2021年高考函數的奇偶性和周期性中的“一題多解”

盧智軍

一題多解可以開拓思路，培養同學們的發散思維能力，還可以通過縱橫發散，使所學知識串聯、綜合溝通，達到舉一反三的目的。下面舉例分析，供同學們學習與參考。

反思：函數的定義域關于原點對稱是判斷函數奇偶性的前提條件，再根據f（-x）與f（x）的關系得到結論，有時也可以借助圖像的平移探究復合函數的奇偶性。

反思：依據f（-x）=f（x）對于任意的x恒成立，可賦值確定a的值，也可利用偶函數的定義轉化為含參數的代數式確定a的值。

解法2：由遞推關系和奇函數探究周期性求值。

由f（x+1）=f（一x）和f （x）為奇函數，可得f（x+1）=一f（x），則f（x+2）=一f（x+1）=f（x），所以函數f （x）的周期為2，所以f（5/3）一f（2一1/3）一f（一1/3）=1/3。應選c。

反思：由遞推關系和奇偶性探究周期性求值，往往使所求問題簡單化。

解法1：利用f（x+1）是奇函數，f（x+2）是偶函數構建方程，確定f（x）解析式，再利用遞推法求值。

反思：在解決函數性質問題時，通常可以借助一些常用結論，求出其周期，進而達到簡便計算的效果。如解法2中，用到f（x+1）是奇函數，f（x+2）是偶函數，可得f （x）的對稱中心為（1，0），相鄰對稱軸方程為x=2，由函數圖像知f（x）的周期為4。