能量與時間不確定關系的物理意義

何向前 喬豪學

（1.武漢外國語學校 湖北·武漢 430022；2.武漢大學物理科學與技術學院 湖北·武漢 430072）

國內無論是中學物理課、大學普通物理課、還是物理學專業的量子力學，教學中都會涉及不確定關系，其中位置和動量之間的不確定關系理解較為一致，但對能量和時間的不確定關系還有不同的理解，有必要加以討論并澄清。首先，不確定關系是微觀系統不確定性的表現，是粒子波粒二象性的必然結果，是粒子的基本屬性，雖然需要經過測量才能表現出來，但屬性本身與測量無關。二十世紀九十年代以前的不少教科書，將不確定關系稱之為測不準關系，讀者容易誤解為不確定關系并不是粒子的基本屬性，而是與測量有關的一種觀測效應，之后的教科書大多稱不確定關系。尤其是不確定度的理解，并非單次測量精度，而是測量值分布的彌散度，用測量值對平均值的偏移來表示，數學表達即標準差，也在本文予以澄清。

1 基于高斯型波包的能量與時間不確定關系

海森堡(Heisenberg)于1927年對高斯型波包的分析[1]，得出位置和動量的不確定關系為

可以用如下簡單的數學推導就可得到上述關系式，對于最小不確定度波包

基于傅里葉變換，一對共軛量的不確定度必然會出現類似的關系，這是純粹數學的結論，并不需要物理上做出新的約定[2]。不確定度的含義，并不是測量值的標準差，而是系統可觀測量可能取值對平均值的偏離，從波恩統計解釋出發，不確定度就是系統可能取值的標準差。這么引入不確定關系看似沒有任何問題，然而坐標和動量都是可觀測量，可以視為一對共軛物理量；而量子力學理論框架下，能量是一個可觀測量，可以用哈密頓算符表示，但時間并不是一個可觀測量，二者并不能視為一對共軛物理量，從而在物理解釋上會帶來困難。如(3)式可以理解為粒子在任意運動狀態下，坐標和動量的不確定度乘積的下限是。(4)式按相似的方式，是否可以理解為時間和能量不確定度乘積的下限是？答案是否定的，由于時間不是可觀測量，時間不確定度的物理意義模糊。

當然對于不確定關系的理解，從一開始的分歧走向統一認識也有個過程。在不確定關系提出之初，由于提出的過程可以完全基于數學，即與波性分布有關的任意一對共軛物理量都具有不確定關系。所以海森堡早期對不確定關系的理解是建立在測量基礎上的，即測量一個量必然影響另一個量，這種相互制約導致不確定關系的出現。比如一個假象實驗，用測量一個粒子的位置涉及尺度測量的精度，最合適的辦法利用光子的散射，散射依賴于波長和散射靶的尺度，從而實現高精度位置測量。但由于光子具有動量，康普頓散射實驗也證明了愛因斯坦光子動量預言的正確性。從而散射過程的動量交換，必然導致被測粒子動量的變化。要提高測量精度，必須使用波長盡量短的光子，根據德布羅意假設，波長短的光子動量必然大，光子和被測粒子之間的動量交換會變大，導致電子的動量發生更大的變化。因此從測量上來講，粒子位置的測量精度必然會影響粒子動量的測量精度，數學形式和物理解釋并不矛盾，但這樣理解就跟量子力學沒有必然聯系。這里將一個物理量的不確定度理解為測量精度，海森堡提出的各種論據也并不把不確定度理解為單次測量精度，而是認為單次測量值會形成一個分布，測量值對平均值的偏離為不確定度。這樣理解不確定度會與上述不確定關系的理解不能融合。這里引入量子力學的基本假設，即對物理量的測量，得到的返回結果，只可能是該力學量本征值中的一個。比如斯特恩-蓋拉赫實驗就證明了這一點，對原子磁矩在某一方向上分量的測量結果，總是的整數倍，而不可能是其它值。因此量子力學的不確定度是表示測量結果對平均值的偏移，數學上就可以用標準差來表示。如此理解不確定都，不確定關系就不能叫測不準原理，因為不確定關系與單詞測量精度沒有任何關系。那么不確定性關系的根源，在與粒子的波粒二象性所導致的力學量取值不完全確定性。不確定關系，表示的是任意兩個物理量的測量結果對平均值偏移的關系。兩個力學量不確定度之間的關系，取決于兩個力學量算符之間的對易關系。這樣不確定關系就可以由量子力學理論導出。不確定關系本質上是物理量可能取值之離散程度之間的聯系。量子力學上，對一個物理量的測量會得到一個結果，這個結果可以表示為一個實數，通常將這樣的物理量叫可觀測量，跟力學量意思等同。

2 基于量子躍遷的能量與時間不確定關系

另一種引入能量與時間不確定的方法是基于量子躍遷[3]，即在時間t=0時刻加上一個微擾，則系統時刻躍遷到末態的能量分布寬度為，用含時微擾論可得到

若堅持不確定關系是系統本身的屬性，(5)式作為能量與時間的不確定關系并不恰當，因為并不是系統在微擾作用下的能量不確定度，只是在無微擾下系統本征態之間的間隔，并不真正反映微擾作用下系統的性質。雖然 (5)式可以用來解釋能級寬度和能級壽命之間的關系，但其它文獻也認為這不是真正的能量與時間不確定關系[4][5]。

3 基于算符對易子的能量與時間不確定關系

羅伯遜(Roberson)于1929年基于算符對易關系導出了不確定關系[6]，這也是現今教科書采用最廣泛的理論推導。若兩可觀測量可用算符和描述，且兩算符的對易子為，在描述的量子態下，兩可觀測量的期望值為

兩可觀測量的不確定度定義為標準差

則不確定關系為

這個表達式是基于算符理論導出的，推導在數學上是嚴格的，反映了兩個不對易的算符所描述的可觀測量，其不確定度之間的關系。坐標與動量不確定關系可作為(8)式的特例自然給出。因為，根據(8)式可以得到。仿照坐標與動量不確定關系，對任意狀態波函數有

為解決能量時間不確定度的來源，我們約定對于一個不顯含時間的可觀測量可用算符表示，則該可觀測量期望值隨時間的變化為[7]

則可導出如 (4)式的能量與時間不確定關系[8]，即。這里的可以理解為系統可觀測量期望值演化的特征時間，它表征系統演化的快慢。可觀測量可以任意選擇，都能得到同樣的不確定關系。教科書采用這種推導，邏輯上自洽且比較好理解[5-8]。

4 能量與時間不確定關系的理解

首先需要明確，在量子力學理論框架下，時間具有特殊性，它與坐標和動量等經典力學量的本質區別，在于它不是可觀測量。時間的這種特殊性質，來源于量子力學的基本假設，即薛定諤方程所賦予的特殊地位。薛定諤方程直接規定了時間在任何表象都是一個參量，而不能像其它可觀測量用算符表示。而不確定關系是兩個可觀測量之間的內在聯系，是波粒二象性的必然表現。既然時間不是可觀測量，所以并不存在嚴格意義上的能量與時間不確定關系。對于關系式中的理解，需要重新審視時間到底是什么。牛頓力學中，時間和空間都是獨立與物質運動的，時間是絕對的、真實的、數學的時間，與任何外界事物無關地均勻流逝，這種理解符合我們基于日常生活經驗的物理直覺。在狹義相對論理論基礎上，時間是物質的存在形式，時空與物質的運動有關。而薛定諤方程是非相對論的，非相對論量子力學里面，薛定諤方程本身賦予了時間以特殊的地位，也決定了時間不同于位置和動量這些可觀測量。那么如何理解對時間的測量？測量時間實際上測量的是某一可觀測量的變化；即以某個可觀測量的變化為標準，衡量其它可觀測量的變化，才產生了定量化的時間定義。即時間不再是一個可觀測量，它只是可觀測量變化的一種標準。所以(12)式中的，并不是真正意義上時間測量結果的不確定度；而是以期望隨時間的變化率作為時間標準，給出的實際上是可觀測量不確定度的變化。由(12)式可以看出，本質上是可觀測量標準差的一種表現。因此，能量時間不確定關系，本質上是任意與哈密頓算符不對易的可觀測量與能量之間不確定關系的等效表達式。能量時間不確定關系，只是任意可觀測量和能量不確定關系的變形，這也許才是能量與時間不確定度的準確含義。

綜上所述，可以得到簡單明確的結論：一、不確定關系是粒子波粒二象性的必然結果，它由可觀測量算符直接導出，描述兩個可觀測量之間的內在聯系；二、時間不是可觀測量，它在任意表象下都是一個數，而不能用算符表示，所以不存在本征值譜和本征函數組，當然就不存在嚴格意義上的能量與時間的不確定關系，不確定關系只存在于可觀測量之間；三、教科書中出現的能量時間不確定關系式，在數學上仍然成立，它是任意可觀測量與能量不確定關系式，即的等價表示。