基于相對增益和優(yōu)先級的化工過程協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計

陳耀明，許鋒，羅雄麟

（中國石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院自動化系，北京 102249）

引 言

在進行化工過程設(shè)計時，為了彌補過程不確定性對化工裝置正常運行的不利影響，一般設(shè)計人員在過程設(shè)計時需要對設(shè)計變量增加設(shè)計裕量。設(shè)計裕量通常會降低裝置的經(jīng)濟性能，增加設(shè)備投資和操作費用，因此設(shè)計裕量應(yīng)盡可能越小越好。Seider 等[1]提出在設(shè)計中給設(shè)備尺寸增加裕量(overdesign)，以保證裝置能夠在出現(xiàn)不確定性的條件下安全運行，并且主張協(xié)調(diào)設(shè)計、操作和控制優(yōu)化，以減少化工過程的設(shè)計裕量。Narraway 等[2]、Barton等[3]、Lear等[4]和Perkins[5]提出了經(jīng)濟效益下降量(back-off)的概念，其大小表示過程動態(tài)特性對經(jīng)濟效益的影響，此經(jīng)濟效益下降量可以作為評價裕量大小的依據(jù)。隨后Bahri 等[6]進一步發(fā)展了Narraway 的理論，提出了一種分別計算在控制系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)條件下計算經(jīng)濟效益動態(tài)下降量的方法，將穩(wěn)態(tài)設(shè)計方法擴展到動態(tài)系統(tǒng)，并加入對模型不確定性的分析。在化工領(lǐng)域尤其是石油深度加工領(lǐng)域，許鋒等[7]提出了一種基于一階靈敏度分析的對裝置總體裕量進行評價的方法，以催化裂化裝置作為典型對象，進行了完整的裕量分析；之后又利用混合整數(shù)動態(tài)優(yōu)化，分析操作裕量、工藝裕量和控制性能之間存在的關(guān)系，找到兼顧工藝和控制要求的工藝操作點和控制設(shè)計方案[8]。

目前，實際化工過程中的設(shè)計裕量一般通過設(shè)計經(jīng)驗或經(jīng)濟優(yōu)化給出。首先，設(shè)計人員根據(jù)自身的設(shè)計經(jīng)驗來決定設(shè)計裕量的大小，并確定出在此設(shè)計裕量下的操作點，但設(shè)計經(jīng)驗無法保證經(jīng)濟性能的優(yōu)化，且具有很大的盲目性。出于對操作安全性的高度要求，設(shè)計經(jīng)驗給出的設(shè)計裕量一般偏大。

其次，通過求解最優(yōu)化問題解決設(shè)計裕量和操作點的問題，以最小的經(jīng)濟損失代價抵消過程中不確定參數(shù)的影響，理論上可以保證設(shè)計結(jié)果經(jīng)濟性能的最優(yōu)。經(jīng)典最優(yōu)化算法包括用于非線性規(guī)劃的序列二次規(guī)劃法(SQP)[9-10]、用于整數(shù)規(guī)劃問題的動態(tài)規(guī)劃法[11-12]等。這些方法數(shù)學(xué)理論成熟，但難以對復(fù)雜模型進行求解，或求解效果較差，容易陷入局部極值，初值影響取優(yōu)結(jié)果等。隨著人工智能的發(fā)展，一系列模擬自然生命演化現(xiàn)象的現(xiàn)代啟發(fā)式算法相繼提出，如遺傳算法(genetic algorithm)[13-14]，粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimiztion)[15-17]，蟻群優(yōu)化算法(ant colony optimization)[18-20]在內(nèi)的群智能 優(yōu) 化 算 法 (swarm intelligence optimization algorithm)，此類算法主要是基于種群迭代的全局搜索算法，不依賴于所求問題的梯度信息，較高概率收斂于全局最優(yōu)解；又如模擬退火(simulated annealing)算法[21-22]，基于固體物質(zhì)的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性，是一種依靠Monte Carlo 迭代求解的全局概率型搜索算法。這些現(xiàn)代啟發(fā)式算法在經(jīng)典優(yōu)化方法不能或者難以求解的復(fù)雜問題上取得了令人矚目的成就。

但是求解最優(yōu)化問題的方法用于裕量設(shè)計也不是完美的，主要存在以下問題。

(1)當(dāng)化工過程規(guī)模增大，需要進行全流程工藝設(shè)計時，涉及的變量和參數(shù)眾多，需要求解復(fù)雜的大規(guī)模非線性優(yōu)化問題，計算復(fù)雜。經(jīng)典優(yōu)化算法容易陷入局部極值點，啟發(fā)式算法計算時間太長，優(yōu)化算法的內(nèi)部機理不清楚，設(shè)置優(yōu)化參數(shù)時無從下手，有一定概率出現(xiàn)明顯錯誤的優(yōu)化結(jié)果。

(2) 絕大多數(shù)過程變量在過程設(shè)計時的“參與度”是很低的，有經(jīng)驗的設(shè)計人員只需要少數(shù)的幾個關(guān)鍵過程變量即可確定出設(shè)計裕量和操作點。如果求解最優(yōu)化問題得到一個涉及到大部分變量的“一攬子”優(yōu)化結(jié)果，其中包含了許多“參與度”低的過程變量，并且優(yōu)化值對于設(shè)計變量的調(diào)整處于一個十分微小的程度，甚至低于可調(diào)整的“最小刻度”，達到了可以忽略不計的程度，那么這種“雜而小”的優(yōu)化結(jié)果是十分有悖于設(shè)計人員的設(shè)計經(jīng)驗的。

(3)過程約束中并非所有約束都有效，設(shè)計人員只需要調(diào)整若干設(shè)計變量或操作變量就可以使操作點遠離約束邊界，設(shè)計人員根據(jù)設(shè)計經(jīng)驗只關(guān)注幾個關(guān)鍵的過程變量。純粹的經(jīng)濟優(yōu)化方法只能得到一個大而全、多而雜的數(shù)值優(yōu)化結(jié)果，需要調(diào)整的過程變量眾多，找不到關(guān)鍵設(shè)計變量和關(guān)鍵操作變量，并不能給設(shè)計人員一種具有“方向感”和“協(xié)調(diào)感”的有效指導(dǎo)。

本文從靈敏度的角度提供了一種尋找對經(jīng)濟性能影響小并能有效移動操作點的關(guān)鍵過程變量的工具。這是一種不依賴于求解優(yōu)化問題，但卻能簡單便捷地給出系統(tǒng)的設(shè)計裕量和操作點的方法。其核心思路是給出操作變量和設(shè)計變量各自的優(yōu)先級順序，這個優(yōu)先級反映了調(diào)整各操作變量和各設(shè)計變量使系統(tǒng)操作點返回約束條件以內(nèi)的優(yōu)先級。

劃分優(yōu)先級主要用到的數(shù)學(xué)工具為相對增益陣。相對增益陣(relative gain array,RGA)是Bristol[23]提出的，Grosdidier等[24]進一步給出了RGA 數(shù)學(xué)性質(zhì)的相關(guān)證明，相對增益是一種雙向靈敏度，能夠更精確反映出自變量與因變量的相關(guān)性。Chang 等[25]將RGA 推廣到非方系統(tǒng)中得到非方相對增益陣(nonsquare relative gain array,NRGA)，Skogestad 等[26]總結(jié)了NRGA 的性質(zhì)，Xiong 等[27]、He 等[28]和任麗紅等[29]在相對增益中引入動態(tài)信息，形成了穩(wěn)態(tài)信息與動態(tài)信息相結(jié)合的動態(tài)RGA。

本文將自變量劃分為操作變量和設(shè)計變量，將因變量劃分為經(jīng)濟指標和約束變量。擬應(yīng)用相對增益的雙向靈敏度特性，分析操作變量和設(shè)計變量對經(jīng)濟指標和約束變量的敏感程度，根據(jù)經(jīng)濟指標和約束變量分別對操作變量和設(shè)計變量的相對增益劃分優(yōu)先級，針對過程不確定性的大小按照優(yōu)先級依次調(diào)整各操作變量和設(shè)計變量，找到對過程經(jīng)濟性能影響最小并有效移動操作點、遠離約束邊界的裕量設(shè)計方案。

當(dāng)然本文所給出的這種不需要求解最優(yōu)化問題的協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計方法，相對于求解最優(yōu)化問題，自然要承擔(dān)一定經(jīng)濟性能上的犧牲。本文以串聯(lián)反應(yīng)釜為例對該設(shè)計方法進行驗證，與求解經(jīng)濟最優(yōu)化問題的裕量設(shè)計方法進行對比。

1 靈敏度分析與相對增益陣

1.1 靈敏度分析

理想的過程設(shè)計應(yīng)在滿足所有約束條件下達到經(jīng)濟最優(yōu)，優(yōu)化設(shè)計模型為

式中，F(xiàn)為最優(yōu)設(shè)計的目標函數(shù)，包括設(shè)備投資費用、過程操作費用等；f表示系統(tǒng)的過程狀態(tài)方程組；g表示系統(tǒng)的約束方程組；x為狀態(tài)變量；u為操作變量；d為設(shè)計變量；p為不確定參數(shù)；c為約束變量；cb為對應(yīng)的約束限；u與d是優(yōu)化問題的決策變量。在最優(yōu)設(shè)計點處的系統(tǒng)標稱值記作x*,u*,d*,c*，在最優(yōu)設(shè)計時不確定參數(shù)維持其標稱值p*不變。

對非線性模型式(1)～式(3)在最優(yōu)設(shè)計點附近線性化，得到目標函數(shù)對操作變量u、設(shè)計變量d的穩(wěn)態(tài)靈敏度[30]為

式中，下角標0表示取最優(yōu)設(shè)計點處的偏導(dǎo)數(shù)，下文含義相同。

設(shè)計變量d和不確定參數(shù)p對約束變量c無動態(tài)響應(yīng)，約束變量c對設(shè)計變量d和不確定參數(shù)p的穩(wěn)態(tài)靈敏度[30]為

操作變量u對約束變量c存在動態(tài)響應(yīng)，不宜用穩(wěn)態(tài)靈敏度描述。當(dāng)系統(tǒng)改用微分方程描述時，式(2)轉(zhuǎn)化為

對式(8)在最優(yōu)設(shè)計點附近線性化，得到操作變量u對約束變量c的動態(tài)靈敏度為

在不確定參數(shù)p發(fā)生波動時，應(yīng)確定合適的操作變量的調(diào)節(jié)方案使約束變量返回約束區(qū)間內(nèi)，并應(yīng)盡可能對目標函數(shù)產(chǎn)生最小的影響。在操作變量u的所有調(diào)節(jié)方案均無法很好地補償（即目標函數(shù)的性能下降無法令人滿意）時，設(shè)計變量d應(yīng)該增加裕量Δd，抵消不確定參數(shù)p的影響，保證約束不被突破，在滿足系統(tǒng)允許變動的范圍內(nèi)，使目標函數(shù)偏離最優(yōu)值最小。

本文對設(shè)計合適的操作變量的調(diào)節(jié)方案和設(shè)計裕量方案，提出以下三點要求。

(1)對經(jīng)濟性能的敏感程度。在基于靈敏度模型設(shè)計操作變量的調(diào)節(jié)方案和設(shè)計裕量方案時，此時的調(diào)節(jié)方案為操作變量和設(shè)計變量的線性組合，應(yīng)盡可能對目標函數(shù)（經(jīng)濟指標）產(chǎn)生較低負面影響。

(2)對（突破）約束的敏感程度。如果實際問題中需要使超出約束界限的變量組合盡快返回界限以內(nèi)，應(yīng)該根據(jù)約束變量距離約束的距離確定需要優(yōu)先考慮哪些約束變量應(yīng)當(dāng)遠離約束邊界。

(3)操作變量對約束變量的響應(yīng)速度快慢和設(shè)計變量對約束的敏感程度。應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇對約束變量靈敏度高的操作變量和設(shè)計變量，使得操作變量和設(shè)計變量以較小的變化就能使約束變量遠離約束邊界。

本文所提出的方法是，在進行操作變量和設(shè)計變量的協(xié)調(diào)優(yōu)化設(shè)計時，首先根據(jù)操作變量u和設(shè)計變量d對約束變量c和目標函數(shù)F（經(jīng)濟指標）的靈敏度來確定u和d的優(yōu)先級，對每一個約束變量按照優(yōu)先級依次選擇對應(yīng)的操作變量和設(shè)計變量，最后根據(jù)操作點對約束變量的要求將約束變量和操作變量/設(shè)計變量分別組成方程組，按照先操作變量后設(shè)計變量的順序依次求取操作變量和設(shè)計變量，從而確定設(shè)計裕量。

1.2 相對增益陣（RGA）

靈敏度僅僅反映了化工過程系統(tǒng)中自變量對因變量的單向敏感信息，而相對增益陣不但包含了自變量對因變量的正向敏感程度，還包含了因變量對自變量的反向敏感程度，同時反映自變量和因變量的雙向敏感信息，是一種雙向靈敏度。與靈敏度相比，相對增益陣還具有無量綱化和歸一化的特點，避免靈敏度因量綱不同無法比對的弊端，能夠更加精確反映出自變量與因變量的相關(guān)性。

下面給出相對增益陣RGA 的定義及性質(zhì)。對于自變量U(U∈Rm)和因變量Y(Y∈Rr)，其靈敏度關(guān)系為

式中，Λ為自變量U對因變量Y的相對增益陣；S為自變量U對因變量Y的靈敏度矩陣；?表示矩陣Schur乘積，即矩陣相同位置的元素的乘積。

對于相對增益陣元素λij而言，相對增益為

因此，相對增益λij等于自變量Uj對因變量Yi的靈敏度與因變量Yi對自變量Uj的靈敏度的乘積，反映出自變量和因變量的雙向靈敏度信息。

相對增益陣RGA 是尺度變換保持不變的，即D1SD2的相對增益陣與S的相對增益陣是相同的，D1,D2均為對角陣。該性質(zhì)反映出相對增益具有無量綱化的特點，可以避免靈敏度因量綱不同無法比對的弊端。

由于化工過程系統(tǒng)中經(jīng)濟指標和約束變量與操作變量和設(shè)計變量的維數(shù)一般不相等，對于非方系統(tǒng)，可以用偽逆的概念將相對增益陣推廣到非方系統(tǒng)，非方相對增益陣(NRGA)表示為

式中，+表示非方陣的偽逆。

當(dāng)r＞m時，因變量維數(shù)大于自變量維數(shù)，稱為瘦系統(tǒng)，如果S列滿秩，則

當(dāng)r＜m時，因變量維數(shù)小于自變量維數(shù)，稱為胖系統(tǒng)，如果S行滿秩，則

對于相對增益陣（包括非方相對增益陣）中的元素λij，如果λij= 1，說明自變量Uj對因變量Yi的影響最為顯著，自變量Uj只影響因變量Yi，不影響其他因變量，同樣，因變量Yi只受自變量Uj影響，不受其他自變量影響。因此，欲對因變量進行調(diào)整，應(yīng)當(dāng)選擇最接近于1 的相對增益對應(yīng)的自變量進行調(diào)節(jié)，這樣對其他因變量和自變量的影響最小。但是，如果λij= 0，則表明自變量Uj和因變量Yi之間毫無關(guān)系，就不能選擇自變量Uj對因變量Yi進行調(diào)節(jié)。

1.3 相對能量增益陣（REGA）

設(shè)計變量和操作變量對經(jīng)濟指標的影響，以及設(shè)計變量對約束變量的影響，都是穩(wěn)態(tài)關(guān)系，可以用靈敏度S表示；但是，操作變量對約束變量的影響具有動態(tài)特性，與時間有關(guān)，必須用動態(tài)靈敏度S(t)來描述，才能與實際過程相符合。

穩(wěn)態(tài)靈敏度S可以求解穩(wěn)態(tài)RGA，但對于動態(tài)靈敏度S(t)，在計算RGA 時必須考慮動態(tài)時域特性的影響，因此，需要在相對增益中引入動態(tài)信息，本文采用相對能量增益陣(relative energy gain array,REGA)[29]解決這一問題。

對于動態(tài)靈敏度S(t)，將動態(tài)過程中的靈敏度S(t)和動態(tài)過程結(jié)束時的穩(wěn)態(tài)靈敏度S(∞)的偏差歸一化，得

將eij(t)的平方積分定義為自變量Uj對因變量Yi進行調(diào)節(jié)時的能量消耗，用來表征動態(tài)過程的特征，得

綜合穩(wěn)態(tài)靈敏度S(∞)和能量消耗Eij，就可以兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)信息和動態(tài)特性。將穩(wěn)態(tài)靈敏度S(∞)和能量消耗Eij組合，得到能量靈敏度Sˉij

將所有自變量對因變量的能量靈敏度Sˉij組合起來，得到能量靈敏度矩陣Sˉ，采用Sˉ計算相對增益陣，對非方系統(tǒng)計算非方相對能量增益陣(nonsquare REGA,NREGA)

NREGA具有與非方相對增益陣相同的性質(zhì)，需要對因變量Yi進行調(diào)整時，應(yīng)當(dāng)選擇與1 最接近的λij對應(yīng)的自變量Uj進行調(diào)節(jié)，這樣對整個過程系統(tǒng)的影響最小；同時，不能選擇與0最接近的λij對應(yīng)的自變量Uj進行調(diào)節(jié)。

2 基于NRGA 和NREGA 的裕量協(xié)調(diào)優(yōu)化方法

首先根據(jù)存在過程不確定性時約束變量距離約束邊界的距離確定約束變量的優(yōu)先級，確定需要調(diào)整其工作點的約束變量；然后根據(jù)操作變量和設(shè)計變量對約束變量和經(jīng)濟指標的相對增益陣確定操作變量和設(shè)計變量的優(yōu)先級，按照先操作變量后設(shè)計變量的順序依次對約束變量進行調(diào)節(jié)，保證對過程的經(jīng)濟性能影響最小并有效移動操作點，將其調(diào)整到約束邊界以內(nèi)。

2.1 約束變量優(yōu)先級

由于實際的化工問題常常是瘦系統(tǒng)，約束變量的維數(shù)往往大大高于操作變量維數(shù)和設(shè)計變量維數(shù)。各個約束變量距離約束邊界的程度確定出約束變量的優(yōu)先級。如果系統(tǒng)約束變量穩(wěn)態(tài)值已知，結(jié)合約束范圍，就可以得到系統(tǒng)關(guān)于約束變量的優(yōu)先級向量為

式中，η為不確定參數(shù)Δp的變化范圍，Δc為在不確定參數(shù)Δp影響下約束變量變化量，γi為約束變量在Δp影響下與臨近約束邊界的距離歸一化后的數(shù)值。

根據(jù)γi從大到小的順序確定約束變量的優(yōu)先級，當(dāng)γi≤0，約束未被破壞，γi數(shù)值越大，表明約束變量越接近約束限制；當(dāng)γi＞0，約束被破壞。γi＞0對應(yīng)的約束變量被確定為需要調(diào)整的約束變量，需要通過操作變量和設(shè)計變量的調(diào)節(jié)將其調(diào)整到約束范圍以內(nèi)。

2.2 操作變量優(yōu)先級

在確定需要對其調(diào)整的約束變量以后，優(yōu)先采用操作變量對其進行調(diào)整。需要調(diào)整的約束變量與所有的操作變量組成一個非方系統(tǒng)，按照第1.3節(jié)的方法計算操作變量對約束變量的NREGA，記作Λcu。

Λcu每行中越接近于1 的元素，在該行所對應(yīng)的約束變量需要進行調(diào)整時，其對應(yīng)位置的操作變量越優(yōu)先進行調(diào)節(jié)。

在操作變量對約束變量進行調(diào)整時，應(yīng)當(dāng)盡量避免對經(jīng)濟指標產(chǎn)生影響，使經(jīng)濟指標與最優(yōu)設(shè)計的偏差越小越好，對經(jīng)濟指標影響更小的操作變量將獲得更高的操作優(yōu)先級。因此，在確定操作變量優(yōu)先級時還應(yīng)該按照第1.2 節(jié)的方法計算操作變量對經(jīng)濟指標的NRGA，記作ΛFu。

操作變量對約束變量的調(diào)整使約束變量遠離約束邊界，同時也會使操作點偏離最優(yōu)設(shè)計點，造成經(jīng)濟指標下降。為了讓操作變量對約束變量的調(diào)節(jié)靈敏，同時減少對經(jīng)濟指標的影響，將操作變量對約束變量的NREGA 每行元素減掉操作變量對經(jīng)濟指標的NRGA的對應(yīng)元素，得到綜合REGA

2.3 設(shè)計變量優(yōu)先級

當(dāng)操作變量到達自身約束上下限，約束變量仍無法被調(diào)整到約束邊界以內(nèi)時，需要進一步調(diào)節(jié)設(shè)計變量，才能將約束變量調(diào)整到約束邊界以內(nèi)。選取設(shè)計變量的優(yōu)先級排序與選取操作變量的優(yōu)先級排序是類似的。設(shè)計變量對約束變量和經(jīng)濟指標的影響均為穩(wěn)態(tài)模型，可以通過NRGA 確定不同的設(shè)計變量對約束變量和經(jīng)濟指標的靈敏度關(guān)系。

在設(shè)計變量進行調(diào)節(jié)時，同樣會對約束變量和經(jīng)濟指標同時產(chǎn)生影響，增大設(shè)計裕量，能夠使約束變量返回約束邊界內(nèi)，同時也會增大設(shè)備投資和操作費用，造成經(jīng)濟指標下降。理想的設(shè)計變量應(yīng)該對經(jīng)濟指標不敏感，而對約束變量有足夠的靈敏度，因此，將設(shè)計變量對約束變量的NRGA每行減掉設(shè)計變量對經(jīng)濟指標的NRGA向量，得到綜合RGA

2.4 操作變量與設(shè)計變量的協(xié)調(diào)優(yōu)化

在不確定參數(shù)發(fā)生波動引起約束變量超出約束邊界時，應(yīng)確定合適的操作變量的調(diào)節(jié)方案或者增加設(shè)計裕量使約束變量返回約束區(qū)間內(nèi)，并應(yīng)盡可能對經(jīng)濟指標產(chǎn)生最小的影響，保證增加裕量后的設(shè)計方案與不確定參數(shù)未發(fā)生波動的最優(yōu)設(shè)計方案偏離最小。

首先，根據(jù)第2.1 節(jié)確定約束變量優(yōu)先級，根據(jù)約束優(yōu)先級向量Γ將約束變量排序，依次選擇γi＞0 的約束變量組成違反約束的約束變量集合ce，違反約束的約束變量需要通過操作變量調(diào)整到約束范圍以內(nèi)，其調(diào)整量為Δce=[Δce,i]。

對于約束變量的調(diào)整量集合Δce，首先應(yīng)動用操作變量對其進行調(diào)整，根據(jù)第2.2 節(jié)計算操作變量對約束變量和經(jīng)濟指標的綜合REGA，違反約束的約束變量選擇相應(yīng)的操作變量組成需要調(diào)節(jié)的操作變量集合ue。但是操作變量的變化范圍也是受到限制的，當(dāng)操作變量的調(diào)節(jié)量到達其上下限后就不能再發(fā)生變化，操作變量調(diào)節(jié)量計算如下

當(dāng)操作變量到達其上下限，約束變量仍然違反約束，此時約束變量的值為

對此時的約束變量c′根據(jù)第2.1 節(jié)計算約束優(yōu)先級向量Γ，依次選擇γi＞0 的約束變量組成違反約束的約束變量集合c′e，c′e的調(diào)整量為Δc′e=[Δc′e,i]。

對于Δc′e，需要對設(shè)計變量增加裕量繼續(xù)對約束變量進行調(diào)整，直到約束變量返回到約束范圍以內(nèi)。根據(jù)第2.3 節(jié)計算設(shè)計變量對約束變量和經(jīng)濟指標的綜合RGA，對違反約束的約束變量選擇相應(yīng)的設(shè)計變量組成需要增加裕量的設(shè)計變量集合de，設(shè)計變量需要增加的裕量計算如下

通過以上步驟，針對不確定性對約束的影響，選擇對經(jīng)濟指標影響小、被破壞的約束影響大的操作變量和設(shè)計變量，對操作變量進行合理調(diào)節(jié)，對設(shè)計變量增加裕量，不需要進行優(yōu)化，也可以獲得合理的化工過程設(shè)計。以上步驟可以歸結(jié)為流程圖如圖1所示。

圖1 化工過程協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計流程Fig.1 Flow chart of the coordinated optimal margin design method

3 實例分析

以串聯(lián)反應(yīng)釜為例對本文基于相對增益和優(yōu)先級的協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計方法進行了驗證，并與求解經(jīng)濟最優(yōu)化問題的裕量設(shè)計方法進行了對比。

串聯(lián)連續(xù)反應(yīng)釜由兩個液相全返混床反應(yīng)器(continuous stirred tank reactor, CSTR)和一個中間混合槽構(gòu)成，如圖2 所示。液相物料1 進入反應(yīng)釜1，而液相物料2 進入一個混合槽與反應(yīng)釜1 的出料混合進入反應(yīng)釜2。液相物料在攪拌器的攪拌作用下發(fā)生一階不可逆放熱反應(yīng)。由于該反應(yīng)為放熱反應(yīng)，因此需要在反應(yīng)釜設(shè)置循環(huán)冷卻水取走熱量，保證反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性。

圖2 串聯(lián)CSTR工藝流程Fig.2 Process flow diagram of 2 CSTR in series

在建模時需要作如下簡化假定：

(1) 混合物的密度是恒定的，與溫度和濃度無關(guān)；

(2)液相物料的比熱容也是常數(shù)，與其溫度和組成無關(guān)；

(3)兩個CSTR 的液體體積不是恒定的，與入口流量有關(guān)。

根據(jù)化工生產(chǎn)方面的知識，通過物料衡算和熱量衡算，引入反應(yīng)速率方程，通過機理分析建立串聯(lián)液相連續(xù)反應(yīng)釡的動態(tài)數(shù)學(xué)模型。

反應(yīng)速率按照一階反應(yīng)建模，得

系統(tǒng)的輸出變量為兩個CSTR 的物料濃度Ci=1,2，溫度Ti=1,2和液體體積Vi=1,2。操作變量為第一個CSTR 的進料流量Qf1，中間混合罐的進料流量Qf2，以及兩個CSTR 的冷卻劑流量Qcw1和Qcw2。設(shè)計變量為兩個CSTR反應(yīng)器體積Vd1和Vd2。

過程系統(tǒng)需要滿足的約束如下：

(1)為了避免失控和生成不希望的副產(chǎn)品,限制兩個反應(yīng)器的溫度

以上約束轉(zhuǎn)化為約束變量c和約束邊界cb的形式

式中，F(xiàn)為經(jīng)濟效益[31]。

利用gPROMS 軟件求解該最優(yōu)化問題，得到最優(yōu)經(jīng)濟效益F為1390。設(shè)計變量最優(yōu)值為

根據(jù)γi＞0選定c2和c5為需要調(diào)整的約束變量，約束變量的調(diào)整量為

應(yīng)確定合適的操作變量的調(diào)節(jié)方案Δu或增加設(shè)計裕量Δd使約束不被破壞。期望Δc2、Δc5向負方向移動距離應(yīng)至少為2，以抵消不確定參數(shù)p的不利影響。優(yōu)先調(diào)節(jié)操作變量u來達到上述目的，當(dāng)u到達其上限或下限時，則應(yīng)預(yù)先增加設(shè)計裕量Δd來補齊，最終使約束變量回到約束范圍以內(nèi)。

操作變量對經(jīng)濟指標的NRGA為

結(jié)合調(diào)節(jié)靈敏度和經(jīng)濟指標的操作變量綜合NREGA為

很明顯如此操作，Qf1和Qf2超出了約束限制，得到的Δue是不符合要求的，實際可以投入的Δue應(yīng)卡住操作變量的約束下限，即

操作變量調(diào)節(jié)到達約束邊界后，約束變量c2和c5的值為1.469 和1.239，仍大于0，超出約束范圍。此時已經(jīng)沒有合適的操作變量來調(diào)節(jié)系統(tǒng)約束變量到達約束以內(nèi)，所以需要增加設(shè)計裕量Δd進一步調(diào)節(jié)約束變量。約束變量c2和c5的調(diào)整量為

結(jié)合調(diào)節(jié)靈敏度和經(jīng)濟指標的設(shè)計變量綜合NRGA為

最終通過施加操作變量的調(diào)節(jié)方案和增加設(shè)計裕量，系統(tǒng)到達了新的穩(wěn)態(tài)設(shè)計點，該設(shè)計點可以抗衡不確定參數(shù)變化的影響。在新的穩(wěn)態(tài)設(shè)計點，其經(jīng)濟性能有所損失，系統(tǒng)的經(jīng)濟指標F為1215。但是這樣的設(shè)計卻保證了約束變量在約束范圍以內(nèi)，可以克服進料量波動的影響，保證裝置安全運行。

如果利用gPROMS 軟件求解最優(yōu)化問題，所確立的最優(yōu)化問題包含29 個模型方程，6 個優(yōu)化變量（其中4個操作變量，2個設(shè)計變量）。考慮進料量波動的條件下，通過調(diào)節(jié)操作變量和增加設(shè)計裕量滿足過程約束，經(jīng)濟指標F為1239。最優(yōu)化方法和本文方法的求解結(jié)果及性能的對比如表1所示。

表1 求解方法性能及結(jié)果對比Table 1 Comparison of algorithm performance and results between two methods

本文提出的方法不需要求解優(yōu)化問題，所需消耗的計算機時間忽略不計，與最優(yōu)化結(jié)果相比經(jīng)濟指標僅下降了1.96%，其他數(shù)值結(jié)果也基本接近，因此本文提出的基于相對增益和優(yōu)先級的協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計方法直觀明了，操作性更好。本實例中的串聯(lián)CSTR 模型規(guī)模僅為29 個方程和6 個優(yōu)化變量，采用gPROMS 軟件求解最優(yōu)化問題所需求解時間為4.0 s。現(xiàn)實化工過程的規(guī)模要比串聯(lián)CSTR 系統(tǒng)規(guī)模大得多，對于大型化工過程求解最優(yōu)化問題，其時間成本將非常龐大，本文所提出方法則更為輕量便捷。

4 結(jié) 論

本文提出了一種不需要求解最優(yōu)化問題的協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計方法，該方法以一定的經(jīng)濟性能犧牲為代價，以NRGA 和NREGA 作為主要數(shù)學(xué)工具，描述化工過程設(shè)計的自變量和因變量的靈敏度關(guān)系。根據(jù)經(jīng)濟指標和約束變量的相對增益對操作變量和設(shè)計變量劃分優(yōu)先級，按照優(yōu)先級依次調(diào)整各操作變量和設(shè)計變量，可以協(xié)調(diào)地給定合適的操作點方案和設(shè)計裕量。本文以串聯(lián)反應(yīng)釜為例論證了該設(shè)計方法的可行性和便捷性，相對于求解最優(yōu)化問題的方法，直觀明了，操作性好，計算簡單，無須求解最優(yōu)化問題，經(jīng)濟性能也犧牲不大。

最后，需要指出本文所提方法也存在一定的局限性。本文所計算出的靈敏度都是基于穩(wěn)態(tài)最優(yōu)點處的系統(tǒng)標稱值而生成的。靈敏度模型本質(zhì)上是線性的，因此當(dāng)不確定參數(shù)p變化范圍過大，導(dǎo)致系統(tǒng)偏離標稱工作點過大時，求出的靈敏度模型就會存在過大的誤差，計算出的Δu和Δd將不夠準確。在這種情況下，可考慮采用“分片線性化”的方法。首先限定p的變化量，將約束變量需調(diào)整量減至一個較小的程度，計算相應(yīng)的操作變量調(diào)整量和設(shè)計變量裕量，將其應(yīng)用到設(shè)計對象上，重新確立一個新的穩(wěn)態(tài)點；然后逐步增加p的變化量，更新約束變量需調(diào)整量，計算增加的操作變量調(diào)整量和設(shè)計變量裕量，重復(fù)此過程，逐漸得到符合p的變化范圍要求的設(shè)計結(jié)果。此改進方法實質(zhì)上是用多個分段線性化模型對非線性模型進行擬合，用擬合后的分段線性化模型進行本文的化工過程協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計。

符 號 說 明

A——傳熱面積，m2

C——反應(yīng)釜原料A的濃度，mol·m-3

Cf——進料中原料A的濃度，mol·m-3

Cm——混合槽原料A的濃度，mol·m-3

cp——反應(yīng)物比定壓熱容，J·kg-1·K-1

cpc——冷卻水比定壓熱容，J·m-3·K-1

E——化學(xué)反應(yīng)活化能，J·mol-1

F——經(jīng)濟效益

ΔH——反應(yīng)熱，J·mol-1

K——反應(yīng)速率，mol·s-1

k——反應(yīng)釜出口閥門常數(shù)，m3/2·s-1

k0——Arrhenius關(guān)系式指前因子，s-1

Q——反應(yīng)釜出口流量，m3·s-1

Qcw——冷卻水流量，m3·s-1

Qf——入口流量，m3·s-1

Qm——混合槽出口流量，m3·s-1

qcool——單位時間冷卻水吸收的熱量，J·s-1

R——理想氣體常數(shù)，J·mol-1·K-1

T——反應(yīng)釜物料溫度，K

Tc——冷卻水溫度，K

Tf——進料溫度，K

Tm——混合槽物料溫度，K

U——總傳熱系數(shù)，J·m-2·K-1·s-1

V——反應(yīng)釜物料體積，m3

ρ——反應(yīng)物密度，kg·m-3

ρc——冷卻水密度，kg·m-3

下角標

in——冷卻水進料

out——冷卻水出料

1——第1個CSTR

2——第2個CSTR