直線的參數方程在解析幾何競賽題中的應用

賀航飛

(海南省海南中學 571158)

基金項目：海南省教育科學“十三五”規劃立項課題“基于智慧課堂的理科資優生培養校本課程體系構建”基于智慧課堂的理科資優生培養校本課程體系構建(項目編號：QJY20191035).

由于a為常數，上式取值要跟α無關，當且僅當a-2=0，即a=2.

評注像這種只涉及到長度計算的題型就能充分體現直線參數方程的優越性，相對于傳統方法，計算量大大減小. 需要注意的是，相關點要在同一直線上.

聯立，得t2+2tsinα-3=0.

A,B對應的參數t1,t2是以上方程的兩根，

則t1+t2=-2sinα，t1t2=-3.

點P對應的參數tP=0，令y=0，

評注在直線的參數方程中，只要知道點的橫坐標或者縱坐標即可求得此點對應的參數. 由于t的幾何意義是有向距離，在計算相關長度時要帶有絕對值，再結合具體條件考查能否去掉絕對值.

解析|AC|2<|CD||CB|，下面給出證明.

其中θ,α均是銳角.

=6cos2θ-16cosθ+10

=(1-cosθ)(10-6cosθ).

直線BC的斜率

例4 (2017年全國聯賽B卷)在平面直線坐標系xOy中，曲線C1:y2=4x，曲線C2:(x-4)2+y2=8. 經過C1上一點P作一條傾斜角為45°的直線l，與C2交于不同的點Q,R，求|PQ||PR|的取值范圍.

點Q,R對應的參數t1,t2是以上方程的兩根，

則|PQ|·|PR|=|t1t2|=m4-4m2+8=(m2-2)2+4.

=-2m(m-4)(m+2)(m-2)>0，

解得m∈(-2,0)∪(2,4)，此時m2-2∈

(-2,2)∪(2,14).

從而|PQ|·|PR|=(m2-2)2+4∈[4,8)∪(8,200).