拓展解題思路，優(yōu)化運(yùn)算步驟*
——以解析幾何試題的求解為例

四川電影電視學(xué)院實(shí)驗(yàn)中學(xué) (611331) 王昌林 羅萍雙

解析幾何試題的運(yùn)算要求較高，如何簡(jiǎn)化解析幾何中運(yùn)算的策略很有意義.簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法有很多，如定義法、數(shù)形結(jié)合法、巧設(shè)未知數(shù)，幾何分析，運(yùn)用結(jié)論，特殊化等.本文予以論及.

1 運(yùn)用定義，回歸本質(zhì)

俗話說(shuō)：“萬(wàn)變不離其宗”.其意為盡管形式上變化多端，其本質(zhì)或目的不變，殊途同歸.如何抓住本質(zhì)呢？最好的辦法就是回歸定義.利用定義解題，可以有效縮短解題過(guò)程，優(yōu)化思維品質(zhì).

評(píng)注：由拋物線的定義將|MN|用|AF|，|BF|表示出來(lái)，從而解決問(wèn)題.

2 數(shù)形結(jié)合，體現(xiàn)素養(yǎng)

伴隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的推行，在高考試題中出現(xiàn)了越來(lái)越多需要用數(shù)形結(jié)合思想解決的題型.數(shù)與形有效結(jié)合的方法能夠提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，幫助學(xué)生分析題意找到解題思路，達(dá)到高效的解題成果.

圖1

評(píng)注：圓錐曲線離心率的求解，半徑和直徑的判斷，采用數(shù)形結(jié)合可以有效避免代數(shù)法從頭至尾運(yùn)算繁瑣，提升準(zhǔn)確率.

3 巧設(shè)方程，規(guī)避討論

在解答解析幾何試題時(shí)，合理的巧設(shè)方程可以有效的避免討論.例如在解答直線與圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題，可以將直線方程設(shè)為x=my+n，從而有效避免討論直線的斜率.此外，還有妙用極坐標(biāo)、參數(shù)方程等方式簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算.

例4 設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD與點(diǎn)E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

評(píng)注：例3與例4分別巧設(shè)雙曲線與直線的方程，有效規(guī)避雙曲線兩種標(biāo)準(zhǔn)方程與直線斜率的存在性，優(yōu)化解題目的，使得解題更加高效.

4 巧借未知，設(shè)而不求

“設(shè)而不求”是指增設(shè)輔助元卻在解題過(guò)程中不求出所增設(shè)元值的一種方法.采用“設(shè)而不求”的方法，往往可以避免因盲目計(jì)算而造成的大量繁瑣工作，從而達(dá)到簡(jiǎn)潔、快速的解題效果.

例5 已知拋物線C：x2=-2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1).

(1)求拋物線C的方程以及準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l，交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，直線y=-1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求證：以AB為直徑的圓過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

解析：(1)易得拋物線C的方程為x2=4y，準(zhǔn)線方程為y=-1.

評(píng)注：先設(shè)出參數(shù)x1，x2，y1，y2，用參數(shù)表示直線OM的斜率，從而表示A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo).在表示圓的方程時(shí)發(fā)現(xiàn)方程中出現(xiàn)兩根之積，于是聯(lián)立方程并根據(jù)韋達(dá)定理得到x1x2=-4，從而解得y值，最終證明以AB為直徑的圓過(guò)y軸上兩個(gè)定點(diǎn).

5 模型結(jié)論，減少運(yùn)算

模型結(jié)論是指合理運(yùn)用數(shù)學(xué)模型與重要結(jié)論解題的策略，其可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，尤其在選填題中效果明顯.

例6 已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A.16 B.14 C.12 D.10

例7 已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=.

解析：已知點(diǎn)M(-1,1)在拋物線的準(zhǔn)線上，且∠AMB=90°，則可知直線AB是切點(diǎn)弦方程，所以可得y=2x-2，則k=2.

評(píng)注：例6的拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及例7的切線模型都是高考常考的問(wèn)題，因此，掌握一些結(jié)論與模型是必要的，但模型和結(jié)論不可死記硬背或是對(duì)其癡迷，其應(yīng)是在自己原有知識(shí)基礎(chǔ)和直覺(jué)感知之上的.

6 等價(jià)轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化運(yùn)算

等價(jià)轉(zhuǎn)化是指將未知解法問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已有知識(shí)的一個(gè)過(guò)程.解決綜合試題時(shí)，根據(jù)題中給出的條件進(jìn)行“精準(zhǔn)”轉(zhuǎn)化，使其能夠計(jì)算且便于計(jì)算，甚至簡(jiǎn)算或者不用計(jì)算.

例8 已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B點(diǎn)，交C的線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ.

圖2

評(píng)注：將兩直線平行轉(zhuǎn)化為直線斜率相等的方法是常見(jiàn)轉(zhuǎn)換方式.大部分解析幾何試題難在運(yùn)算，而優(yōu)化運(yùn)算的根本在于轉(zhuǎn)化.此外，轉(zhuǎn)化的過(guò)程還會(huì)用到向量、導(dǎo)函數(shù)、不等式等工具.

7 巧借平幾，幾何分析

巧借平幾是指借助與平面幾何相關(guān)知識(shí)對(duì)解析幾何問(wèn)題進(jìn)行求解.在解答解析幾何問(wèn)題時(shí)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)膸缀畏治觯⒅赝诰騿?wèn)題的幾何特征，善于用幾何的眼光來(lái)審視問(wèn)題，往往可以得到較為簡(jiǎn)潔的方法.

評(píng)注：本題若直接用坐標(biāo)法建立等式，其運(yùn)算量較大；現(xiàn)巧妙利用平面幾何知識(shí)，不但能減少運(yùn)算量，還能給人耳目一新之感.

8 發(fā)掘隱含，優(yōu)化運(yùn)算

“隱含條件”是指數(shù)學(xué)問(wèn)題中沒(méi)有明確指出的非顯性條件.在解題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)審題，認(rèn)真觀察，充分挖掘并利用隱含條件，從而達(dá)到優(yōu)化解題過(guò)程、多想少算等目的.

例10 已知橢圓C：9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行與坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.

(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

解析：(1)kOM·kl=-9，過(guò)程略.

評(píng)注：運(yùn)算能力的核心在于設(shè)計(jì)合理運(yùn)算路徑，若是采用設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立的常規(guī)解題思路，會(huì)使得運(yùn)算量大大增加以致無(wú)法操作.充分發(fā)掘P點(diǎn)橫坐標(biāo)是對(duì)角線的兩倍這一“隱含條件”，運(yùn)算量會(huì)大大減少.

9 高觀導(dǎo)向，謀定而動(dòng)

高觀導(dǎo)向是指運(yùn)用高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)對(duì)解析幾何試題的結(jié)果進(jìn)行預(yù)判.高考中，高等數(shù)學(xué)知識(shí)雖不能直接使用，但可以幫助考生把握解析幾何答案的預(yù)見(jiàn)性，從而做到對(duì)試題整體把控.

評(píng)注：例11與例12分別運(yùn)用的是極點(diǎn)極線與二次曲線系方程的知識(shí).例題若是采用一般方法解答，其過(guò)程是繁瑣的，用高觀進(jìn)行導(dǎo)向，可以讓考生在解答過(guò)程中及時(shí)更正.

10 直觀想象，問(wèn)題特殊化

運(yùn)用特殊化策略是解答選擇填空題的常用方法.從特殊到一般是人們思考問(wèn)題的根本方法，也是探求解題思路的基本策略[5].在解答題中特殊化思想可以起到有效的導(dǎo)向作用，為尋找問(wèn)題的突破口指明方向.

評(píng)注：考慮B，M重合，將問(wèn)題特殊化，避免了聯(lián)立、消元、韋達(dá)定理等一系列運(yùn)算過(guò)程，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算地目的.

數(shù)學(xué)解題不僅要會(huì)算，更要會(huì)看、會(huì)想.以上示例更能有效解決解幾何問(wèn)題求解中“想到算不出”、“想想還會(huì)，算算就錯(cuò)”等問(wèn)題.