以整體性思考促成結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的發(fā)生

牛獻(xiàn)禮

【摘 要】數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點(diǎn)是整體性，教學(xué)應(yīng)當(dāng)基于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性思考來(lái)設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。在“有余數(shù)的除法”的教學(xué)中，筆者首先抓住新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)——平均分，讓學(xué)生經(jīng)歷了“余數(shù)”與“有余數(shù)的除法”等概念的形成過(guò)程;其次，抓住“有余數(shù)的除法”和“表內(nèi)除法”的內(nèi)在聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生再創(chuàng)造有余數(shù)除法的算式，理解有余數(shù)的除法的算式中各部分的意義及其關(guān)系;最后，引導(dǎo)學(xué)生回顧與反思，把“有余數(shù)的除法”新知納入已有的知識(shí)體系之中，推動(dòng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體把握和有效建構(gòu)，從而達(dá)到完善和發(fā)展學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】整體性思考 有余數(shù)除法 結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點(diǎn)是整體性，包括相同課程領(lǐng)域內(nèi)不同知識(shí)之間的邏輯關(guān)系和層級(jí)關(guān)系（呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)），以及不同課程領(lǐng)域之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。教學(xué)應(yīng)當(dāng)基于對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性思考，通過(guò)突出核心內(nèi)容，關(guān)注不同內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性特征，從而達(dá)到完善和發(fā)展學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目標(biāo)。下面，筆者以“有余數(shù)的除法”一課的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱乃伎寂c實(shí)踐。

一、教學(xué)片段一

1.出示：把10根小棒分給小朋友，每人分2根，可以分給幾人？每人分3根、4根、5根呢？

要求：同桌兩人合作，動(dòng)手分一分小棒，并把每次分的結(jié)果記錄在表格里。

每人分幾根 分給幾人 還剩幾根

2.全班交流

隨著學(xué)生口述，逐步呈現(xiàn)如下四種分法。

把10根小棒分給小朋友。

師：在第二種分法中，最后剩下1根為什么不分了呢？

生：因?yàn)槭敲咳艘?根，最后剩下這1根，不夠再分給1個(gè)人了，就不分了。

師：在第三種分法中，最后剩下2根為什么也不分了呢？

生：因?yàn)槭敲咳艘?根，最后剩下這2根，不夠再分給1個(gè)人了，就不分了。

師：仔細(xì)觀察這四種分法，它們有什么相同點(diǎn)？

（小組討論，全班交流）

生：第一種和第四種分法都是平均分，因?yàn)槊咳朔值靡粯佣唷?/p>

（課件演示：把每份圈一圈，發(fā)現(xiàn)每份確實(shí)同樣多）

師：想一想，第二種和第三種分法是平均分嗎？為什么？

生1：不是平均分，因?yàn)樽詈笥惺Ｓ唷Ｈ绻咽Ｓ嗟?根給第1人，第1人就多了;如果給第2人，第2人就多了……每人分得不一樣多。

生2：我覺(jué)得它們都是平均分的，因?yàn)槊糠莘值靡彩峭瑯佣嗟摹?/p>

（課件演示：把每份的根數(shù)圈一圈，直觀發(fā)現(xiàn)“每份同樣多”）

師：不管每人分3根，還是每人分4根，只要每人分到的同樣多，就是平均分！只不過(guò)，分到最后剩下1根或者2根，不夠再分了，就剩余下來(lái)，這是“平均分”的一種新情況。

3.比較分類

師：根據(jù)剛才的討論，你能給這幾種分法分分類嗎？

生：第一種和第四種分一類，它們“正好分完”;第二種和第三種分一類，它們“分后有剩余”。

板書(shū)：

【思考】布魯納認(rèn)為：“學(xué)習(xí)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織。”只有抓住聯(lián)系，才能更好地把握結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu)、生成意義。數(shù)學(xué)教材的編排本身就具有自己的結(jié)構(gòu)體系，但是如何將教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生能清晰地認(rèn)識(shí)、有效地提取，就需要教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，遵循數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯機(jī)理，通過(guò)結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)、模塊式的意義重構(gòu)、遞進(jìn)式的教學(xué)推進(jìn)，幫助學(xué)生建立清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在上述教學(xué)中，筆者抓住新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)——平均分，創(chuàng)設(shè)“分小棒”的操作情境，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)在“平均分”時(shí)，存在“正好分完”和“分后有余”兩種情況，體會(huì)“余數(shù)”和“有余數(shù)除法”產(chǎn)生的必然性。

學(xué)生僅有初步的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)部相互關(guān)聯(lián)的“結(jié)構(gòu)點(diǎn)”進(jìn)行“意義重構(gòu)”。在上述教學(xué)中，筆者用一個(gè)表格整合了本節(jié)課所有操作活動(dòng)的信息，這樣做更有利于學(xué)生對(duì)平均分物品和除法運(yùn)算的形成有完整的認(rèn)識(shí)，更有利于概念的抽象和學(xué)生對(duì)概念的理解，也有利于新舊知識(shí)關(guān)系的溝通。筆者抓住新舊分法的“異同點(diǎn)”，對(duì)“分小棒”的多種情況進(jìn)行比較和歸類。一是引導(dǎo)學(xué)生厘清“正好分完”和“分后有余”兩種情況的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別，明晰“平均分”的內(nèi)涵和外延——不管是“正好分完”還是“分后有余”，只要每份同樣多，都是平均分，構(gòu)建“平均分”新模型，幫助學(xué)生更加深刻地把握“平均分”的本質(zhì)。二是經(jīng)歷余數(shù)與有余數(shù)除法等概念的形成過(guò)程，學(xué)生在多次操作的過(guò)程中強(qiáng)烈地感知“剩余”，并通過(guò)對(duì)“如何處理平均分的剩余部分”的辨析，初步了解“分后有剩余”時(shí)剩余部分?jǐn)?shù)量與總數(shù)、每份數(shù)之間的關(guān)系，初步建立余數(shù)的表象。

二、教學(xué)片段二

1.探究“有余數(shù)的除法”的算式

師：想一想，怎樣用算式記錄這兩種“正好分完”小棒的過(guò)程？

學(xué)生口述，師板書(shū)：

10÷2=5（人）

10÷5=2（人）

師（指分后剩余1根的分法）：想一想，怎樣用算式記錄這種“分后有剩余”的情況呢？試一試。

學(xué)生嘗試完成后，在小組內(nèi)交流算式和想法。全班交流時(shí)呈現(xiàn)以下三種典型算式：

（1）3×3+1=10（根）

（2）10÷3=3（人）剩1（根）

（3）10÷3=3（人）……1（根）

師：仔細(xì)觀察這些算式，比一比，你覺(jué)得哪個(gè)算式最能清楚地記錄分小棒的過(guò)程？

師（小結(jié)）：后兩種算式都能清楚地記錄分小棒的過(guò)程，數(shù)學(xué)追求“簡(jiǎn)潔”，10÷3=3（人）……1（根）更合適。

師：你能結(jié)合分小棒的過(guò)程，說(shuō)一說(shuō)算式中每一個(gè)數(shù)表示的意思嗎？

生：10表示要分10根小棒，3表示每人分3根，3人表示分給了3人，1根表示分完后還剩下1根小棒。

師：在過(guò)去學(xué)習(xí)的除法算式中，10、3和3人分別叫什么名稱？你覺(jué)得最后的1根應(yīng)該叫作什么？

師（指分后剩余2根的分法）：你會(huì)用算式記錄這種“分后有剩余”的情況嗎？

（學(xué)生獨(dú)立完成，集體評(píng)議）

師（板書(shū)）：10÷4 = 2（人）……2（根）

師：你能結(jié)合分小棒的過(guò)程，說(shuō)一說(shuō)算式中每一個(gè)數(shù)表示的意思嗎？（生答略）

2.算式比較，理解“余數(shù)”與“除數(shù)”的關(guān)聯(lián)性

師：請(qǐng)大家仔細(xì)觀察這些除法算式，它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

（學(xué)生各抒己見(jiàn)，教師利用結(jié)構(gòu)化的板書(shū)，逐步構(gòu)建除法的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系）

師（小結(jié)）：像這樣“平均分東西”時(shí)，都可以用“除法算式”來(lái)記錄分東西的過(guò)程和結(jié)果。不同的是，以往學(xué)習(xí)的除法算式都“沒(méi)有余數(shù)”，是“表內(nèi)除法”，而今天學(xué)習(xí)的除法算式“有余數(shù)”，這就是本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的“有余數(shù)的除法”（板書(shū)課題）。

師：我們?cè)賮?lái)比較一下這兩道有余數(shù)的算式，為什么第一道算式的余數(shù)是1，第二道算式的余數(shù)是2呢？

生：因?yàn)榈谝环N分法是剩余1根，第二種分法是剩余2根。

師：因?yàn)榈谝环N分法是每人分3根，除數(shù)是3，所以剩余1根，余數(shù)是1;第二種分法是每人分4根，除數(shù)是4，所以剩余2根，余數(shù)是2。余數(shù)跟除數(shù)有關(guān)。

【思考】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)情境去偽存真，抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與特征，并用數(shù)學(xué)方式表征內(nèi)化的過(guò)程。上述教學(xué)中，教師抓住“有余數(shù)除法”和“表內(nèi)除法”的內(nèi)在聯(lián)系，借助“表內(nèi)除法”的認(rèn)知基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生再創(chuàng)造算式，幫助學(xué)生初步建立有余數(shù)的除法中被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，初步形成有余數(shù)除法的表象。學(xué)生經(jīng)歷了由“表內(nèi)除法算式”類推出“有余數(shù)的除法算式”的過(guò)程，初步培養(yǎng)了推理能力;經(jīng)歷了“直觀動(dòng)作思維—具體形象思維—抽象邏輯思維”的演變過(guò)程，初步培養(yǎng)了抽象思維能力;學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)算式描述平均分物品時(shí)有剩余的現(xiàn)象的過(guò)程和結(jié)果，建立“生活情境”與“數(shù)學(xué)符號(hào)”之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“現(xiàn)實(shí)世界”到“數(shù)學(xué)符號(hào)”的抽象，經(jīng)歷“有余數(shù)的除法”模型的建構(gòu)過(guò)程，初步培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模能力;初步感知除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系，為下節(jié)課探索余數(shù)與除法的關(guān)系做好鋪墊。

三、教學(xué)片段三

1.圈一圈，填一填

（學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，然后全班交流）

師：這兩個(gè)問(wèn)題都用算式9÷2=4……1解決，想一想，它們表示的意思一樣嗎？

生：雖然算式一樣，但由于分法不同，表示的意思也不同。但是，無(wú)論是“每人分2支”，還是“平均分給2人”，都會(huì)出現(xiàn)“分后有剩余”的情況，都可以用有余數(shù)的除法算式來(lái)表示。

2.拓展

師：你還能用“9÷2=4……1”編一個(gè)分東西的數(shù)學(xué)故事嗎？

師（引導(dǎo)）：無(wú)論是分小棒、分鉛筆，還是分糖，都能用數(shù)學(xué)算式來(lái)表示，你有什么感受？

生：數(shù)學(xué)的力量真大呀！

【思考】唯有學(xué)生自主地把數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想置于自身既有的體系之中加以結(jié)構(gòu)化，并且能夠適當(dāng)?shù)赜脕?lái)解決問(wèn)題或是應(yīng)用于新的情境，才能達(dá)到真正意義上的理解。在上述教學(xué)中，先將“有余數(shù)除法”模型由“包含分”遷移到“平均分”，并借助直觀的“圈”“畫(huà)”等方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和比較，厘清兩種分法的異同，溝通兩種分法的聯(lián)系，對(duì)比中辨析無(wú)論是“平均分物”還是“包含分物”，都有分不完的時(shí)候，都可以用“有余數(shù)的除法算式”表示分物的過(guò)程和結(jié)果，從而完善“有余數(shù)的除法”新知模型。接著，借助“編數(shù)學(xué)故事”，將有余數(shù)除法模型由“分鉛筆”遷移拓展到“分書(shū)本”“分糖”“分組”……從而溝通了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

利用課件和板書(shū)回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生暢談本節(jié)課的收獲和體會(huì)，逐步梳理、形成如下知識(shí)結(jié)構(gòu)體系：

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了不僅存在沒(méi)有余數(shù)的除法，也存在有余數(shù)的除法。事實(shí)上，沒(méi)有余數(shù)的除法也可以看成有余數(shù)的除法中“余數(shù)為0”的特殊情況。

【思考】開(kāi)展結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，不只是為了完成知識(shí)的學(xué)習(xí)，形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知圖式，更重要的是讓結(jié)構(gòu)化思維從內(nèi)心生長(zhǎng)出來(lái)。為此，有必要讓反思成為課堂學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生在學(xué)中思、在思中悟。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說(shuō)：“只要兒童沒(méi)能對(duì)自己的活動(dòng)進(jìn)行反思，他就達(dá)不到高一級(jí)的層次。”為此，在上述教學(xué)中，通過(guò)“回頭看”這樣一種思維活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)及學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行回顧和反思，把新學(xué)的知識(shí)納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系之中，體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯美和簡(jiǎn)潔美，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系。

這樣的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，可以推動(dòng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體把握和有效建構(gòu)，促使學(xué)生慢慢養(yǎng)成結(jié)構(gòu)化的思維方式，提升學(xué)生的遷移建構(gòu)能力。課末教師的一句話“事實(shí)上，沒(méi)有余數(shù)的除法也可以看成有余數(shù)的除法中‘余數(shù)為0’的特殊情況”，再次溝通了新舊知識(shí)的聯(lián)系，幫助學(xué)生深化了對(duì)概念的理解，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。