高一上學年期末復習與總結

張文偉

必修（第一冊）的主要內容是集合與常用邏輯用語，一元二次函數，方程和不等式，函數的概念與性質，指數函數與對數函數以及三角函數。同學們要理解它們的概念、性質及應用，掌握一些經典題型的解題思想與方法，注意歸納總結，逐步提高解題能力和創新思維能力。

題型1：集合的概念與運算

集合的運算主要包括交集、并集和補集運算，這也是高考對集合部分的主要考查點。對于較抽象的集合問題，需借助Venn圖或數軸等進行數形分析，使問題直觀化、形象化，進而能使問題簡捷、準確地獲解。題型2：充分條件與必要條件

若p=>q，且q≠>p，則p是q的充分不必要條件，同時q是p的必要不充分條件;若p<=>q，則p是q的充要條件，同時q是p的充要條件。充分、必要條件的判斷和證明是高考的一個常考點，常與不等式等知識結合命題。學會用集合的觀點，分析和解決充分、必要條件的判斷和求參數范圍問題，提升轉化與化歸能力。

題型3：全稱量詞命題和存在量詞命題

全稱量詞強調的是“任意”“一切”“每一個”等，常用符號“V”表示，而存在量詞強調的是部分，常用符號“]”表示。對于全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要把握兩點：一是改量詞，二是否結論。

題型5：不等式的性質及應用

不等式的性質的命題形式有比較大小、命題真假的判斷、不等式的證明等，解答這類問題要注意直接法和特值法的應用。

題型6：一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法充分體現了三個“二次”之間的內在聯系，解此相關問題應把握三個關鍵點：圖像的開口方向;是否有根;根的大小關系。對于一元二次不等式的恒成立問題，利用數形結合法可幫助求解。

題型7：不等式在實際問題中的應用

不等式的應用問題常以函數為背景，多是解決現實生活、生產中的優化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值等。根據題設條件構建數學模型是解答這類問題的關鍵。

例7 某房地產開發公司計劃在一樓區內建造一個長方形公園ABCD，公園由長方形A1B1C1D，的休閑區和環公園人行道（陰影部分）組成。已知休閑區A1B1C1D，的面積為4000 m2，人行道的寬分別為4m和10 m（如圖1）。

題型8：求函數的定義域

求函數定義域的常用依據是分母不為0，偶次根式中的被開方數大于或等于0。由幾個式子構成的函數，其定義域是使各式子有意義的集合的交集。

題型9：求函數的解析式

求函數解析式的題型與相應的解法：（1）已知形如f[g （x）]的解析式求f（x）的解析式，使用換元法或配湊法;（2）已知函數的類型（往往是一次函數或二次函數），使用待定系數法;（3）含f（x）與f（-x）或f（x）與f（1/x），使用解方程組法;（4）已知一個區間的解析式，求其對稱區間的解析式，可用奇偶性轉移法。

題型10：函數的性質及應用

函數的性質主要有定義域、值域、周期性、對稱性、單調性和奇偶性，其中單調性和奇偶性是學習的重點，利用函數的單調性和奇偶性求值、比較大小、解不等式是高考考查的主要內容。在解不等式時，要注意數形結合法的應用。

題型11：指數函數、對數函數的圖像及應用

函數y=a-與y=1ogax （a>0，且a≠1）的圖像關于直線y=z對稱，前者恒過（0，1）點，后者恒過（1，0）點，兩函數的單調性均由底數a決定。在解題中要注意由翻折、平移等變換得出的函數圖像。

題型12：指數函數、對數函數的性質及應用

指數函數、對數函數的性質命題角度有：數值的比較大小、方程或不等式的求解問題。要注意解含有對數式的方程或不等式時，不能忘記對數的真數大于0，以免出現增解或漏解。

題型13：函數的零點與方程的根

函數的零點就是相應方程的根，也是相應函數圖像與z軸交點的橫坐標。判斷函數的零點個數可轉化為方程根的個數或兩函數圖像的交點個數。零點存在性定理是判斷函數是否存在零點的一種方法，但要注意其使用的兩個條件，即連續性與異號性。

題型14：函數的實際應用

掌握兩類函數模型：一類是指數型函數模型，通常可表示為y=d（1+p）x（其中a為原來的基數，p為增長率，x為時間），另一類是對數型函數模型，通常可表示為y—mlogar-+n（m，n，a為常數，a>0，a≠1，m≠0）。解決函數應用問題的關鍵是依據實際情況所提供的數據求得相應解析式，然后利用相應解析式解決實際問題。

例14 2018年12月8日，我國的“長征”三號乙火箭成功發射了嫦娥四號探測器，這標志著中國人民又邁出了具有歷史意義的一步。火箭的起飛質量M是箭體（包括搭載的飛行器）的質量m （t）和燃料質量x（t）之和。在不考慮空氣阻力的條件下，假設火箭的最大速度y（ km/s）關于x（t）的函數關系式為y =k[ln（m+x） -ln（√2m）]+4ln 2（其中k≠0）。當燃料質量為（√e-l）m t時，該火箭的最大速度為4 km/s。

（1）求“長征”三號系列火箭的最大速度y與燃料質量x之間的函數關系式。

（2）已知“長征”三號火箭的起飛質量M是479.8 t，則應裝載多少噸燃料才能使火箭的最大飛行速度達到8 km/s？（結果精確到0.1 t，e取2.718）

題型16：三角函數的圖像與性質

三角函數的性質主要包括定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性等。對于三角函數的圖像與性質問題，一般先通過恒等變換將函數表達式變形為y =Asin（ωx +φ）+k或y=

題型17：三角函數模型的應用

如果某種現象的變化具有周期性，那么可以根據這一現象的特征和條件利用三角函數知識建立數學模型——三角函數模型。在解題中務必關注兩點：自變量的取值范圍;數形結合的靈活運用。

例17 如圖3所示，摩天輪的半徑為40 m，中心o點距地面的高度為50 m，摩天輪按逆時針方向勻速轉動，每2 min轉一圈，摩天輪上點P的起始位置在最高點。

（1）試確定在時刻￡min時P點距離地面的高度h。

（2）在摩天輪轉動一圈內，有多長時間P點距離地面超過70 m。