說理，邁向思維縱深處

羅鳴亮

【編者按】對學生來說，數學知識紛繁而枯燥，靠著對概念定理不求甚解的記憶，無法實現真實學習。數學是一門有“道理”的學科，教師如何在教學中構建適宜學生以數學的思維方式進行思考、樂于表達交流的空間，通過問題引導等方式，使其能明晰知識脈絡，看清知識本質，表達思考過程，感悟數學道理？本期話題圍繞“強化數學思維，感悟數學道理”展開探討。

知識的學習固然重要，但值得思考的是在知識學習的深處還能生長出什么？杜威提出：“學習就是要學會思維。”從某種角度來說，讓數學學習真正發生，就是要讓思維真正發生。我們知道，數學是講道理的。數學知識本身蘊含著嚴謹的道理，所承載的數學思維是靈活、批判而又深刻的。基于學生的認知規律和心理特征，在數學教學中，教師更應從學習設計者的角度思考學生的學習。以知識為載體，以問題為引領，以思辨為途徑，以發展為目標，啟發學生基于已有的經驗，積極地思維、主動地建構。在開放思考、協同探究、深度建構中，追尋知識的本質道理，經歷知識的再發現、再創造，進而從樸素的經驗上升到科學的、有邏輯的思維高度。在獲得知識的同時，賦予思維的豐厚與深刻。

一、真問題——從“封閉”走向“開放”

學生的“學”，總離不開教師的“教”。但如果只是在“教”，學習就容易處在“記憶、理解”的低階思維訓練中。因此，站在學生的立場思考“學”，更要從“教什么”轉向“學什么”，從“怎么教”轉向“怎么學”，從“學”的角度設計學生的學習。“少即是多”，好的學習，要貼近學生的已有經驗，以“探究未知”為出發點，設計核心的學習任務。以問題為引領，在有挑戰的情境中點燃學生的好奇心和探究欲，進而主動質疑與分析，使學習真正從“學”的角度啟發學生的思維從封閉走向開放，從被動走向能動。

出示：459×7。

師：做好的小朋友請舉手。同桌之間互相檢查一下，如果100分你就給他點個贊。

師：淘氣也讀三年級，他是這樣

做的（出示右圖）。

師：你們想問？

生：淘氣這樣做對嗎？

師：淘氣這樣做對嗎？對不對？（學生獨立思考）

師：到底對不對呢？可以在淘氣的做法旁邊寫下你的想法。

師：把你們的想法在4人小組里面交流。

小組討論后，學生匯報。

生1：我覺得是對的，因為七九六十三，他寫了63，五七三十五，寫在百位，他寫在下面一行，四七二十八，28是千位，所以我覺得這是對的。

生2：我也覺得是對的，因為七九六十三他沒進位，但是他照樣把6寫在了十位，五七三十五，寫到了下面，3是百位，5是十位，所以是350，四七二十八，8寫在（3的）上面，我覺得這樣算法是對的，但是有點亂。

師：聽懂他說的嗎？有不同意見嗎？

生3：他是把這三個分開算，我們的方法是合起來算。他先算9乘7、4乘7，再算5乘7，我覺得一點都不亂。

生4：我覺得不對，因為他乘的是一位數，不是兩位數，兩位數才要分開算。

生5：我贊同對，因為淘氣算式算對了。我又贊同不對，因為要從個位算起。

生6：我覺得對，因為五七三十五，只是他寫到了下面一行寫成350。

生7（站到生4旁邊）：我支持不對，淘氣可能認為這種算法比較簡潔，如果按順序乘的話，不把35寫在下面;他用2863加上350，可能步驟會少一點。

生8：我覺得是對的，因為他是先算409×7，但十位（5）還是有算的，不會忽略掉。

思考：從學生的思維特質出發，筆者在學生獨立計算459×7之后，拋出淘氣的算法，當固有的常規豎式計算和新穎的算法隔空相碰時，沖突、質疑、審視、批判等心理活動沖擊著每一個學生原有封閉的對豎式算法的認知，進而產生真問題——“淘氣這樣做對嗎？”

如此，課堂以學生產生的真問題為核心，以開放的姿態，觸碰到學生的“好奇心”和“思維”的燃點。在兩種算法的對比分析中，課堂像是進入交鋒的狀態，但其實質，是站在學生“學”的角度，巧妙地以兩種算法為載體，啟發學生的思維主動從算法之間的較量聚焦到算理的溯源。使得學生不由自主地帶上數學應有的理性視角，在有挑戰性的問題里，基于自我的經驗與獨立思考，亮出自己的觀點，展開對未知的分析和求索。在這樣的過程中，學生已跳脫出固有封閉的認知，以開放的思維方式叩問豎式中的本質道理，不僅成為更好的提問者，還發展質疑問難的批判思維。

二、真思辨——從“個體”走向“協同”

學習的過程就是在“自我”與“知識”、與“他人”、與“世界”交互的張力中不斷重構的過程。在這樣的過程中，學生往往圍繞挑戰性問題，基于獨立地對已有經驗的改造與重組，以語言為媒介，在交流互助的關系中，從“個體”的思考走向“協同”的探究，不斷地經歷沖突、推敲、叩問、理解、修正、重構等一系列思維活動。這樣“協同探究”的課堂不再只是促進記憶與理解的場所，更是發展學生分析與綜合、評價與創造等思維的場所，是促進學生不斷提升自己、不斷重建認知的場所。

1. 批判，鼓勵學生科學的質疑精神。

生7：可是淘氣7×5寫在上面也是可以的，他為什么要寫在下面？

生8：其實算法都一樣，只是寫在上面和下面的區別，答案是一樣的。

生7：那為什么2863+350還是沒有進位？

生8：因為他是直接先算409乘7等于2863，但是如果忽略掉了十位上的50，那這個答案也會是錯的，所以必須得加上。結果已經有進位了，只是沒寫出來。只要能確保是對的，他就能這么寫。

生7：我說不出來了。

師面向生7：說不出來是吧？說不出來誰幫助我們一下。

生4：為什么要加50×7呢？

生8：因為如果把50省略掉，那答案不是錯誤了嗎？所以50必須得乘7，它才能是正確的答案。

生5：為什么要（跳過十位）先算百位？

生8：應該是409×7，只要把5往下挪，然后看成409就可以了。

師：誰來幫助我們三個？

生9：為什么350要寫在下面，為什么不是在上面？你得先說清楚。

生8：這個問題我已經說清楚了，只要能確保是對的，就可以寫在下面，如果你沒有辦法確保是對的，寫在上面也可以。

生4：但是350寫在下面，你說這個是對的，你得有理由。

師：很好，等一下。表揚，懂得問，你要給我理由呀。

生8：因為它是409×7=2863，但是50沒有算，所以我們現在必須得算出來，不然答案是錯誤的，這就相當于忽略了一步。

生7：從個位乘到百位，不是比這樣子計算更清楚一些嗎？

生8：只要能確保是對的就可以了，如果你沒有能力確保它是對的，那你可以按老師的教法，但淘氣這樣算是對的。

生5：350的0可不可以省略掉？

生4：淘氣寫豎式是要讓別人看得更清楚計算過程，但是這道算式過程都不清晰。

生8：這個過程對我來說也挺清晰的，因為409×7等于多少，再加上50×7等于多少，我們都可以清晰地看出來。

2. 沉潛，觸發學生積極的探索精神。

生12：大家可以換位思考一下，別一直只想自己的。

生8：你們用不同的話來說，其實問題的本質是一樣的。

生4：我們不問明白的話，你們怎么能證明淘氣是對的？

生10：我有個辦法證明，換個算式來算，同樣用淘氣這個方法。549×8，首先算個位的，八九七十二，然后再跳過去算百位，五八四十，接著是四八三十二。然后用我們以前學的方法再算一遍，答案也一樣，就說明淘氣的做法是正確的。（別說邊板書）

生11：為什么可以跳著算呢？

生10：為了給個位的答案弄出個空位。

生11：為什么不能先算十位再算百位呢？

生10：其實也可以。

生8：只要你有能力把它算對的話，就可以了。

生11：如果按你們的說法，先算十位不可以嗎？為什么你和淘氣都是先算百位呢？

生5：老師說過了，算式中要從個位算起。

3.明晰，推動學生理性的思辨精神。

師：淘氣這個（2863）表示什么意思？這個（350）又表示什么意思？

生13：我看得懂。（而后沉默）

生14：我看得懂，我能上去講一下嗎？

師：你要讓他（生13）聽懂，要不要把他帶上去？

生14帶著生13上臺：9個一乘7等于63個一，4個百乘7等于2800，然后它們兩個又合在了一起，表示409乘7。

師：對不對？掌聲送給她。那么這一個（350）呢？剛才帶誰上來了？

生13：350是5個十乘7。（同時板書）

生15：我也是這樣想的，但是我覺得這樣做不對。比如111乘1至9，這樣的方法太難了，不好算出來。

師：我發現我們班的同學會假設、會舉例，這個同學也一樣，他又舉了一個什么例子？

生16：數位上的數字很小的數乘一個很小的數，比如111乘1至9。

師板書：111×9。

師：也就是說，需不需要用淘氣的辦法？

生17：不用。

師：我們先來說他的方法對不對？

生18：對，只不過用在其他算式太麻煩了，比如像111×9，可以直接口算。

師：沒必要用淘氣的方法對不對呀？

思考：教學圍繞兩個對立觀點，借助“誰來幫助我們三個”“表揚，懂得問”等語言的穿針引線，游走在學生的思維困頓處、觀點交鋒處、說理障礙處，啟發學生一次次地以淘氣的算法為思維發展的途徑和載體，觀點愈加鮮明的同時，將“踢十法”置于“乘法運算”這一知識體系中，不由自主地從算法的分析邁向算理的溝通。在“這樣算不清晰、麻煩”的常規派和“只要能算對就可以”的靈活派的激烈思辨中，更誕生了“換位思考”的兼容思想，“問題的本質是一樣的”的理性洞察，“549×8”的舉例驗證及“雖然對，但如111×1～111×9等題目，用了很麻煩”的再聯想、再跳躍、再創造。

一次次的思維拐點，一次次的多元交互，一次次的深入探究，算法的靈活合理、算理的遷移溝通已無聲潛藏進學生的思維里。如此，從個人的思考到協同的思辨，隨著思維的逐步深入，不僅有意義地建構起知識的認知過程，更幫助學生從個人的觀點里跳脫出來，從事實性的知識通往自發的創造性的經歷，拓寬原有認知的疆界。在深入本質的理解中，學生學會用數學的思維來理解和解釋，逐步養成講道理、有條理的思維品質。

三、真發展——從“表層”走向“深度”

知識是什么并不是最重要的，重要的是以知識為載體的教學根本目標是學生的發展。因此，教學更要從知識的獲取，走向思維的發展，最終幫助學生的學習跨越表象，由表及里，由薄到厚，走向深度認識與智慧思考，建構起學習的意義。

生：那么多種方法，為什么他只選這一種復雜的方法？

師：對呀，淘氣為什么要這樣算呢？他的方法有沒有好的地方？

師：四人小組討論一下，淘氣的方法有沒有好的地方？

生：不好，因為老師說要用別人看得懂的方法，如果這個方法讓別人看不懂怎么辦，所以我覺得不好。

生：我覺得好，像459×7，比較難的算式，可以不用驗算也能表達它的正確答案。

生：這個方法可以直接口算，比如可以列成9×7，400×7，50×7，再把它們加起來。

生：我覺得好，它減少了錯誤率，首先你看個位，9×7=63，進位，5×7=35，又進位，兩次進位，很容易就會算錯。而淘氣這樣，把順序改一下，進位改加法里面了。

生：他的意思是說他只是先把（十位上的）5看成0，把其他的先算了，最后再加起來，這都是我們學過的，不容易算錯。

生：這樣錯誤率低，這個方法腦袋里想想就可以。

師：真好，其實沒有最好的辦法，就像淘氣認為他的方法很好，可是有的小朋友舉了111×9的例子，對不對呀？所以，今天你們能夠從認為這是不對的，慢慢通過思考，通過交流，有的還通過舉例子、假設，甚至驗算，發現淘氣的方法是對的，從而明白他為什么這樣算。其實，沒有最好的方法，只有適合自己的。你看，有人說過這樣的一句話，我們來讀一讀。

生：算法只是知識，選擇才是智慧。

思考：“淘氣為什么要這樣算呢？他的方法有沒有好的地方？”問題的提出，給學生的思維再次帶來沉潛的契機。觸發學生再次從自己的思考走向有理的辯論，從自我經驗的分享走向他人想法的融入，從合理的運算走向靈活的建構。其間，一次次跨越算法的表層，深入到批判思維的深處，既有算理的明晰，又有多樣的思考，還有對錯誤率低的洞悉，更有“算法只是知識，選擇才是智慧”的領悟;促使學生的思維得以高度沉浸與持續深化，從知識的本質之理來到學習的智慧之理，進一步把新形成的經驗沉淀下來，迭代個人的思維方式和認知體系。學生不僅建構起知識，更豐厚自我，探尋到知識學習深處的意義，發展出獨有的學習智慧。

（作者單位：福建省普通教育教學研究室）