直線的參數(shù)方程在解析幾何競(jìng)賽題中的應(yīng)用

賀航飛

(海南省海南中學(xué) 571158)

基金項(xiàng)目：海南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“基于智慧課堂的理科資優(yōu)生培養(yǎng)校本課程體系構(gòu)建”基于智慧課堂的理科資優(yōu)生培養(yǎng)校本課程體系構(gòu)建(項(xiàng)目編號(hào)：QJY20191035).

由于a為常數(shù)，上式取值要跟α無(wú)關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)a-2=0，即a=2.

評(píng)注像這種只涉及到長(zhǎng)度計(jì)算的題型就能充分體現(xiàn)直線參數(shù)方程的優(yōu)越性，相對(duì)于傳統(tǒng)方法，計(jì)算量大大減小. 需要注意的是，相關(guān)點(diǎn)要在同一直線上.

聯(lián)立，得t2+2tsinα-3=0.

A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1,t2是以上方程的兩根，

則t1+t2=-2sinα，t1t2=-3.

點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)tP=0，令y=0，

評(píng)注在直線的參數(shù)方程中，只要知道點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)即可求得此點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù). 由于t的幾何意義是有向距離，在計(jì)算相關(guān)長(zhǎng)度時(shí)要帶有絕對(duì)值，再結(jié)合具體條件考查能否去掉絕對(duì)值.

解析|AC|2<|CD||CB|，下面給出證明.

其中θ,α均是銳角.

=6cos2θ-16cosθ+10

=(1-cosθ)(10-6cosθ).

直線BC的斜率

例4 (2017年全國(guó)聯(lián)賽B卷)在平面直線坐標(biāo)系xOy中，曲線C1:y2=4x，曲線C2:(x-4)2+y2=8. 經(jīng)過C1上一點(diǎn)P作一條傾斜角為45°的直線l，與C2交于不同的點(diǎn)Q,R，求|PQ||PR|的取值范圍.

點(diǎn)Q,R對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1,t2是以上方程的兩根，

則|PQ|·|PR|=|t1t2|=m4-4m2+8=(m2-2)2+4.

=-2m(m-4)(m+2)(m-2)>0，

解得m∈(-2,0)∪(2,4)，此時(shí)m2-2∈

(-2,2)∪(2,14).

從而|PQ|·|PR|=(m2-2)2+4∈[4,8)∪(8,200).