基于代數思維探索“運算定律”單元整體教學路徑

張平 裘一能

【摘要】本文以“代數思維”這個大概念為切口，溯源“運算定律”單元教學短板，重組“運算定律”單元教學序列，在確定重組思路、說明重組意圖、以重組課例落實課堂教學五策略的過程中，緊緊握住本單元教學本質，以準變量思維引領學生由算術思維逐漸向代數思維過渡。

【關鍵詞】代數思維 運算定律 準變量思維 單元整體教學

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）04-0073-03

人教版教材四年級下冊第三單元“運算定律”主要教學加法的交換律、結合律以及乘法的交換律、結合律、分配律，用字母表征運算定律是代數思維在本單元的直接表達，這種表達方式在小學高年級乃至初中將被一直沿用。五條運算定律作為“數學大廈的基石”，在整個運算定律系統中發揮著重要的奠基作用。因此，本單元亦可稱為運算定律教學的“種子單元”。

人教版《義務教育教科書教師教學用書·數學四年級下冊》（以下簡稱《四下教學用書》）在“運算定律”單元的備課資料中，提供了一篇《代數思維及其教學》的文章，意在提醒教師關注本單元教學中的代數思維滲透。調查發現，多數教師并未認真閱讀此文，自然也沒有關注到代數思維這個概念。鑒于“運算定律”單元在運算定律教學中的獨特地位，本文將以“代數思維”這個大概念為切口，揭示本單元知識間的縱橫聯系，進而構建“運算定律”單元整體教學的基本路徑。

一、單元整體教學的價值探討

數學學習內容的本質決定了教學的主旨和方向。我們認為，“運算定律”單元學習內容與代數思維有極大關聯。首先，所謂代數，顧名思義就是用字母或圖形符號等表示數。其次，代數思維與算術思維的本質不同在于：算術思維是從條件出發，利用具體的數量計算來記錄思考的過程，左邊表示具體的計算，右邊則是計算的結果;代數思維研究的對象則是代數式及其運算與變換，是通過聯系條件與問題，利用數量相等建立關系并將這種關系轉化為表達式結構的過程，其數學本質是對等關系。因此，代數思維既有代數的結構化和符號化特點，又有數學思維的抽象化和概括化特點。從單元整體教學出發，本單元的教學價值主要體現在兩個方面。

（一）突顯基礎目標

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《2011年版數學課標》）關于第二學段（4—6年級）課程內容“數的運算”中有如下表述：探索并了解運算律，會應用運算律進行一些簡便運算。將運算律與簡便運算相提并論，關注了運算律的應用。人教版教材采用不完全歸納法抽象概括五條運算定律，并用字母式表征運算定律，體現了代數思維中的結構化和符號化特點，為定律系統建立了基本模型。

（二）設計分層目標

從基礎目標出發，設計“運算定律”單元的第一層次目標，應是讓學生學會在一組相等的式子中厘清對等關系，發現對等思想的本質，從中歸納概括相應的運算律;第二層次目標，應是讓學生學會靈活運用運算定律進行簡便計算。

二、“運算定律”教學的短板溯源

（一）“運算定律”教學短板分析

在“運算定律”單元教學中，一線教師更加注重引導學生理解整數四則運算的意義，體會運算之間的關系，選擇合理的算法運用運算定律，而往往忽視了運算定律產生及運用的前提是式與式之間的對等關系。

人教版教材將“運算定律”單元排在了“四則運算”單元之后，目的就是告訴師生，運算定律必須遵循四則運算規則，在對四則運算的原式進行變式的過程中必須確保變式前后式與式的對等關系。然而，教師在教學中因為忽略了對“對等關系”的強化，導致學生在進入簡便計算后很容易產生各種認知沖突。如，很多小學生會有這樣的疑問：35×49+35×51按照原先講的四則運算的順序，應該先計算乘法，再將它們的積相加;為什么到了簡便計算時又可以先算加法了呢？更多學生在學了運算定律和簡便計算后，在進行一般的四則混合運算時錯誤率反而升高，原因竟是“亂用定律”“強行簡便計算”所致。

毫無疑問，靈活運用運算定律是數學教師對學生的共同期盼。但現實是，很多學生不會靈活運用運算定律。于是，教師落入俗套的做法便是多練，試圖以練促活，或者借一題多解訓練學生靈活運用運算定律進行簡便計算的技能，但結果總是不盡如人意。

（二）“運算定律”教學短板歸因分析

從教材層面講，“運算定律”單元編排體系清晰。8個例題都是從情境出發，通過不同方法的列式計算，得出兩個相等的式子;再通過類似例子的枚舉，歸納出運算定律。這樣的編排，最顯性的體現就是引導教師從形的角度入手，帶領學生發現規律，得出定律，形成建模。而對等思想的呈現與字母式歸納成模只是浸潤在教材當中，代數思維的培養相對隱蔽，容易被忽略。

從教師層面講，多數教師對“運算定律”的教學是建立在經驗與目標表象之上的，很少去深層次理解運算定律背后所蘊含的數學思維的本質。

三、單元整體教學的序列路徑

（一）教學重組的基本思路

首先，立足學科高度，從具體內容出發確立向“代數思維”過渡的大概念，形成由“對等”主線貫穿的單元知識體系。

其次，根據《2011年版數學課標》要求和學情分析，借助代數思維早期孕伏階段的學情基礎，在單元整體教學中啟用準變量思維，解決算術思維向代數思維過渡的難題。準變量思維的主要對象是非符號化的語句或表達式，其本質是一種整體性思維、關系性思維、結構性思維，而運算定律中的對等思想便是關系思維的一種。如，第一學段的人教版教材中便已經孕伏了與交換律、結合律、分配律相關的一些練習，如圖1所示。

最后，運用符號系統促進代數思維在“運算定律”單元整體教學的落地實施。

（二）重組序列的課時說明

“運算定律”單元，《四下教學用書》建議用7個課時。在“代數思維”大概念引領下，我們將本單元的學習內容劃分成對等中的交換律（第一課時）、對等中的結合律（第二課時）、對等中的減法和除法的簡便計算（第三、第四課時）、對等中的分配律（第五、第六課時）四個學習板塊，并另辟了一個運算定律融合練習板塊（第七課時），如表1所示。

教學內容重組，希望達成如下教學意圖：第一，讓準變量思維架接交換律思維的困點。“帶著符號搬家”是連加連乘與減法除法交換位置進行計算的有效方法。通常情況下，加法和乘法交換對等，學生比較容易接受;但減法和除法中的交換對等，學生較難處理。而準變量思維有助于學生突破減法和除法交換對等的困境。第二，讓準變量思維點亮結合律思維的盲點。去、添括號是加減混合運算、乘除混合運算中的“結合”盲點，同號結合易，異號結合難。借助準變量思維連接，找準去、添括號后的相等關系，是結合律教學的重點。第三，讓準變量思維突破分配律學習的難點。分配律的運用一般包含著幾個幾加減幾個幾“等于”幾個幾的準變量思維內涵。找準相同因數個數相等由淺入深地突破分配律的內涵，消除為何乘法分配律中有加減的疑惑，感受分配對等下的定律。

重組后的教學，應緊緊圍繞“代數思維”的大概念，在準變量思維牽引下，讓學生感受交換、結合、分配等方法，靈活運用“湊整”“相消”等計算工具完成巧算，得出相應的運算定律，進而形成“內核本質出發→實踐運用落實→代數符號表征”的教學序列。

（三）重組教學的課例枚舉

基于代數思維進行運算定律單元整體教學，我們以“分配律”教學為例，探討如何在教學實踐中落實我們的前期思考，讓“運算定律”單元整體教學走在代數思維相伴發生的路上。

策略一：喚醒早期代數思維經驗，形成對對等的直視。

出示情境：在嘉年華活動中買套環，購買紅色125個、藍色25個，每個4元，一共多少錢？

師：你會求嗎？會用幾種方法求？（要求不計算，只列式）

學生呈現兩種方法：125×4+25×4和（125+25）×4。兩種方法寫成等式是125×4+25×4=（125+25）×4。

師：“相等”體現在哪里？

生：都是求150個4，兩個式子相等。

設計意圖：以上情境，用于喚醒學生早期的代數思維經驗。要求只列式不計算，旨在將學生的關注點引向式子之間的關系：如若進行結果計算，容易對關系探索產生負遷移;弱化因果計算，便可以讓學生集中精力從表達意義上感受式與式之間的相等。

策略二：相等關系多層表達，建立對對等的代數深思。

師：你能用畫圖、寫意義、算結果、建聯系等多種方法來表示這兩個式子都是在求150個4嗎？很直觀地讓我們看到這兩個式子確實存在相等的關系。

學生實踐，表達交流。

設計意圖：“相等”作為運算定律應用的首要條件，可以通過畫圖、寫意義、算結果、建聯系四個不同的角度加以說明。這種相等思維超越因果，構成聯系，是對對等的代數深思。

策略三：代數思維一舉勾連，跨越式發展形成符號表征。

師：你能舉一個類似的例子嗎？

生1：蘋果和梨各5千克，蘋果3元一千克，梨8元一千克，共多少錢？

生2：客車每小時行65千米，貨車每小時行36千米，兩車同時出發，7小時后相遇，兩地相距多少千米？

……

讓學生先列出等式，再交流下面的問題：你能用一個式子把這些例子中所要表達的關系表示出來嗎？

生順利列出等式（a+b）×c=a×c+b×c。

設計意圖：每個例子都能形成一個等式，完成關系的勾連。一組等式用字母式表征，則是對式與式關系的勾連。代數思維是形成勾連的前提，字母式表示運算定律是形成勾連的結果。

策略四：準變量思維助力，搭建計算思維向代數思維過渡的橋梁。

師：式子對等在計算上有用嗎？

生：可以讓計算簡單。如65×7+35×7，先乘后加計算復雜;（65+35）×7，先加后乘容易。

師：101×36，你能在找相等的幫助下進行計算嗎？

生：101=100+1，式子就成了（100+1）×36，分配計算就簡單了。

設計意圖：小學數學中經常用到準變量思維。101=100+1這類對等的式子是運算定律建構的前提。在課堂教學中強化師生討論，對學生進行準變量思維的啟發、引導，有助于學生從計算思維向代數思維順利過渡。

策略五：多層次遞進練習，代數思維助推分配律活用。

層次1.判斷下面哪些算式運用了乘法分配律。

（1）132×3+132×7=132×（3+7）

（2）25×（4×6）=25×6×4

（3）9×a+a×6=（9+6）×a

層次2.根據運算定律填空。

18×（11+12）=18×（? ）+12×（? ）

52×a-（? ）×b=（? ）×（a-b）

層次3.填空。

（1）在（? ）里填上合適的數，并進行簡便計算：25×（? ）+43×（? ）

（2）在橫線上填寫數與運算符號，使式子能簡便計算：25×43

設計意圖：層次性練習由淺入深，在代數思維的助推下，學生靈活運用乘法分配律的能力得以形成。

總之，基于代數思維這個大概念開展“運算定律”單元整體教學，握住的是本質核心，邁向的是深度思維，實現的是教學通透。

參考文獻

[1]李星云.論小學生代數思維的培養[J].廣西教育，2019（40）：65-68.

[2]頓繼安，何彩霞.大概念統攝下的單元教學設計[J].基礎教育課程，2019（18）：6-11.

作者簡介：張平（1983— ），小學一級教師，研究方向為小學數學教學;裘一能（2002— ），在讀本科，研究方向為小學數學教學。

（責編 白聰敏）