2021新課標Ⅰ卷第19題的解法探究

安徽省合肥一六八中學 (230601) 吳志勇 王中學

2021年高考新課標Ⅰ卷第19題是一道解三角形問題，主要考查了利用正余弦定理處理三角形中的邊角關系，也考查了分析問題、解決問題以及運算求解能力等數學素養，體現了樸實中重視基礎，常規中考查能力，為引領在新課程、新教材下開展高中數學教學起到了良好的導向作用.本文就此題的解法開展研究.

一、試題呈現

原題記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

二、解法探究

(法2)在△ABC中，由b2=ac得b·sin∠ABC=a·sinC，又BD·sin∠ABC=a·sinC，

∴b·sin∠ABC=BD·sin∠ABC.∵sin∠ABC≠0，∴BD=b.

評注：解法1是利用△ABC與△ABD中∠A的余弦值相同，解法2是利用△ABC與△BCD中∠C的余弦值相同，解法3是利用△ABD與△BCD中∠ADB和∠BDC互補，余弦值的和為0，三種方法本質相似，借助角之間的關系以及已知條件b2=ac和AD=2DC來找出邊a,b,c之間的等量關系，對學生的運算能力要求較高；解法4通過對已知條件BD·sin∠ABC=a·sinC的推理，找到∠ABC與∠BDC互補，繼續可以利用余弦定理找出邊之間的關系，而解法5則是利用了三角形相似得到了邊之間的關系，方法巧妙，對學生的邏輯推理能力要求較高；解法6和7根源是余弦定理，但是分別利用了向量法和坐標法，一個是正余弦定理的推導工具，一個是三角函數概念的應用，方法不難，容易被忽略.本題充分體現了選拔功能，要求不同的學生選擇不同的方法解決問題.

三、命題推廣