借幾何直觀之感 乘提升素養之美
——從兩個習題課教學片段說起

楊憲偉

(陜西省榆林市第十中學 719000)

筆者在兩節高三習題課的教學中，經歷了學生利用幾何直觀理解數學知識并遷移應用，幾何直觀的作用使得學生站在更高的角度思考問題，在整個教學過程中，學生始終是課堂的主體，參與知識發生、發展的全過程，學生的核心素養和分析解決問題的能力都得到了提升，令人印象深刻.

1 《直線與橢圓的位置關系》習題課教學片斷

(1)求C的方程；

(2)直線l不經過原點O，且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB中點為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.

教師提出問題，由學生小組討論，然后匯報展示.

師：這個小組的同學采用的就是最常見的求解直線與圓錐曲線的位置關系問題的方法，一般就是設點設線聯立解決問題.

師：在涉及到弦的中點時可以采用此方法

師：大家覺得這個小組這種方法怎么樣？此時教室響起了熱烈的掌聲.大家覺得這個方法好在什么地方？

生4：化橢為圓，利用圓的幾何性質解決問題.

師：大家都說得非常好，但是注意使用的時候要重點關注不同坐標系下同一量之間的關系，還有就是并不是所有的橢圓的題目都可以用這個方法解決.老師現將此題改編一下，大家繼續思考.

變式1此題的條件不變，問題改為：求△AOB的面積S的最大值以及取最大值時點M的軌跡方程.

師：請同學們思考此題還能用化橢為圓的辦法嗎？如果能使用的過程應該注意什么？

生5：我覺得可以，應該注意不同坐標系下面積之間的關系.

師：好的，那大家試著按照你們的思路完成本題.

師：太棒了，老師突然想到了四川省的一道高考壓軸題，老師按那個題的背景和難度再改編一下此題，同學們再試一試.

變式2此題的條件不變，問題改為：直線l：y=-x+t(t>0)與橢圓C只有一個公共點T，直線m平行于OT，與橢圓C交于不同兩點A，B，且與直線l交于點P，證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

學生探究片刻后，教師提問.

師：請同學們思考此題還能用化橢為圓的辦法嗎？

生：好像不能.

師：這個題目你們取得了哪些突破？遇到了哪些困難？

師：很好，那我們先探究一下不同坐標系下線段長度之間的關系，其實也就是弦長的關系.同學們思考如何用坐標表示弦長？

師：同學們嘗試按生8的思路解決問題.

最后生8最先得到結果，具體如下：

師生共同總結，通過伸縮變換化橢為圓可以解決的問題，解題的思路，使用時的注意事項.

2 《平面向量的數量積》習題課教學片斷

教師提出問題，由學生小組討論，然后匯報展示.

生1：我們組采用的是坐標法，過程如下：

師：這個小組的同學采用的就是最常見的求解平面向量數量積的方法，一般就是建系解決問題.

師：大家覺得這個小組這種方法怎么樣？此時教室響起了熱烈的掌聲.大家覺得這個方法好在什么地方？

生3：利用幾何性質解決問題，直觀簡潔.

師：大家都說得非常好，老師現將此題改編一下，大家繼續思考.

生4：我們覺得這個題目使用坐標法更好，但是我們遇到了困難.

師：說說你們的過程和遇到的困難.

師：很好，大家一起思考我們該如何繼續.

師生共同探究用幾何法解決問題.

師：我們得到的這個等式稱為“極化恒等式”，它可以將兩個向量的數量積用兩個幾何長度來表示，請同學們仔細體會其中蘊含的數學思想和方法.

師生共同總結幾何法的特點和優點.

3 教學啟示

借助幾何直觀可以有效提升學生直觀想象的數學核心素養，從概念層面看，借助幾何直觀可以豐富事物表征，完善問題結構，理解抽象概念.從思想層面看，借助幾何直觀可以以形助數，數形結合.從心理學角度看，借助幾何直觀可以用圖形思考，為學習者建立學習的信心.

高中數學中集合、函數、立體幾何、解析幾何、平面向量與解三角形等模塊的知識都需要教師借助幾何直觀幫助學生理解數學本質，通過這些課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力；增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識；形成數學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質.