初中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)的歸納、反思與突破
——以“一次函數(shù)”復(fù)習(xí)教學(xué)為例

陳超

（閩江學(xué)院附屬中學(xué)，福建 福州 350005）

目前的很多單元復(fù)習(xí)課，僅僅羅列整個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn)，講解一些的典型例題，知識(shí)點(diǎn)快速閃過，主要存在以下問題：教師講得多，提煉得少；學(xué)生做得多，思考得少。這樣的復(fù)習(xí)方式很難打通知識(shí)間的阻隔，無法有效地構(gòu)建知識(shí)體系，促進(jìn)知識(shí)的掌握、技能的增長(zhǎng)、數(shù)學(xué)能力的提高。如何讓復(fù)習(xí)課更有效果地打通知識(shí)屏障，筆者以“一次函數(shù)”復(fù)習(xí)課為例，展示單元復(fù)習(xí)課的歸納、反思與突破策略。

一、復(fù)習(xí)“一次函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)示例

（一）回顧歸納，重構(gòu)知識(shí)

2.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像與性質(zhì)

2.如何畫一次函數(shù)的圖像？以一次函數(shù)y=2x-3為例畫出該函數(shù)的圖像

設(shè)計(jì)意圖：一次函數(shù)是學(xué)生中學(xué)階段學(xué)過的第一個(gè)函數(shù)，而函數(shù)又是今后學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)領(lǐng)和基礎(chǔ)，因此要讓學(xué)生學(xué)會(huì)將解析式和圖像有機(jī)結(jié)合起來，做到“眼中有式，心中有圖”，實(shí)現(xiàn)二者自由地轉(zhuǎn)換。再通過畫一次函數(shù)y=2x-3 的圖像，讓學(xué)生更深刻、更全面理解函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，為后續(xù)的知識(shí)拓展提供厚實(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備。

（二）深化概念，形成聯(lián)系

已知一次函數(shù)y=(m-4)x+3 -m，當(dāng)m為何值時(shí)，1.y隨x值增大而減小；2 圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方；3 圖像經(jīng)過第二、三、四象限。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)一個(gè)小題組，讓學(xué)生更加明確函數(shù)解析式中的k和b的意義，適時(shí)追問學(xué)生，若將第1.問的條件改為①x1＜x2，y1＞y2；②x1＞x2，y1＜y2；③＜0，④＜0，將第3 問的條件改為不經(jīng)過第一象限，結(jié)果是否與原題一樣？學(xué)生通過辨析，對(duì)一次函數(shù)的本質(zhì)屬性，概念的外延理解更加透徹。

4.若函數(shù)的圖像過（1，-1）和（2，1）兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求①求函數(shù)的解析式；②△AOB的面積；③求當(dāng)x取何值時(shí)，y的值大于0?小于0？5.若函數(shù)y=2x-3 和y=-x+3 的圖像分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)圖像交于C點(diǎn)，求△ABC的面積；6.利用函數(shù)圖像求不等式2x-3＞-x+3 的解。

設(shè)計(jì)意圖：從復(fù)習(xí)一次函數(shù)待定系數(shù)法入手，自然生長(zhǎng)出一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等相關(guān)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)它們不過是函數(shù)變化的特殊情況，四者是不可分割的統(tǒng)一體。讓學(xué)生觀察三個(gè)小題解題過程中的符號(hào)、位置、結(jié)構(gòu)的變化，嘗試用函數(shù)的觀點(diǎn)對(duì)以前學(xué)過的方程、不等式再審視，從而對(duì)初中代數(shù)各模塊之間的聯(lián)系理解得更加深刻。

（三）變式拓展，發(fā)展思維

7.將函數(shù)y=2x-3 的圖像向上平移2 個(gè)單位，求平移后函數(shù)的解析式；8.將函數(shù)y=2x-3 的圖像向右移2 個(gè)單位，求平移后函數(shù)的解析式；9.將函數(shù)y=2x-3 的圖像繞著它與x 軸的交點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)后函數(shù)的解析式；10.將函數(shù)y=2x-3 的圖像沿著y 軸翻折，求翻折后函數(shù)的解析式。

設(shè)計(jì)意圖：利用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等幾何變換對(duì)題目進(jìn)行變式。引導(dǎo)學(xué)生觀察變換前后的函數(shù)圖像，在動(dòng)態(tài)變化中尋找不變的量作為突破口。在變和不變中，讓學(xué)生領(lǐng)悟函數(shù)特征，提高思維的延伸性和靈活性。

11.函數(shù)y=2x-3 的圖像上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使S△BOP=，若存在，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；12.若函數(shù)y=2x+b的圖像與x軸、y軸圍成三角形的面積為2，求b的值。

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生熟悉的y=2x-3 函數(shù)圖像中，植入面積問題。要讓學(xué)生意識(shí)到，對(duì)于這類動(dòng)直線或直線中的動(dòng)點(diǎn)問題，求三角面積所需要的底或者高，歸根到底還是一次函數(shù)與xy軸的交點(diǎn)問題，從而突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)，將整節(jié)課推向高潮，也將學(xué)生的思維引向深處。

二、單元復(fù)習(xí)教學(xué)反思與突破

（一）明晰教學(xué)主線是單元復(fù)習(xí)策略實(shí)施的前提

一個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn)紛繁復(fù)雜，各種典型的例題層出不窮，復(fù)習(xí)課若沒有把握清晰的主線，學(xué)生無法將碎片化的知識(shí)進(jìn)行完善，更談不上重構(gòu)知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)。本節(jié)課始終圍繞著y=2x-3 這條主線開展的，摒棄煩瑣的教學(xué)設(shè)計(jì)，采用簡(jiǎn)約、凝練的復(fù)習(xí)方式，把本章中主要知識(shí)點(diǎn)巧妙地融入幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都預(yù)設(shè)追問或變式拓展，或者是圍繞著原來的問題“生成”或“生長(zhǎng)”出新的問題繼續(xù)探究［1］，問題由淺到深，層層遞進(jìn)，各環(huán)節(jié)絲絲入扣，渾然天成，把像散落的珍珠一樣雜亂無章的知識(shí)點(diǎn)和典型例題串成一條完整有序的線呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生感受知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、思維的自然生長(zhǎng)。在一條清晰的主線下，提煉解題策略，滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維品質(zhì)。

2.形成知識(shí)體系是單元復(fù)習(xí)策略實(shí)施的目標(biāo)

為了讓學(xué)生把學(xué)到的知識(shí)從點(diǎn)狀式的結(jié)構(gòu)連成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，我們可以從學(xué)生的實(shí)際水平出發(fā)，從復(fù)習(xí)核心知識(shí)開始，始終圍繞著核心知識(shí)開展活動(dòng)，要做到起點(diǎn)低、入口淺，能有效激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索的信心。要以核心知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，牽引相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生把關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，更好地固化知識(shí)，遷移知識(shí)，形成應(yīng)用能力。在本節(jié)課中，從復(fù)習(xí)一次函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)入手，對(duì)其概念進(jìn)行深入挖掘，讓學(xué)生充分掌握“四基”。然后打破單元的限制，通過問題串，從函數(shù)的視角看先前學(xué)過的一元一次方程、不等式和二元一次方程組，確立函數(shù)的統(tǒng)領(lǐng)位置，把初中四個(gè)模塊的知識(shí)點(diǎn)緊密地聯(lián)系在一起。再通過多個(gè)幾何變換求函數(shù)解析式，結(jié)合面積問題求函數(shù)中相關(guān)的量，引導(dǎo)學(xué)生努力尋找知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)重構(gòu)和完善，使一次函數(shù)衍生出來的知識(shí)框架覆蓋了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，形成一個(gè)有機(jī)的整體。

在解題過程中，鼓勵(lì)學(xué)生通過“數(shù)”和“形”結(jié)合，幫助學(xué)生有意識(shí)地利用圖像，輔助解決函數(shù)問題，做到圖和式熟練地切換，真正地理解一次函數(shù)圖像和性質(zhì)的本質(zhì)屬性。同時(shí)利用分類討論、方程、化歸等思想方法綜合地思考問題、分析問題、解決問題，活絡(luò)了整體知識(shí)應(yīng)用的筋脈［2］，促進(jìn)思維的發(fā)展，使得全章的知識(shí)脈絡(luò)更加清晰。

3.主動(dòng)求“變”是單元復(fù)習(xí)策略實(shí)施的路徑

復(fù)習(xí)課中，在學(xué)生全面充分掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的前提下，采取變式拓展可讓課堂更加精彩。

改變問題的條件或結(jié)論，或者增加條件，讓設(shè)置的問題層層遞進(jìn)，難度拾級(jí)而上，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、探索。值得注意的是采用變式拓展教學(xué)策略時(shí)，教師不能隨意將幾個(gè)類似問題組合在一起，僅僅追求形式上的變式，要對(duì)設(shè)計(jì)的題組進(jìn)行梳理、分類、歸類，變式過程能有效鏈接相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生揭示變式題組中的知識(shí)點(diǎn)所蘊(yùn)含的本質(zhì)屬性，理清各題之間的相互關(guān)系，理解在變式過程中不變的元素如何驅(qū)動(dòng)變化的元素解決問題。學(xué)生利用已生成的知識(shí)結(jié)構(gòu)，調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，尋找有章可循的解題路徑，形成固定的解題套路，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移。通過一題多變，讓學(xué)生從代數(shù)、幾何、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等多角度多方面分析問題，思考問題，尋找最佳解決方案，做到做一題通一類，讓學(xué)生的思維能力得到鍛煉，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)造性。