對一道2021年全國高考題的深度研究*

揚州大學數學科學學院 (225002) 田雨童

歷年高考中解析幾何試題都被學生視為“難題”，解答解析幾何問題的難點在于難切入，計算量大，那么如何簡化解析幾何問題，是值得研究的問題，本文就2021年全國乙卷的一道解析幾何題，從多角度對其解法做出分析.

一、試題再現

本題的關鍵在于如何表示|PB|，結合已知條件|PB|≤2b得到答案，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程的思想以及分類討論的思想，考查數學運算、邏輯推理等核心素養，體現了基礎性和綜合性.

二、解法探究

思路1看作兩點之間的距離

評注：解法1和解法2都是通過假設P點坐標，得到|PB|，即兩點之間的距離，從而得到二次不等式，將恒成立問題轉化為二次函數最值問題，降低了運算難度.

思路2看作過定點的直線與橢圓相交

思路3將B看作極點，借助極徑的幾何意義

思路4看作兩個曲線的位置關系

當x0=0時，P(0,-b)，經過驗證符合題意；

評注：解法5和解法6是將代數問題轉化為幾何問題，解法5將問題轉化為橢圓C在圓M內，利用方程思想△=0，研究相切位置情況即可.而解法6是分別求出兩曲線的切線，使其斜率相等作為求解橋梁，最后得到結果.

思路5從選項出發，得出結果

三、教學啟示

通過以上的幾種解法的分析，不難看出解答解析幾何問題的關鍵在于如何確定算理，優化設法，簡化計算.日常教學中，教師要引導學生從多角度去思考問題，不能僅僅停留在得出正確答案，要深入的理解一個題所考查的知識點，達到“以一當十”的效果，通過一題多解、多題一解的方法提高教學效率，讓學生真正領會其中滲透的數學思想方法，領悟數學本質.