經(jīng)歷問題解決過程是學生建構算理的關鍵

張莉?孫曉紅

【摘 要】經(jīng)歷正確的學習過程是幫助學生構建正確認知的關鍵。目前的數(shù)學教學多數(shù)注重各種外在的學習形式，忽略培養(yǎng)學生正確的學習途徑，比如以方法代替道理，在計算教學中以所謂的“經(jīng)驗”算法代替學生“算理—算法”的構建。本文以“二十以內(nèi)進位加法”為例，提出“如何讓學生主動建構算理，并自主提煉算法程序”的較為科學的學習方法。

【關鍵詞】經(jīng)歷 問題解決 聯(lián)系 建構 算理

目前，“20以內(nèi)進位加法”的教學呈現(xiàn)兩種情況：一是講授計算方法。教師講解算十、拆數(shù)、湊十、求和的過程，強化學生對湊十方法的掌握。二是將“湊十法”的過程具象化。教學活動讓學生在操作過程中體會“湊十法”的基本過程，通過形象幫助學生建立“十”的表象，理解“滿十進一”的概念。將“湊十法”的過程具象化的教學方法看似很生動，但是學生依然要經(jīng)歷算十、拆數(shù)、湊十、求和的思考過程，學習過程中目標不清晰、步驟多、過程不連續(xù)，給學生學習帶來極大的挑戰(zhàn)。

相關研究顯示，很多學生在“二十以內(nèi)進位加法”的學習中無法理解“湊十法”的算理。據(jù)此，很多教師認為，“湊十法學不會不強求、會算就行”，甚至是要求學生生硬記憶。而學生由于不理解湊十的目的和要解決的問題，只能通過背誦口訣、生硬記憶運算規(guī)則等完成計算任務，無法從根本上理解算理。因此，讓學生主動建構算理，并自主提煉算法程序，成為改變這種教師難教、學生難學現(xiàn)狀的關鍵。

知識的獲得來源于對問題的認識和解決過程。落實到計算教學，則表現(xiàn)為讓學生在問題解決過程中聯(lián)系已有知識去建構算理并提煉算法，進而將新知識內(nèi)化為自己的認知結構。在“20以內(nèi)進位加法”的教學過程中，教師要引導學生將“建構20以內(nèi)進位加法的計算方法”作為任務，以“如何將‘進位加法’轉化為‘不進位加法’”為問題，讓學生在問題解決過程中經(jīng)歷“進位加法”向“不進位加法”轉化的客觀過程，建立新知識與已有知識的本質關聯(lián)，以理解進位加法的算理并掌握算法。依據(jù)該原理和邏輯，本設計試圖捋清“20以內(nèi)進位加法”教學過程中學生的知識建構路徑，供研究者和實踐者修正和調(diào)試。

一、將進位計算問題轉化為不進位計算問題

基于問題解決過程的教學設計讓學生通過明確問題進而把握學習的目標和意義，在方法與結果的關系探索中理解知識的意義，進而真正理解知識的本質。這要求在教學中，首先要幫助學生明確問題，從而為學習過程定向。即將“20以內(nèi)進位加法”轉化為學生熟悉的“10加幾”的不進位計算，以明確20以內(nèi)進位加法算理建構所要解決的根本問題。這樣的設計依據(jù)知識的結構性發(fā)展規(guī)律，揭示20以內(nèi)進位加法的學習過程及其內(nèi)涵的算理，將學生的算理學習落實到基于問題解決的知識建構與發(fā)展過程中。在教學設計中，這一定向是通過兩個過程來實現(xiàn)的：

一是通過“10加幾”的列式和計算任務，激活學生已有的經(jīng)驗。“問題提出的成功與否與學生是否具有相應的圖式有關”，教學設計應當幫助學生明確與新知識相關的已有知識，即學生已經(jīng)學會的20以內(nèi)不進位加法的表達、計算。因此，教學需要設計與“10加幾的列式方法和計算結果”相關的學習任務。以蘇教版教材為例，教師可以提問：“圖中的10個蘋果與1個蘋果合在一起的算式是什么？結果是多少？”“圖中的10個蘋果與2個蘋果合在一起的算式是什么？結果是多少？”

二是根據(jù)新舊知識之間的本質聯(lián)系，提出學習新知要解決的關鍵問題。利用已有知識，讓學生感知到“10加幾”與“20以內(nèi)進位加法”之間的聯(lián)系，從而明確新知識學習的關鍵問題。據(jù)此，教師可以根據(jù)需要提問：“9個蘋果與4個蘋果合在一起的算式是什么？”“根據(jù)10+1=11和10+2=12，同學們有辦法算出9+4等于多少嗎？”利用這樣的問題引導學生進行探究，進而明確解決20以內(nèi)進位加法問題的思考方向。這一過程將新問題轉化為學生能夠用已有知識解決的問題，為學生良好學習策略的學習和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)提供支撐。

為了有效激活學生的已有經(jīng)驗，教師需要使用配圖。由于學齡初期兒童的意識活動過程以感知過程為主，低年段的“算理”也是由感知來實現(xiàn)的。即學生的“理”是通過活動感知的，從“感”中“悟”出“理”來。因此，進位加法算理的建構需要具體事物的支撐。同時，為了和后續(xù)進位加法算理建立一貫的聯(lián)系，問題提出階段需要使用與后續(xù)學習類似的配圖，便于學生感知到知識之間的聯(lián)系，以有效遷移。在有效使用配圖的基礎上，教師需要提問并列寫“10加幾”的算式和結果，讓學生感知到“10 加幾”的列式方法與計算方法的聯(lián)系。

二、利用不進位計算理解進位計算算理

利用不進位計算理解進位計算算理是解決問題的方法，也是學生實現(xiàn)“知識重組、轉換，以實現(xiàn)概念轉變”的方法。這一學習過程需要關注兩個問題：

一是學生明確所要探究的具體問題。明確的問題能夠有效地將知識與思考過程整合，使得學生的學習過程成為一個連續(xù)的鏈條，并通過建立知識之間的實質關系實現(xiàn)認知結構的完善。這樣設計能從根本上解決“湊十法”教學中存在的因為缺乏明確的問題指引，而使得算法程序碎片化的問題。在前一階段目標定向之下，這里的設計要讓學生對自己提問：“如何將進位加法變成‘10加幾’？”這樣把任務明確為只要“把9+4變成10加幾，就能算出得數(shù)是十幾”。即“怎么才能把9個蘋果加上4個蘋果（9+4），變成10個蘋果加上幾個蘋果呢（10加幾）？”有了明確的問題和任務，學生就有了學習新事物的內(nèi)動力，也有了思考的方向。

二是在問題解決過程中理解算理。在問題解決中，學習就是在經(jīng)驗中學習，就是“在我們對事物有所作為和我們所承受的結果之間建立前前后后的聯(lián)結。而行動就變成一次尋找世界真相的實驗;而承受的結果就變成了教訓——發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)結”。也就是學生對知識意義的理解要落實到知識產(chǎn)生的背景和過程之中，只有這樣，個體才能對知識的意義和合理性做出判斷。在解決“如何把9+4變成10加幾”這一問題中，學生的學習分為兩個階段：

其一，通過數(shù)到十，再數(shù)剩下的，理解進位的算理。在學習過程中，學生根據(jù)主題圖，先用9個蘋果加上1個蘋果，變成10個蘋果。即利用10以內(nèi)加法的計算能力首先把9變成10。之后，再解決“4個蘋果中有一個蘋果加到9個蘋果里面，還剩幾個蘋果”的問題。學生進而利用數(shù)蘋果的過程和10以內(nèi)減法的計算能力得出結果。

其二，學生回顧與總結算理。為了理解算理，教師引導學生梳理和回顧算理形成的過程。在這一過程中，教師可以提問：“同學們現(xiàn)在能算出9個蘋果加上4個蘋果是多少個蘋果了嗎（9+4=？）？”學生回顧思考過程，提出可以將9+4變成10+3，并列寫“9+4=10+3”“10+3=13”的算式。經(jīng)歷這樣明確的思考過程，學生就能夠切實理解20以內(nèi)進位加法“先數(shù)到十，再數(shù)剩下的”這一算理，并利用不進位加法的計算能力得到計算結果。

三、掌握進位計算算理并總結算法

本階段在理解算理的基礎上，將算理凝練成算法。操作過程中要注意兩個方面的問題：一是重復算理過程以掌握算法。教師引導學生基于算理過程總結算法，需要重復算理建構所經(jīng)歷的步驟，即根據(jù)情境列寫“9加幾”的算式，從數(shù)到十理解先算十，再數(shù)剩下的形成“10加幾”的新算式，從而掌握“先算十再加和”的算法。這個過程需要將理解算理時所用到的具象和數(shù)進行替換，以加深學生對算法本質的掌握。由于這個過程是逐步用符號表達具象的過程，部分學生在學習過程中可能會存在運用不熟練、理解不徹底等現(xiàn)象。教師要注重具象經(jīng)驗的配合，給予學生更多的學習體驗，不斷加深理解，強化學生用算式表達計算的過程，進而真正掌握計算方法。

二是通過感知過程解決邏輯推理難題。在學習20以內(nèi)進位加法之前，學生學習了分或合的知識，但缺乏將分與合結合進行先分后合的計算能力，因此難以抽象地理解算法各個步驟之間的關系。同時，將拆分后的數(shù)統(tǒng)計起來，需要運用加法交換律與加法結合律，而此部分知識學生尚未學習。因此，“9+4=10+3，10+3=13，故9+4=13”是一個無法理解的數(shù)字推理問題。為了明確“20以內(nèi)進位加法”與“10+幾”的相等關系，教師一定要借助具象引導學生將“9+4”的計算問題轉化為“10+3”的問題，并強調(diào)“9+4”與“10+3”的相等關系。從而，自然經(jīng)歷將“9+4”變成“10+3”的過程，得到“9+4=10+3”，而“10+3=13”。并在最后將“9+4=10+3”和“10+3=13”放到一起，完成學生對算法的感知。

總體上，本設計遵從認知結構發(fā)展原理，強調(diào)新知識與已有認知結構的實質性聯(lián)系，并依托問題解決過程，讓學生經(jīng)歷新知識的產(chǎn)生過程，以真正理解知識的意義。從而，讓學生在學習過程中利用已有知識解決新問題，持續(xù)實現(xiàn)認知結構的發(fā)展和完善。

注：本論文的核心理論來源于“學習過程培養(yǎng)課程”。本文是遼寧省教育廳項目科學研究經(jīng)費項目“學會學習素養(yǎng)在小學數(shù)學中的培養(yǎng)研究”（項目編號：WQ2019007）的研究成果。