一道結構不良試題的解法探究

重慶市銅梁二中 (402560) 李 波

1 試題呈現與條件分析

(2021年11月綿陽一診理科題)在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，c=3，從以下三個條件中任選一個：①btanC=(2a-b)tanB；②2ccosB=2a-b；③accosA+a2(cosC-1)=b2-c2，解答如下問題.

(2)若AB邊上的點P滿足AP=2PB，求線段CP的長度的最大值.

在結構不良問題中，備選條件是從已有條件通向需解決問題的一座橋梁，因此，有必要先弄清楚備選條件究竟為問題的解決提供了什么條件或工具.下面逐個分析各備選條件.

根據等式的結構，合理利用正弦定理或余弦定理實現邊角互化使問題迎刃而解.一般而言，等式中僅出現余弦與邊時，可采用余弦定理把余弦用邊表示；等式中的邊是齊次式時，可考慮用正弦定理把邊用角表示.同時，也要注意三角恒等變換，三角形固有的性質(三角形內角和為180°，三角形的射影定理等)的靈活使用.

2 解法探究

2.1 第(1)問的解答

2.2 第(2)問的解答

由于AP=2PB，AB=3，則PB=1.

評注：運用第(1)問的結果，將CP2轉化成三角函數的最值問題求解.此解法中，第(2)問作為第(1)問的自然延續，符合問題串式的命題原則.

評注：由余弦定理得到CP2的關系式，結合這些等式將CP2用三角函數表示，其中用到的積化和差公式可能是學生比較生疏的知識點.

圖1

評注：由于角C及其對邊c固定，聯想到外接圓模型，并巧妙地把所求線段放到三角形中構造不等式求解.最后用余弦定理驗證：當P,O,C共線時，△ABC為銳角三角形.這是有必要的.

3 結語

廣義的結構不良問題是現代認知心理學研究的內容.數學中的結構不良問題往往是指問題的起點和目標明確，提供若干解決問題的途徑且預先不知道那種最優，但都能達到目標的一類題型，是近幾年高考中出現頻率較高的一種題型.這種結構不良問題有利于展現數學的趣味性，體會數學知識的應用價值，啟迪數學智慧，提高數學核心素養，這與高中數學課程的基本理念不謀而合.另一方面，對同一個問題變換不同的視角尋求不同的解決方案，可以開拓思維視野，提升思維品質，將相關知識融合在一起，有利于學生從整體上把握并運用數學知識，這也是數學核心素養的基本要求.