關注問題的解決，聚焦策略和數學思想

張高淞

[摘? 要] 每一道經精心策劃而成的數學題，都包含著能拓寬教師和學生眼界的數學思想。但一些教師常忽視了習題教學的本質，讓學生失去了在相應階段本可知曉的解題策略和數學思想。如今，隨著教師在素質教育方面的意識提高，現今的教學重心逐步傾向重視課本甚至是課本例題之外的練習題，形成了新的教學模式：從課前的關注題材、挖掘策略，到課中的把握題材和展示策略與數學思想，再到課后的反思題材、舉一反三。總的來說，教師要學會立足題材、把握題材，以及鉆研題材，才能聚焦題材中的解題策略和數學思想，提升學生解題素養。

[關鍵詞] 題材;策略;模型思想

隨著開發與研究新教材的深入，教師的關注點不再僅是課本上的教學例題，還漸漸偏向于教材上的練習題。練習題常常隱藏著教學例題所缺失的知識點、數學思想和解決問題的策略，它可能會拓展學生的認知，發展他們的思維以及拓寬思考的角度，促使學生和教師更深地體會數學來源于生活這一本質。筆者接下來將借“百僧百饃”一題闡述如何聚焦練習題中的數學思想和解題策略。

一、設計準備題，明確整體法概念

整體法這一解題策略對學生來說，應該是既熟悉又陌生的。熟悉，是因為他們可能無意識間曾用過整體法策略解決了一些問題;陌生，是因為他們未曾對這種解題策略有過明確的認知與記憶。為鞏固這方面的數學思想與解題策略，筆者設計了一道用整體法策略解決的準備題。

【教學片段1】

出示：已知籠子里的雞和兔的數量相同，以及共有144條腿，請問雞和兔各有幾只？

展示學生的解題過程：144÷（4+2）=24（只）

師：誰能說說“4+2”表示什么意思？

生1：“4”表示1只兔子的腳，“2”表示1只雞的腳，合起來就是1只兔子和1只雞總共的腳。

生2：因為雞和兔的數量相同，可以把1只雞和1只兔看成1組，過程里面括號里的“只”，其實也可以看成“組”。

師：誰能理解他表達的意思？

生3：他的意思是用腿的總數量，去除以每1組的腿的數量，就能得出組的數量。

師：計算的結果為什么就是雞的只數和兔的只數？

生4：1組里有1只雞和1只兔，一共有24組，計算結果當然就表示有24只雞和24只兔。

師：對，這種解題方法其實就是所謂的“整體法”。

二、深思策略，感知模型思想

一道題的解題思路可能只有一種，也可能有多種，但它對應的策略基本是固定的。而模型思想不僅僅存在于一題之中，學生只需發現與琢磨，就能在不同的題型中找到。因此， 在分析與解決問題時，教師要教學生策略的同時更多地灌輸數學思想。

1. 沿用策略，緊抓模型思想

根據“助長性遷移”的教學思想，“百僧百饃”問題的解題策略會沿用假設法或列表法，緊緊抓住“把誰看作兔子，把誰看作雞，把誰看作頭，把誰看作腳”的模型思想，直至成功解答此類問題。

【教學片段2】

出示：100個和尚吃100個饅頭，大和尚一人吃3個，小和尚3人吃一個。求大、小和尚各多少人？

展示學生獨立思考后的成果（如圖1）。

師：他以雞兔同籠為模型，很好地建立了此題與“雞兔同籠”題的聯系。

師：為什么你不用假設法去解決此題而選擇了列表法？

生1：我不知道一個大和尚比一個小和尚多吃了幾個饅頭，列表法解題對我來說比較容易。

師：那么誰選擇了用假設法解決此題，能說說你是怎么思考的？

根據學生的回答做相應的板書：

假設全是大和尚

饅頭：100×3=300（個），差饅頭：300-100=200（個），多饅頭：3-1=2（個）。

生2：不對，3個小和尚吃一個，不是一個小和尚吃一個，所以不是3-1=2（個）。

師：那這里應該怎么列式呢？（生2直搖頭）

生3：3人吃一個饅頭，一人就吃1/3個饅頭，把一個饅頭平均分成3份，每人吃1/3個。（學生鼓掌贊成）

板書：3-1/3=。

師：這位同學說得太棒了。只是這個算式的計算我們還沒有學過，所以這個假設法就不能用了。

師：生1就用了列表法解決此題，哪位同學的列表法比他更完整？

展示學生作品（如圖2）。

師：哪位同學能看懂他列表法的過程？

生4：他是從“100個大和尚、0個小和尚”開始羅列的，有序地列出所有的可能性，直到出現“25個大和尚、75個小和尚”這一數據為止。

如果用假設法去解題，那么又會遭遇未學的知識點，這會讓問題變得更為復雜。如果直接用列表法解答此題，那么無疑只會事倍功半，讓解題效率低下。為簡便地解決此題，教師應該引導學生打破原有的思路，從不同的角度去思考策略。

2. 新推策略，不忘模型思想

學習數學的主要目的就是為了激發善于思考的潛能。學生要多加思考尋找更適合的解題策略，聯系準備題中的整體法策略，嘗試捆綁個體，形成固有的策略模式。同時教師也應該結合雞兔同籠的模型思想，提醒學生只有不忘模型思想才能更深地理解整體法策略。

【教學片段3】

結合上題的整體法策略，在獨立思考后，同桌間互相交流自己的想法。

匯報：

生1：100÷（3+1）=25，那么小和尚就是25×3=75（人），大和尚就是25人。

師：你是怎么想出這個算式的？

生1：把3個小和尚吃一個饅頭和3個大和尚吃3個饅頭看成整體，就是4個和尚吃4個饅頭，100個饅頭有25組和尚吃。

師：誰能再次說說他剛才的想法？

結合學生的說辭畫圖（如圖3）。

師：這里的25表示什么意思？小和尚為什么是25×3=75（人）？

生2：25表示有25組這樣的和尚，一組里面有3個小和尚，所以小和尚有75人。

板書：100÷（3+1）=25（組），大和尚：25×1=25（人），小和尚：25×3=75（人）。

師：他的策略就是上題中使用過的整體法策略。誰能把這兩題聯系起來？

生3：把“一個大和尚吃3個饅頭”看成兔，“3個小和尚吃一個饅頭”看成雞，合起來就是4個和尚吃4個饅頭，也就是4個頭4只腳，其中3個頭是小和尚，1個頭是大和尚。

師：你的說法太棒了！我們可以把百僧百饃問題歸結成雞兔問題，再用類似的方法解題。

在教師的引導下，學生想出把“一個大和尚吃3個饅頭”和“3個小和尚吃一個饅頭”看成一個整體解決了百僧百饃問題，找到了有效的整體法策略。學生正遷移套用模型思想，把百僧百饃問題和同雞兔同籠問題歸成一起，真正讓模型思想深入學生的心理。

3. 鞏固策略，加深模型思想

策略的鞏固需要學生做一些類似的題型，在做題過程中不斷內化整體法策略，學生能形成固定的類型、固有的策略。為了讓每位學生都具有模型思想的意識，加深自身的印象，教師要強調讓他們在寫的過程中體現出模型思想，全員體會模型思想的便利之處。

【教學片段4】

出示：四年級師生共80人去植樹，老師每人種3棵，學生每3個人種一棵，正好種了80棵樹。你知道老師和學生各有多少人嗎？

學生作品（如圖4、圖5）。

師：誰能看明白兩位同學的解題過程？

生1：他們的畫圖讓我更加明白把“4人種4棵樹”看成一個整體，里面有3個學生和一位老師。

生2：一位同學把“老師每人種3棵”看成兔，“學生每3個人種一棵”看成雞，然后把它們看成一個整體，就是4人種4棵樹。另一位同學把“老師每人種3棵”看成“大和尚”，“學生每3個人種一棵”看成“小和尚”。

師：你覺得哪位同學的思路更適合這題？

生3：第一位同學的思路，他使我馬上想到了準備題的整體法策略。

生4：我覺得是第二位同學的思路，因為我們已經知道用整體法策略可以解決百僧百饃問題，而這題與百層百饃問題更接近。

生5：我也同意生4，百層百饃問題就固定用整體法解決，沒必要與雞兔混淆。還應該增加把“80人”看成“80個和尚”，“80棵樹”看成“80個饅頭”。

顯而易見，同學們欣賞他倆畫出圖形幫助自己更好地鞏固整體法策略，還在對比中悟出了模型思想的適用性，把“老師每人種3棵”看成大和尚，把“學生每3個人種一棵”看成小和尚，把“80人”看成80個和尚，把“80棵樹”看成80個饅頭，這樣就能理解80÷（3+1）=20（組）的意思。這兩位學生的榜樣作用是巨大的，其他同學會自今后的練習中模仿他倆的書寫，加深了模型思想。

三、總結策略，升華模型思想

剖析題目條件是總結策略的前提。學生要認知題目的本質，明白整體法策略的適用范圍，體會策略多樣化的同時清楚百僧百饃問題策略的唯一性，真正升華模型思想的價值。

【教學片段5】

師：觀察這兩題的條件，什么情況下使用整體法策略更適合？

獨立思考，小組交流。

匯報：

生1：人數和物體數相同，而且人和物體組成一個整體時數量也相同。

生2：總物體數能夠除以一組的物體數。

生3：只有滿足所有條件，才能用整體法策略解決此類模型的題目。

師：生3總結得十分恰當。（全班鼓掌）

附學生的課堂作業情況（如圖6、圖7）。

整體法策略解決此模型題目的條件是苛刻的，一旦變換其中的一個條件，它就會失效。換個角度說，這種題材不存在變式，只存在相同的模型。但如果學生摸清了條件，掌握策略就能應對自如。

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