基于傳輸矩陣理論的Bragg 光柵特性研究

伊浩天

(南開大學物理科學學院，天津 300071)

0 引言

布拉格（Bragg）光柵是一種特殊的光柵結構，折射率周期性變化，在布拉格波長處，光柵的周期是光在該介質中的平均波長的一半，布拉格波長具有最大反射率，且在該波長的諧波處也可以產生較大的反射。Bragg 光柵可以作為光學濾波器或布拉格反射器，在光纖傳感、光纖激光器、半導體激光器中均有廣泛的應用[1]。

對于Bragg 光柵而言，常用的分析方法有耦合模理論（Couple-Wave Theory,CWT）[2][6]和傳輸矩陣理論（Transfer Matrix Method,TMM）[3][6]。CWT 是分析微擾下光在波導中傳播行為的通用方法，在Bragg光柵內，正反向傳播的光在折射率調制的作用下發生模式耦合。能夠詮釋波導中前向模、后向模，導波模、包層模、輻射模等模式間的能量交換。TMM 是結合數值算法，用一定數量的離散單元矩陣來描述整個光柵。應用這一模型時，把光柵分為很多小部分，并假設在每個部分中的光場是沿光柵均勻分布的，把左右邊界處前向波和后向波之間的關系用一個2×2 的矩陣表示，稱為傳輸矩陣。整個光柵的傳輸矩陣由每個小部分的傳輸矩陣相乘得到。相比于CWT，TMM 的主要優點有：

(1)TMM 只需建立全程的傳輸矩陣，而不必去解模式耦合方程，運算量大大減少；

(2) 相同的矩陣模塊對于各種Bragg 光柵都可適用，不論是光柵Bragg 光柵，還是波導Bragg 光柵[4]。

1 傳輸矩陣理論

1.1 雙層介質系統的傳輸矩陣模型

對于雙層介質系統，給出電磁場的邊值關系如下：

式中σ和α是面自由電荷和電流的密度，在絕緣介質界面上，σ=0，α=0。由于以上四式并非相互獨立，(3)(4)式可以由(1)(2)式導出，因此，界面上的電磁場邊值關系只需考慮以下兩式：

以TE 波為例，研究電磁波在二維雙層介質(界面垂直于z 軸)中傳播時，入射波、反射波和折射波的振幅變化。雙層介質的界面處的TE 波的傳播示意圖如圖1 所示。

圖1 界面處的電磁波(TE 波)

當界面上自由電流密度α=0時，根據邊值關系有：

將(9)式代入(8)式可化簡得：

由(7)式和(10)式可得如下關系：

對(11)式兩邊矩陣同時求逆，則可寫為如下形式：

其中αnm為TE波從第m層介質傳到第n層介質時的界面矩陣，其形式為：

期刊共被引分析可以幫助我們找出比較關注名物化研究的國內外核心刊物。國內數據分析顯示，名物化研究引文來源期刊按中心度排名前10的依次是：《中國語文》《外語教學與研究》《現代外語》《外語研究》《外語與外語教學》《外語教學》《外國語》《北京大學學報》《外語學刊》《西安外國語大學學報》等。

當TE波以一定角度θm在折射率為n1,厚度為d的介質體內傳播時，正向波和反向波的相位變化為±km nmdcosθm。

其中βn為TE波在第n層介質傳播時的傳播矩陣，其形式為：

這里,km=n12π/λ，λ為波長，n1為介質折射率。對于正入射的情況，Em=θn=0，此時(13)和(15)化簡為：

根據菲涅爾公式可知，TE波從介質m到介質n的透射系數tmn和反射系數rmn為：

由此可得TE波從介質m到介質n的透射率T和反射率R：

1.2 Bragg 光柵的傳輸矩陣模型

如圖2 所示，Bragg 光柵是指介質的折射率呈周期性變化的一種器件結構，能夠對特定的波長實現選擇作用。光波在Bragg 光柵中傳播時在每個折射率跳變的界面發生反射，當波長滿足布拉格條件時，從不同分界面反射的光相位相同，從而發生干涉加強，進而形成強反射峰，這種現象稱為布拉格反射。產生布拉格反射的條件為：

圖2 Bragg 光柵結構示意圖

根據圖3 中所示，對于一個周期的Bragg 光柵，可將其分為A1、A2、A3、A4四個部分，每個部分可以用一個2×2 矩陣進行表示[1][6]：

圖3 （a）傳輸矩陣法示意圖（b）Bragg 光柵折射率分布圖

對于僅由兩種不同折射率介質構成的周期性單元結構(包含兩個折射率突變結構：n1→n2，n2→n1和兩個長度均為d的勻質波導單元)，其傳輸矩陣可由以下四個矩陣單元相乘表示：

由上述分析可知，當研究多層膜結構中電磁波傳播時。可以先建立一套矩陣理論來描述此過程。當一列平面電磁波垂直入射到多層膜結構時，會在不同材料的界面處經歷反射和透射，而這些反射和透射的波各自又會在經歷他們自己的反射與透射過程，因此在每一個固定的區域內都會存在很多反射波和透射波。為簡化起見，我們將所有向前傳播的光波歸稱為一個前向波Ui，將所有向后傳播的光波歸稱為一個后向波Vi，這樣我們可以用界面矩陣[5](圖3 中A2和A4)和傳播矩陣(圖3 中A1和A3)來描述波在界面和介質中傳播的過程，此時復雜的光柵結構即可化簡為兩種單獨的單元結構，而光柵總的傳輸矩陣可由每個單元矩陣相乘得到。

式中n=L/Λ，Bragg 光柵總反射率與透射率可表示為：

2 Bragg 光柵的特性仿真

根據公式(23a)～(23d)和(24)可知，Bragg 光柵的反射譜和透射譜特性主要受光柵長度、光柵周期和光柵折射率三個因素的影響。下面分別對三個參數對反射譜和透射譜的影響進行分析。

2.1 Bragg 光柵長度對反射譜和透射譜的影響

假設Bragg 光柵的周期為Λ=535nm，折射率n1=1.461，n2=1.455，改變光柵的長度，用MATLAB對光柵反射譜和透射譜進行仿真，如圖4～圖6 所示。

圖4 Bragg 光柵周期數為700 時的反射譜與透射譜曲線

圖5 Bragg 光柵周期數為1000 時的反射譜與透射譜曲線

圖6 Bragg 光柵周期數為1300 時的反射譜與透射譜曲線

光柵周期設為為Λ=535nm，折射率n1=1.461，n2=1.455時，根據布拉格條件可知布拉格波長λB=1560nm。從圖4～圖6 可以看出，隨著光柵周期數的增多即光柵長度的增加，布拉格波長λB并沒有發生變化，但布拉格波長處的反射率逐漸增大，透射率逐漸減小，且反射譜和透射譜逐漸變寬。這是因為當光柵長度增加時，從原來較短長度的光柵透射的光會被后續的光柵繼續反射，從而導致反射率升高，透射率下降。根據布拉格條件，在其他參數不變的情況下，光柵長度的增加并不會影響主極大峰的位置，但會使布拉格波長附近的反射率逼近于1，這同樣體現了Bragg 光柵對特定波長篩選功能的增強。

2.2 Bragg 光柵周期對反射譜和透射譜的影響

將Bragg 光柵周期數設置為1000，折射率n1=1.461，n2=1.455不變，改變光柵周期的大小，用MATLAB 對光柵反射譜和透射譜進行仿真，如圖7 和圖8 所示。

圖7 Bragg 光柵周期為536nm 時的反射譜與透射譜特性

圖8 Bragg 光柵周期為538nm 時的反射譜與透射譜特性

通過對比圖5、圖7 和圖8 的變化可以看出，在其他參數不變的條件下，增大光柵周期時，主極大峰出現明顯的右移，即布拉格波長變長。這是由于布拉格條件的限制，當有效折射率neff不變時，布拉格波長λB隨光柵周期Λ 的增大而增大，但整體峰形及寬度并未發生明顯改變。

2.3 Bragg 光柵折射率對反射譜和透射譜的影響

保持Bragg 光柵周期數1000 和光柵周期Λ=535nm不變，逐漸增加折射率n1，用MATLAB 對光柵反射譜和透射譜進行仿真，如圖9 和圖10 所示。

圖9 Bragg 光柵n1=1.466 時的反射譜與透射譜特性

圖10 Bragg 光柵n1=1.471 時的反射譜與透射譜特性

由于Bragg 光柵中相鄰介質的折射率相差不大，且相鄰介質層的厚度相同，因此有效折射率neff可以表示為：

對比圖5、圖7 和圖8 可以看出，在其他參數不變的情況下，隨著n1的增大，主極大峰的位置發生明顯右移即布拉格波長變長；同時反射譜的寬度也明顯增大，致使布拉格波長附近的反射率變大，透射率變小。根據式(22)可知，在光柵周期不變的情況下，增大有效折射率neff會使布拉格波長變大，主峰位置右移。

3 結論

本文從雙介質系統入手，根據電磁場在介質表面的邊值關系推導出光波在雙介質系統中傳播所滿足的菲涅爾公式，從而過渡到簡潔的矩陣表達形式。基于此，進一步建立了用于分析光纖Bragg 光柵的傳輸矩陣模型，通過把每一塊折射率不同的介質抽象為一個2×2 的矩陣，將這些離散單元矩陣依次相乘即可用來描述整個光柵，這樣入射端和出射端處的前向波和后向波之間的關系即可用該矩陣進行描述，大大簡化了原本繁雜的計算過程。利用傳輸矩陣模型，通過MATLAB 編程實現了傳輸矩陣的數學算法，并以圖像的形式展現了Bragg 光柵的反射譜與透射譜特性。通過對光柵長度、光柵周期、光柵折射率等參數對反射譜和透射譜的影響進行分析，直觀的展現了各個參數在光柵中所起到的作用。