追根溯源探尋函數背景下圖形面積類題型解題策略

辛文梁

【摘要】函數背景下綜合性強的圖形面積問題一直是初中學生所面對的比較棘手的問題，只有抓住這類問題的根本即三角形的面積問題，運用“轉化”的解題策略，遵循“橫平豎直”的轉化原則，方能撥云見日，快速解題。因此，教學時要加強專題教學，滲透數學思想與方法，提升解決問題的能力，培養學生高階思維和數學核心素養。

【關鍵詞】圖形面積;解題策略;橫平豎直;割補法

幾何圖形的面積問題對于初中生來說是一類十分熟悉的題型，雖然人教版教材對幾何圖形面積沒有設置專門章節進行系統地講解和歸納，但從三角形面積公式開始，幾何圖形的面積在不同章節中先后出現，由三角形到四邊形再到多邊形，由規則的幾何圖形到不規則的，由平面圖形到立體圖形。圖形面積解題思想已在教學中逐步滲透和拓展，學生已具備一定的圖形面積類問題的解題策略意識，解決一般的幾何圖形面積還是比較得心應手的。然而，平面幾何圖形與平面直角坐標系、函數等多知識綜合時，熟悉的面積問題又開始變得陌生了，學生不知該如何下手。尤其是進入初三中考復習階段，平面直角坐標系中幾何圖形面積問題更加凸顯其綜合性強的特點，比如，拋物線上動點形成的圖形面積最值問題，甚至反比例函數或一次函數中的面積問題難度也不小，給學生帶來不同程度的困擾，是什么原因造成這種現象的呢？其實最關鍵的原因在于沒有抓住這類面積問題的解題根本，再加上缺乏對面積類問題的系統性學習、分類整理和歸因研究，學生缺乏綜合性較強面積類問題的解題方法、思路和策略。

一、尋“根”之旅

我們知道數學知識如數學概念、定理和公式大都是有背景的，有來龍去脈的，有其形成過程的，這些我們稱之為數學知識的“生長點”或者說是“根”。我們不妨回顧小學時三角形面積、矩形（長方形）、正方形、平行四邊形等規則圖形面積公式的探究思路，乃至初中菱形、多邊形甚至一些不規則圖形面積的學習過程，不難發現其實面積類問題的根本就在三角形面積公式的靈活運用，多邊形、不規則圖形都可以通過轉化為三角形的面積求解，進而產生“割補法”“鉛錘法”等各種解題方法。正是由于面積問題的學習零散在各個章節之中，缺乏系統性學習，學生未能及時梳理、歸納發現這個“根”，必然導致解綜合性較強面積問題時出現思路短路，無從下手的情況。

例1：如圖1，P是反比例函數y=k/x在第二象限圖像上的一點，由P向y軸引垂線，垂足為D，連接OP，△PDO面積為3，則k=_______。

解題方法：其實將拋物線去掉后就是變式1的斜三角形問題，方法同樣可以選擇上面的七種方法中的一種來求解。增加二次函數背景后，主要難度來源于轉化后三角形的底或高需要用動點P的橫、縱坐標來表示，也就是說需要利用參數設出點P的坐標，再用點P的坐標去表示轉化后的三角形的底和高，最后表示出△PBC的面積和面積的最值及P點坐標（如圖10）。

總結：通過對上面七種方法的觀察、對比、分析，我們可以再次明確平面直角坐標系中平面幾何圖形的面積解題思路為轉化成三角形的面積，但轉化的三角形不是毫無目的地轉化，不是隨意割補成幾個三角形，而是要遵循一定的原則和特點，也就是三角形的底和高要滿足“橫平豎直”的特點，目的是方便對底和高求解，“橫平豎直”這個特點就是割補法、鉛錘法等求面積的“法”，只要遵循這個“法”，我們不但能用多種方法求解，還能從中快速選擇最合適、最簡便的方法實現高效解題的目的，發展學生高階思維能力和數學核心素養。

總結：掌握圖形面積解法的根本思想和一定策略、方法后，我們就要對方法進行篩選，實現快速、準確地實現求解的目的，也就是要對各種方法“擇優錄取”。要做到快速選擇合適的方法，需要具備一定的數學素養，對學生知識靈活運用的能力要求較高。因此，在教師平時的教學中要善于歸納總結，多進行專題教學，逐步滲透數學思想、數學方法，提升學生能力，發展學生創新意識和高階思維能力。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中強調“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式，學生學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。”在圖形面積的教學中只有把探究的任務布置給學生，讓學生帶著問題去思考，教師適時總結點撥，歸納總結，讓學生體會圖形面積解法中的轉化、數學結合等數學思想，吃透求解面積時要抓住三角形面積公式這一根本和底與高要滿足“橫平豎直”的轉化原則，便可培養學生觸類旁通、舉一反三的能力。

[本文系廣州市增城區教育科學規劃（2021年度）課題“新中考背景下的初中生數學審題能力培養策略研究”（課題編號：zc2021002）的研究成果]

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京師范大學出版社，2012.

[2]朱千秋.用“割補法”解決圖形面積與坐標問題[J].初中生世界，2019（2）：73-74.

[3]劉鈺.基于數學知識“生長點”視域下的教學實踐與思考[J].中小學數學（初中版），2020（12）：7-9.

責任編輯? 羅良英