邏輯推理核心素養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的落實(shí)
——基于“周長與面積變化規(guī)律”教學(xué)片斷分析

■ 上海師范大學(xué) 成婕妤

1 有關(guān)“邏輯推理”核心素養(yǎng)的認(rèn)識

邏輯推理的核心素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。而在小學(xué)階段,與之相對應(yīng)的是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中把推理能力也是作為十大核心詞提出,其中關(guān)于“推理”的闡述是:“推理一般包括合情推理和演繹推理,合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā),憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺,通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā),按照邏輯推理的法則證明和計算。”

2 小學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的教學(xué)模式

2.1 “臆測教學(xué)模式”的內(nèi)涵及構(gòu)成

關(guān)于小學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)已有許多探索,但是還沒有形成相對確定的教學(xué)模式,本文參考中國臺灣清華大學(xué)數(shù)理教育研究所林碧珍教授及其團(tuán)隊(duì)實(shí)踐提出的“臆測教學(xué)法”。

臆測教學(xué)模式主要是以小組為單位進(jìn)行學(xué)習(xí),包含四個環(huán)節(jié):第一環(huán)節(jié)是造例,在該環(huán)節(jié)中不僅需要學(xué)生獨(dú)自創(chuàng)造一個例子,還需小組成員將個體創(chuàng)造的例子進(jìn)行歸納匯總。第二環(huán)節(jié)是提出猜想,組內(nèi)成員需根據(jù)小組例子提出個人猜想,為確保個人猜想是有理有據(jù)的,該階段還需小組成員合作檢驗(yàn)個人猜想的科學(xué)性,形成組內(nèi)公認(rèn)的猜想。第三環(huán)節(jié)是效化猜想,上一環(huán)節(jié)所提出的猜想僅僅是依據(jù)組內(nèi)少數(shù)例子成立的,此時,該階段還需利用全班其他組的例子來支持或反駁原猜想,形成班內(nèi)公認(rèn)的猜想。第四環(huán)節(jié)是猜想的一般化,前三個階段的猜想是僅基于全班有限例子所提出的暫時性猜想,此時,學(xué)生需要進(jìn)一步大膽推測該猜想能否被所有例子應(yīng)用。

2.2 “臆測教學(xué)模式”對發(fā)展小學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的分析

“臆測教學(xué)模式”步驟非常清晰,并且每一步都對學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)具有培養(yǎng)意義。首先在造例階段,既可以幫助學(xué)生將現(xiàn)實(shí)生活世界與數(shù)學(xué)世界相聯(lián)系,又發(fā)展了學(xué)生組織與執(zhí)行數(shù)據(jù)的能力;其次在提出、效化、一般化階段,要求學(xué)生將在少數(shù)例子中成立的猜想,類推到無限例子中仍然成立,學(xué)生在這個過程中,即能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)之美,又能發(fā)展科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S;最后在證明階段,學(xué)生需要論證猜想的恒真,這就培養(yǎng)了學(xué)生演繹推理的能力。整個過程是教師有目的地設(shè)計臆測任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生通過歸納與演繹相結(jié)合的方式,將非恒真的猜想修正為恒真的概念。例如,在學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和”時,教師可以用“臆測教學(xué)模式”讓學(xué)生經(jīng)歷造例、猜想、論證的過程,來取代僅呈現(xiàn)一兩個特殊例子,就直接宣告“任意三角形內(nèi)角和都是180度”的教學(xué)模式。

3 對“周長與面積變化規(guī)律”課例分析

3.1 教學(xué)片斷

師:老師給我們的老朋友(A4紙)動了一個小手術(shù),我在他的右上角剪去一個小邊長為10cm的正方形,這個圖形和剛才的長方形比較,他們的面積誰大?

生1:長方形大!

師:為什么?

生1:因?yàn)槊黠@在原來的基礎(chǔ)上少了一塊。

師:誰的周長更長呢?

生2:一樣長。

師:你是怎么得出的?

生2:周長就是圍成這個圖形所有邊的長度之和,我通過平移把正方形左邊的那條邊移到右邊,下邊的那條邊向上平移,就恢復(fù)成一個長方形了。

師:由此看來“周長相等的圖形,面積可不一定相等”。

師:同學(xué)們真有辦法!那如果是在這個位置剪呢?2號圖形和1號圖形相比,周長誰的更長?面積誰的更大?(多媒體展示)

生3:它們的面積和周長都相等。

師:你是怎么判斷的。

生3:圖1通過平移把正方形左邊的那條邊移到右邊,下邊的那條邊向上平移,可以得出圖1與原長方形的周長相等。圖2通過將下邊的那條邊向上移,也就圍成了原長方形。

師:大家都贊同它的回答嗎?

生4:我認(rèn)為它們的面積相等,但是2號的周長比1號的周長長。

師:你來說說理由。

生3:因?yàn)槭羌羧ネ瑯拥恼叫?所以減少的面積是一樣的。通過平移可以得知圖1的周長和原長方形一致,而圖2要比原長方形多兩條正方形邊長的長度。

師:同學(xué)們靈活運(yùn)用平移的知識,就解決了老師的問題!那我們是不是可以由此得出面積相等的圖形,周長不一定相等呢?

3.2 問題診斷

“課標(biāo)2011年版”指出:數(shù)學(xué)課程在使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能的同時,也要重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。合情推理經(jīng)常被用于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論以及問題解決的探究性學(xué)習(xí)中,歸納和類比是其兩種主要形式。而演繹推理經(jīng)常被用于證明結(jié)論,兩者應(yīng)相輔相成。但當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中,極少數(shù)教師會運(yùn)用相關(guān)教法去培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力,即使有,也是更偏向于合情推理。

在上述課例的教學(xué)片斷中,教師試圖通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納法去探究“長方形的周長與面積的變化規(guī)律”,來滲透歸納推理,然而由于教學(xué)活動設(shè)置不合理,使得邏輯推理素養(yǎng)的落實(shí)流于表面。具體分析如下:

分析1:在上述教學(xué)片斷中,我們可以看出執(zhí)教教師是想運(yùn)用不完全歸納法,讓學(xué)生在觀察、平移中,經(jīng)歷從特殊到一般的歸納過程。執(zhí)教教師僅為學(xué)生展示了兩個操作情境,就得出“周長相等的圖形,面積不一定相等”“面積相等的圖形,周長不一定相等”兩個結(jié)論,顯然此操作設(shè)計的從特殊到一般不屬于由部分推理到整體,這將潛移默化地給學(xué)生傳達(dá)一個錯誤的不完全歸納概念。由此可見,從特殊到一般的歸納必須基于多個對象,否則就缺乏一定數(shù)量的合理證據(jù)。此外,依據(jù)不完全歸納法得到的結(jié)論有可能是真,也有可能是假,還需進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。

分析2:教師沒有留給學(xué)生動手操作的機(jī)會,僅讓學(xué)生在觀察圖形基礎(chǔ)上思考圖形的變化;教師沒有設(shè)計小組活動,沒有為后進(jìn)生留有充分的思考時間。

4 基于臆測教學(xué)模式對“周長與面積的變化規(guī)律”課例作出改進(jìn)

針對教學(xué)片斷中存在的問題,最根本的原因在于教學(xué)活動設(shè)置得不夠合理,因此,此次將基于臺灣的“臆測教學(xué)模式”重建該活動設(shè)計。

[造例]學(xué)生6人為一小組,教師要求每個學(xué)生需剪出一個可供探究的例子,6人不可有重合。

教師可以設(shè)計以下幾個問題,為學(xué)生提供造例的思路,明確操作目的。

問題1:如何才能規(guī)整地剪掉一個小長方形或小正方形呢?(教師可以為學(xué)生準(zhǔn)備帶有小正方形虛線格的長方形紙片,或者引導(dǎo)學(xué)生自己先制作一個小正方形或小長方形的模具)

問題2:如何才能顯而易見地比較出長方形紙剪與沒剪之間的不同?

(教師可以為學(xué)生準(zhǔn)備兩張顏色不一,形狀一致的長方形紙,一種顏色用來對比,另一個用來裁剪)

問題3:在長方形的四周上剪掉一個小長方形,①面積會產(chǎn)生什么變化?②周長會產(chǎn)生什么變化?③面積和周長的變化會一致嗎?

[組織例子]將組內(nèi)每一位成員剪好的6個圖形進(jìn)行分類,并在寫下分類的理由。如分類成在角落剪、在邊上剪、穿透2邊剪。

[尋找規(guī)律、提出猜想]首先,通過觀察每一類圖形變化的共同特征,基于證據(jù)提出個人猜想;其次,小組成員應(yīng)相互驗(yàn)證所提出的猜想是不是建立在有效依據(jù)基礎(chǔ)上的;最后,要求小組成員把小組中類似的猜想進(jìn)行比較、歸類、匯總,把個人猜想變成小組猜想。

[效化猜想]組織學(xué)生交流猜想,借助全班活動使得出的小組猜想能適用于更多的例子。為了讓中低成就的學(xué)生也能積極參與課堂活動,教師可以請小組猜想數(shù)量最少的一組進(jìn)行匯報并介紹分類理由,之后,依次請有多種分類的其他小組進(jìn)行補(bǔ)充例證;最后,再經(jīng)過全班成員一同檢驗(yàn),得到全班公認(rèn)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。

設(shè)計意圖:(1)從造例到提出個人猜想,讓每名學(xué)生都有獨(dú)立思考的機(jī)會;(2)從個人猜想到全班猜想,小學(xué)生利用論據(jù)來反駁別人的觀點(diǎn)或支持自己的觀點(diǎn),做到言之有據(jù)正是演繹推理能力發(fā)展的初步表現(xiàn);(3)從全班猜想到數(shù)學(xué)結(jié)論,學(xué)生以極端個例和具體數(shù)據(jù)論證猜想,并通過說理與精準(zhǔn)數(shù)字,推演到結(jié)論,邏輯推理素養(yǎng)得以落實(shí)。臆測教學(xué)法模式真正做到了合情推理與演繹推理相輔相成。