高中數(shù)學(xué)教學(xué)中直觀想象的理解與實(shí)踐

閔捷

[摘 ?要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，歷來就有重視幾何直觀與空間想象的傳統(tǒng)，到了核心素養(yǎng)的背景下，要培養(yǎng)學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力，就必須對(duì)幾何直觀有新的理解和實(shí)踐思路. 從直觀想象概念的角度來看，直觀想象實(shí)際上是直觀和想象兩個(gè)概念的組合;從直觀想象培養(yǎng)過程的角度來看，直觀想象素養(yǎng)落地的過程，代表著教師的教學(xué)水準(zhǔn). 直觀想象歸根到底是學(xué)生應(yīng)當(dāng)形成的素養(yǎng)，這個(gè)素養(yǎng)的養(yǎng)成過程中，學(xué)生是主體，而教師是提供幫助的組織者、指導(dǎo)者. 只要教師設(shè)計(jì)出了符合學(xué)生認(rèn)知需要的直觀想象的培養(yǎng)過程，那么學(xué)生自然就會(huì)有一個(gè)準(zhǔn)確的體驗(yàn)，體驗(yàn)的目的也會(huì)明確指向直觀想象素養(yǎng)落地.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);直觀想象;教學(xué)理解;教學(xué)實(shí)踐

高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的概念被提出之后，如何實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)落地，成了每個(gè)數(shù)學(xué)教師都在認(rèn)真思考的問題. 也就是說，高中數(shù)學(xué)在進(jìn)行知識(shí)教學(xué)的過程中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是教學(xué)的重點(diǎn). 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析等六個(gè)要素. 在實(shí)際教學(xué)中，這六個(gè)要素并不是齊頭并進(jìn)的，而是有所側(cè)重的. 比如說數(shù)學(xué)抽象，更多發(fā)生在數(shù)學(xué)概念建立或者復(fù)雜問題解決的過程中;邏輯推理則發(fā)生在數(shù)學(xué)規(guī)律建立或者問題解決的過程中……通過比較研究可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)研究的視野里，關(guān)注率較高，研究的文獻(xiàn)也較多. 相比較而言，對(duì)直觀想象的研究則相對(duì)較少. 實(shí)際上，直觀想象在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的作用，針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)，直觀想象能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)客觀事物的正確認(rèn)識(shí)，而幾何知識(shí)的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生直觀想象訓(xùn)練的最佳載體. 之所以說幾何知識(shí)的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生直觀想象訓(xùn)練的最佳載體，是因?yàn)橹庇^想象原本就是幾何直觀與空間想象的綜合，利用幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與空間想象，是符合邏輯的，同時(shí)也是符合高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)的. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，歷來就有重視幾何直觀與空間想象的傳統(tǒng)，到了核心素養(yǎng)的背景下，要培養(yǎng)學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力，那么就必須對(duì)幾何直觀有新的理解和實(shí)踐思路. 因此，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，筆者對(duì)此進(jìn)行了進(jìn)一步的探索.

對(duì)直觀想象的理解

在核心素養(yǎng)的背景下理解直觀想象，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為根本任務(wù)，在學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，有利于促進(jìn)學(xué)生知識(shí)與能力的形成，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，提高學(xué)生創(chuàng)新綜合能力. 顯然，這只是宏觀層面的理解，有助于判斷直觀想象教學(xué)的方向. 判斷了方向之后，還需要尋找具體的實(shí)踐方法，這就需要對(duì)直觀想象有更加細(xì)致的理解. 對(duì)此，筆者的理解有二：

一是從直觀想象概念的角度來看，直觀想象實(shí)際上是直觀和想象兩個(gè)概念的組合. 可能很少有人認(rèn)識(shí)到，直觀與想象對(duì)應(yīng)著兩種不同的思維方式，直觀往往是感知的結(jié)果，是學(xué)生對(duì)幾何研究對(duì)象有了直接的感覺與知覺后所形成的認(rèn)識(shí)，代表著學(xué)生的直觀判斷能力. 絕大多數(shù)情況下，學(xué)生的感覺水平是差不多的，知覺水平則有所差異，因此學(xué)生所形成的幾何直觀或者說直觀感知實(shí)際上是有差異的. 想象往往是指空間想象，想象通常以直觀為基礎(chǔ)，在直觀的基礎(chǔ)上進(jìn)行想象，實(shí)際上就是直觀的延伸. 從這一分析來看，直觀想象往往對(duì)應(yīng)著學(xué)生的直覺思維，直覺思維的水平代表著直觀想象的水平，所以培養(yǎng)學(xué)生高水平的直覺思維，就是直觀想象素養(yǎng)培育的重要思路.

二是從直觀想象培養(yǎng)過程的角度來看，直觀想象素養(yǎng)落地的過程，代表著教師的教學(xué)水準(zhǔn). 我國高中數(shù)學(xué)的知識(shí)相對(duì)比較復(fù)雜，難度較高，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)形成了一些優(yōu)秀的教學(xué)方法，同時(shí)也有一些不足，如過于依賴重復(fù)的習(xí)題訓(xùn)練，不僅無助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，也不利于核心素養(yǎng)落地. 就直觀想象而言，著名哲學(xué)家康德曾經(jīng)提到過，人的一切知識(shí)都是從直觀開始，隨后才是概念，最后則是理念. 因此，直觀實(shí)際上就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤其是幾何學(xué)習(xí)的入口，學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，通常都會(huì)產(chǎn)生一些想象，尤其是在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，想象是對(duì)已有圖形的重新加工，想象后學(xué)生可以形成新的表象，這些表象又是其后推理的基礎(chǔ).

可以肯定地講，只有當(dāng)學(xué)生在幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中能夠形成準(zhǔn)確的直觀與合理的想象，那么相應(yīng)的知識(shí)及其體系才能順利地建立起來，也只有在這樣的過程中，直觀想象素養(yǎng)才能真正落地.

直觀想象的實(shí)踐

具體到教學(xué)實(shí)踐過程當(dāng)中，通常認(rèn)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)可從三方面入手：一是立足空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化以及運(yùn)動(dòng)規(guī)律;二是運(yùn)用圖形描述分析數(shù)學(xué)問題;三是構(gòu)建數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路. 結(jié)合這一判斷，筆者在具體的教學(xué)過程中還進(jìn)行了優(yōu)化，形成的實(shí)踐思路是：創(chuàng)設(shè)情境，為學(xué)生提供形象素材，以形成較高水平的直觀;引導(dǎo)想象，用較高的直觀水平與問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生合理想象;積極反思，利用反思提高學(xué)生的直觀想象水平. 下面通過舉例進(jìn)行說明.

在“空間幾何體的直觀圖”這一知識(shí)的教學(xué)中，筆者注意到，雖然內(nèi)容標(biāo)題強(qiáng)調(diào)的是直觀圖，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中除了直觀加工外還涉及了想象，因此這一知識(shí)的教學(xué)就是一個(gè)很好的直觀想象素養(yǎng)培育的載體. 于是筆者在教學(xué)中進(jìn)行了這樣的設(shè)計(jì)：

首先，情境創(chuàng)設(shè). 借助于現(xiàn)代教學(xué)手段，為學(xué)生呈現(xiàn)空間幾何體在平行投影下出現(xiàn)的圖形. 呈現(xiàn)這個(gè)圖形時(shí)，既可以用實(shí)際平行投影的方法提供素材，也可以用多媒體提供素材. 筆者在教學(xué)中同時(shí)運(yùn)用了這兩種方法，這樣既可以讓學(xué)生觀察到現(xiàn)象，形成實(shí)際表象，又可以讓學(xué)生更好地理解平行投影的原理，從而為后面的想象以及推理奠定基礎(chǔ).

其次，任務(wù)驅(qū)動(dòng). 讓學(xué)生用“斜二側(cè)畫法”畫水平放置的正六邊形的直觀圖. 雖然說這是一個(gè)畫圖過程，但要想正確地將圖形畫出來，就必須對(duì)水平放置的正六邊形的直觀圖有一個(gè)準(zhǔn)確的理解，同時(shí)還要掌握“斜二側(cè)畫法”的基本要求. 在學(xué)生實(shí)際體驗(yàn)的過程中，學(xué)生對(duì)正常的平面直角坐標(biāo)系是有直觀認(rèn)識(shí)的，將平面直角坐標(biāo)系變“斜”，首先需要發(fā)揮想象，只有當(dāng)大腦中有了x軸與y軸成45°的直角坐標(biāo)系，學(xué)生才能把握“斜二側(cè)畫法”的基礎(chǔ)，從而畫出水平放置的正六邊形的直觀圖.

再次，引導(dǎo)反思. 在上述兩步驟的基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生進(jìn)行反思. 反思可以圍繞兩個(gè)問題進(jìn)行：一是自己的大腦中是否有一個(gè)清晰的關(guān)于某一空間幾何體的直觀圖？這個(gè)問題非常重要，決定了學(xué)生對(duì)空間幾何體的直觀圖的理解是否有一個(gè)具體的載體，而不只是空洞的概念;二是用“斜二側(cè)畫法”畫水平放置的正六邊形的直觀圖，具體的步驟是什么？學(xué)生思考這個(gè)問題的過程，實(shí)際上就是回憶自己學(xué)習(xí)的過程. 在這個(gè)過程中，學(xué)生的收獲會(huì)有很多. 實(shí)際上，幾何直觀與空間想象合成的直觀想象，強(qiáng)調(diào)的就是讓學(xué)生能利用圖形描述數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題，甚至構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型.

直觀想象的前瞻

通過以上三步實(shí)踐，學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)可以在這樣的學(xué)習(xí)過程中得到很好的培養(yǎng)，他們不僅能建立一個(gè)有效的直觀想象的過程，而且能通過反思強(qiáng)化這一過程，提取其中與直觀想象素養(yǎng)相關(guān)的關(guān)鍵要素然后進(jìn)行強(qiáng)化，這樣的體驗(yàn)可以生成能力，能力可以上升為素養(yǎng).

前瞻直觀想象素養(yǎng)，可以發(fā)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)需要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的思維特點(diǎn)，如果學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中能夠讓生活經(jīng)驗(yàn)有效地變成先行組織者，能夠有效地讓自己的元認(rèn)知去監(jiān)控，調(diào)節(jié)并設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)內(nèi)容，那么學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)也就有了一個(gè)比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 這實(shí)際上是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度作出的判斷，而抓住了學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，也就抓住了根本. 直觀想象歸根到底是學(xué)生應(yīng)當(dāng)形成的素養(yǎng)，這個(gè)素養(yǎng)的養(yǎng)成過程中，學(xué)生是主體，而教師是提供幫助的組織者、指導(dǎo)者. 只要教師設(shè)計(jì)出了符合學(xué)生認(rèn)知需要的直觀想象的培養(yǎng)過程，那么學(xué)生自然就會(huì)有一個(gè)準(zhǔn)確的體驗(yàn)，體驗(yàn)的目的也會(huì)明確指向直觀想象素養(yǎng)落地.

當(dāng)然，作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素之一，直觀想象也不可能獨(dú)立在其他素養(yǎng)要素之外單獨(dú)培養(yǎng)，更多還是要與其他素養(yǎng)要素互動(dòng)、互生. 在整個(gè)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師要認(rèn)真把握直觀想象的內(nèi)涵與外延，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，只有這樣，直觀想象才能獲得一個(gè)更加合理的培養(yǎng)空間，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)乃至于整個(gè)核心素養(yǎng)才能真正得到培育. 這就是筆者對(duì)直觀想象的理解與實(shí)踐認(rèn)識(shí)，不足之處希望得到中肯的批評(píng).