jié)合的思想在幫助學(xué)生鞏固軸對稱圖形相關(guān)知識的同時，也鍛煉了學(xué)生的邏輯思維與推理能力。

（三）清晰直觀，有助于提高學(xué)習(xí)效率

初中階段，函數(shù)是學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系變化的重要手段，其由于具有抽象性，也被學(xué)生視為代數(shù)學(xué)習(xí)的難點。函數(shù)教學(xué)是與數(shù)形結(jié)合方法聯(lián)系最緊密的模塊，若數(shù)學(xué)教師在教學(xué)時將數(shù)形結(jié)合方法與函數(shù)教學(xué)相結(jié)合，能夠清晰直觀地將問題本質(zhì)展現(xiàn)在學(xué)生面前，使函數(shù)中隱含的數(shù)量關(guān)系顯露無遺。就函數(shù)的表現(xiàn)形式而言，教師常常將函數(shù)以直角坐標(biāo)系的形式展現(xiàn)出來，每一個函數(shù)上的點都能夠與直角坐標(biāo)系的橫縱軸一一對應(yīng)，這充分說明在函數(shù)教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合方法是十分必要的。且無論是學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)還是反比例函數(shù)，直角坐標(biāo)系都幫助學(xué)生實現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，實現(xiàn)了對于知識點的快速理解。所以在初中數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是函數(shù)教學(xué)中，教師務(wù)必使學(xué)生產(chǎn)生用數(shù)形結(jié)合方法解決問題的自覺。例如在以下題目：在反比例函數(shù)y=-1x的圖像上有三點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1>x2>0>x3，請比較y1，y2，y3的大小關(guān)系。顯然，這是有關(guān)反比例函數(shù)求值比較大小的問題。在解決這個問題時，如果運用代數(shù)法，學(xué)生可以賦予x1，x2，x3具體的值，進而算出y1，y2，y3的值再比較大小，過程費時且在比較分出大小時學(xué)生也比較容易出錯。所以教師可以提示學(xué)生在直角坐標(biāo)系中畫出y=-1x的圖像。由函數(shù)解析式學(xué)生可以知道，該反比例函數(shù)應(yīng)該位于二、四象限，再根據(jù)x1，x2，x3的大小關(guān)系，在圖中取點比較，y1，y2，y3值的大小便一目了然了。

（四）構(gòu)建模型，有助于提高解題能力

在過去以應(yīng)試為導(dǎo)向的初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，解題能力一直被視為反映學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)準(zhǔn)，雖然當(dāng)前教學(xué)的功利性有所降低，但考試仍然是初中生不得不面對的挑戰(zhàn)。且當(dāng)前即便教師將解題能力從考試中漸漸剝離出來，解題能力也仍是學(xué)生知識運用能力、解決實際問題能力的代表。因此在教學(xué)中，提高學(xué)生的解題能力是必然的要求。運用數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生在遇到問題尋求解決思路時，能夠從文字與數(shù)量關(guān)系的限制中跳脫出來，從圖形中獲得更多靈感，從而找到高效的解題策略。而當(dāng)這種解題思維逐漸成為一種穩(wěn)定的模型，學(xué)生就可以在各類問題中進行方法遷移，提升解題能力。

例如在對相似三角形的應(yīng)用舉例教學(xué)時，課本以數(shù)學(xué)家泰勒斯利用相似三角形原理測量金字塔高度的例子加強學(xué)生對于相似三角形應(yīng)用的理解。在本題中，學(xué)生觀察課本圖例發(fā)現(xiàn)，金字塔頂點到地面中心、金字塔的影長與看不見的光線其實形成了一個三角形，這個三角形與木桿、木桿影子、光線所構(gòu)成的三角形是相似的，文字上圖形的轉(zhuǎn)換使得學(xué)生更加容易地運用相似三角形的性質(zhì)計算出了金字塔的高度。學(xué)生通過這一例題在腦海中構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的模型后，在其他的題目中，就可以將這一方法進行遷移，快速解題。如練習(xí)題中“在某一時刻，測得一根高為1.8米的竹竿影長為3米，同時測得一棟樓的影長為90米，這棟樓的高度是多少”，又如：“晚間安安站在距離路燈6米的地面上，同伴測得他的影長為4.5米。已知安安身高1.5米，若此時他再向遠離路燈的方向走3米，他的影長為多少？”此類題型，學(xué)生畫圖便知題目所考察的都是相似三角形的性質(zhì)，進而通過畫圖輔助，很快便能解決這些問題。

（五）運用導(dǎo)圖，有助于提高歸納應(yīng)用能力

知識的系統(tǒng)梳理能夠幫助學(xué)生進一步鞏固復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識，在學(xué)生腦海中形成知識的系統(tǒng)脈絡(luò)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯性和整體性。在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，這一步工作常常是由教師一人包攬，教師費盡心力梳理出的知識重點對于學(xué)生而言是一紙說教，學(xué)生的總結(jié)歸納能力難以由此得到提升。在借用數(shù)形結(jié)合方法對初中生開展數(shù)學(xué)教學(xué)時，運用思維導(dǎo)圖帶領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建知識整體框架對于優(yōu)化學(xué)習(xí)效果、培養(yǎng)學(xué)生思維有著重要意義。在思維導(dǎo)圖的放射性思考框架中，學(xué)生的發(fā)散思維以及想象力能夠得到提升;在思維導(dǎo)圖的顏色、符號、圖像中，學(xué)生的記憶強度能夠得到有效加深;在思維導(dǎo)圖的繪制過程中，學(xué)生各不相同的裝飾創(chuàng)意體現(xiàn)的更是他們無窮的創(chuàng)造力。例如在整式加減教學(xué)后，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生將整式的加減作為思維導(dǎo)圖的中心;第一個分支為基本概念，包括同類項的定義、同類項的注意事項;第二個分支為準(zhǔn)式的加減法則，包括合并同類項、去括號、加括號法則;第三個分支為整式的加減變式，包括看錯符號的整式加減題型等。在網(wǎng)絡(luò)化的思維導(dǎo)圖中，從視覺角度看這樣的數(shù)形結(jié)合，知識點變得更加清晰明了，這是學(xué)習(xí)最后一步“把書讀薄”的體現(xiàn);從思維角度看這樣的數(shù)形結(jié)合教學(xué)，學(xué)生的歸納、整理能力在這一步得到了有效的提升。

四、 結(jié)語

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教師在開展教學(xué)過程中應(yīng)該提高對數(shù)形結(jié)合方法的重視程度，不斷探究其在實際教學(xué)中的具體實施策略。以數(shù)形結(jié)合方法提高學(xué)生對知識的掌握和吸收，培養(yǎng)學(xué)生的理解力、判斷力、分析力，加強對于學(xué)生的建模思維、抽象思維、創(chuàng)造思維的培養(yǎng)，為學(xué)生奠定堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

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作者簡介：陳艷瓊（1982～），女，漢族，云南昆明人，云南師范大學(xué)實驗中學(xué)，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。