高中數學課堂滲透課程思政思想課例分析

范雪敏

摘要：n次方根與分數指數冪這節內容，目標在于掌握根式的性質、根式與分數指數冪間的互化，了解指數冪中指數從整數到有理數的拓展過程，理解有理數指數冪的意義與運算性質.為了在課堂中滲透課程思政的思想，特選取雙十一成交額及GDP的指數爆炸型增長、新疆北鯢碳14斷代法等實例作為線索，落實立德樹人總目標.

關鍵詞：n次方根，分數指數冪，課程思政

一、思政點睛

章前引言通過介紹距今5000多年前就存在的良渚遺址，指出它對研究中華五千年文明的起源具有重要意義，也是弘揚中華文化的寶貝素材.自然地引出考古學家是借助碳14斷代法這個指數函數模型來推測其年代的，為學習指數函數提供了實際背景.此外，章前引言還列舉了其他背景實例，如細胞分裂、人口增長、放射性物質的衰減等問題，進一步指出本單元需要類比前一單元冪函數的研究方法，研究指數函數與對數函數，這為后面的學習提供了現實背景方向，強調這兩種函數模型的現實意義以及重要性，同時滲透數學建模的核心素養.

二、教學構想

作為本單元的起始課，n次方根與分數指數冪是拓展實數指數冪的基礎，具有奠基性作用，更是為研究指數函數做好準備.本課時教學環節設計如下圖：

三、教學環節

（一）章前引言

師：雙十一余熱還在，這個視頻反映了歷年雙十一成交金額的變化情況，請大家直觀感受購買力變化?。úシ乓曨l）每年雙十一成交金額都會遠超前一年，呈指數爆炸型增長，這日益強大的購買力背后，是我們穩步走向全面小康的底氣！小到我們的購買力，大到國家的GDP，近幾十年的變化都反映了中國在以指數爆炸般不斷壯大！

這里的指數爆炸其實是本章所要學習的指數函數模型，本章我們將類比冪函數的研究方法，深入研究指數函數和對數函數，學會根據實際情況選擇合適的函數類型構建數學模型，從而反映現實問題.

◆思政點睛：

從身邊正在發生的問題（雙十一）出發，借助視頻直觀感受指數爆炸增長，引出指數函數模型，為介紹本章知識脈絡做鋪墊，反映數學在現實生活中的重要作用;引導學生關注強大購買力背后的真相——中國日益強大，全面進入小康社會，培養學生的愛國情懷和國家認同感、自豪感.

（二）情境引入

學生觀看新疆北鯢圖片，猜是什么動物.

師：它叫做新疆北鯢，它的祖先生活在2億5千萬年前，和恐龍一起生活過，但后面隨著地殼的運動，大部分新疆北鯢滅絕了，還有一小部分極幸運地活下來了，可以說是活化石了！它們目前就生活在博樂溫泉縣，大家有機會可以去溫泉縣北鯢基地看看！你知道考古學家是怎么判斷出來它生活在2億5千萬年前的呢？

生：碳14法.

師：碳14斷代法，人們發現生物體內的碳14含量P，會隨著死亡時間t的變化而變化，得到了這個關系式.它說明，當死亡時間為5730年，碳14含量P= ，當死亡時間為6001年，碳14含量P= ，當指數冪中的指數從整數變成分數時，這個式子的意義和運算性質究竟是什么？帶著這些問題，我們一起走進今天的內容.

◆思政點睛：

通過我們新疆本地的“活化石”北鯢，一方面引出考古學家是怎樣斷定新疆北鯢生活的年份問題，從而介紹碳14斷代法，自然地引出分數指數冪的意義和運算問題，引出本節課的主題;另一方面向學生科普我們身邊的“活化石”，培養學生保護瀕危動物的決心，以及對故鄉的認同感和自豪感.

◆設計意圖：

n次方根的第一個性質比較簡單，可以直接通過其意義得到，故直接由學生口答即可，但第2個性質對于學生來說稍微復雜些，涉及到分類討論思想，故交給學生小組探究完成;借助探究2中的眾多例子，將難度降低，由淺及深，幫助學生從具體到一般歸納性質.

通過例1鞏固n次方根的概念與性質，教材中沒有第4問，但從第3題直接跨度到第5題對學生來說稍難，故設置了第4題進行過渡，由易到難，將難點拆解.

（四）再探新知

問題3：根據n次方根的定義和數的運算（a>0）： ， ，這是被開方數的指數能被根指數整除時的情況，當不能整除時，根式是否也可以表示為分數指數冪的形式（a，b，c>0）？試完成下列式子的化簡：

師：我們希望整數指數冪的運算性質，如（ak）n=akn，對分數指數冪仍然適用.因此作出規定，正數的正分數指數冪的意義是 .

◆設計意圖：

通過被開方數的指數能被根指數整除的情況實例，類比給出不能被整除的情況，并自然地給出正數的正分數指數冪意義的規定，由于教材上略去了規定合理性的說明，考慮到學生的實際學情，此處不展開探究;此外小練習是以講練結合的形式，幫助學生從特殊到一般，再從一般到特殊進一步理解結論.

追問1：類比負整數指數冪的意義，正數的負分數指數冪的意義是什么？

教師引導學生類比初中學過的負整數指數冪的意義，不難得到正數的負分數指數冪的意義 ，講練結合，學生口答負分數指數冪化根式的練習

追問2：類比0的整數指數冪的意義，0的正分數指數冪和負分數指數冪的意義是什么？

教師引導學生類比初中學過的0的整數指數冪的意義，不難得到0的正分數指數冪是0，0的負分數指數冪沒有意義.教師引導學生發現，規定了分數指數冪的意義以后，冪ax中指數x的取值范圍就從整數拓展到了有理數.

解決剛才的問題：考古學家正是利用了有理數指數冪的知識，計算出生物死亡6001年后體內碳14含量P的值為 即生物死亡6001年后體內碳14含量P約為原來的48.4%.

◆思政點睛：

類比初中學過的負整數指數冪的意義、0的整數指數冪的意義，學生能夠得出正數的負分數指數冪的意義以及0的正分數、負分數指數冪的意義，引導學生體會類比思想在數學學習中的重要性.

學生在得到結論后仍難以發現冪中指數已從整數拓展到有理數，這里教師要加強引導，讓學生感受到指數范圍的擴充，體會到數學知識間的聯系性和整體性.再前后呼應回到之前的問題，解決了碳14斷代法中分數指數冪的意義和計算問題，能夠幫助學生加深對分數指數冪的理解，并體會到數學的實際應用意義.

（五）習題演練

◆設計意圖：

將整數指數冪的運算性質拓展到有理數指數冪后，有理數指數冪的功能就更加強大了，此處的練習旨在幫助學生體會運算性質的綜合應用，同時能夠引導學生將底數換成合適的冪形式，簡化問題，為學生獨立完成例2、例3做鋪墊.

（六）課堂小結

小結：回顧這節課，你有什么收獲呢？請以小組為單位，從知識和思想方法的角度展開討論，完成思維導圖.

結語：數學史上最早將指數的范圍從整數擴充至有理數的，是數學家John Wallis，有了這個基礎，我們才能在下節課將指數的范圍繼續擴充到實數，這樣就給我們將來研究指數函數奠定了堅實的基礎！

希望大家這兩節課打好基礎，將來去研究生活中更多的指數爆炸模型，來感受中國各個方面的飛速發展！

◆思政點睛：

為更好地幫助引導學生梳理本節知識脈絡，以思維導圖的方式讓學生小組合作完成，幫助學生養成梳理知識點的學習方法.

通過結語部分：為了親自感受到中國方方面面的高速發展，我們要打好指數運算的基礎，以此再次激發起學生認真學習指數這一節的興趣，這其中滲透學科育人環節，在課堂中貫徹落實立德樹人的根本任務.

參考文獻：

[1]汪曉勤，鄒佳晨.高中數學教學中實施課程思政的路徑[J].數學教學，2021（08）：1-6.