一道競賽試題的多解及推廣
2022-04-11 10:15:26福建省福清第一中學350300葉誠理福建省福清第三中學350315
中學數學研究(江西) 2022年4期
福建省福清第一中學 (350300) 葉誠理福建省福清第三中學 (350315) 何 燈
1.試題賞析
2.試題解析
評注：本解法通過正弦定理把邊b,c的關系轉化成角度B,C的關系，結合三角形內角和關系，運用三角恒等變換公式，轉化成與角C相關的三角函數計算問題.
評注：本解法仍然是通過正弦定理把邊的關系轉化成角的關系，與解法一不同之處在于通過聯立角A,B,C的關系，把角B,C統一用角A表示，從而得到關于角A的三角關系式，體現了消元、方程思想在解三角形中的應用.
圖1
評注：本解法通過添加輔助線將角B分解為兩個角，從而構造兩個三角形相似，利用余弦定理構建邊a的方程，實現了面積的轉化計算.
圖2
評注：本解法通過建立坐標系實現把解三角問題運用解析幾何知識來求解.關鍵是幾何條件代數化，其中，以B為原點的好處是可以根據AB=1把點A看單位圓上點，用角B巧設點A坐標，利用直線AC斜率表達式，把邊a關系轉化成角B的三角函數，進而通過AC距離公式計算sinB，最終轉化成面積.
3.試題推廣
借鑒解法二的證明，我們可以得到更一般的結論.
推廣在△ABC中，AB=c，AC=b，其中b>c且B-C=α>0，則△ABC的面積為
