雙函數中任意性與存在性問題探究

袁滿成

函數中的任意性與存在性問題，是高中數學的重要內容，滲透著化歸與轉化、數形結合、函數與方程等數學思想，一直是高考命題的熱點，也是同學們學習的難點。這類問題既有單一函數的任意性與存在性問題，也有雙函數中的任意性與存在性問題，同時變量也涉及單變量與雙變量。下面就雙函數中的任意性與存在性問題進行探究，意在拋磚引玉。

一、雙函數、單變量的任意性與存在性問題

雙函數、單變量的任意性與存在性問題，需要優先考慮分離參數法，并轉化為最值（或臨界值）進行研究，但要注意利用的最值（或臨界值）正好是相反的。當分離參數構造所得函數的最值不好求時，可以利用作差、分類討論的方法進行解決。

評析：若f（x）≥a或g（x）≤a恒成立，只需滿足f（x）min≥a或g（x）max≤a，求出函數f（x）的最小值或函數g（x）的最大值即可解決問題。

評析：對于不適合分離參數的不等式，常用分類討論法，結合函數的單調性或最值，求得參數的取值范圍。

二、雙函數、雙變量的任意性與存在性問題

雙函數、雙變量的任意性與存在性問題，通常是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價轉化”為兩個函數值域之間的關系（或兩個函數最值之間的關系）進行研究。