以數(shù)解形，深度幾何概念教學

胡海光

[摘? 要] 以數(shù)解形是小學階段認識圖形的重要策略。因此在教學中，教師要根據(jù)學生、教材實際，在適當?shù)臅r機，通過提供格子圖等含有“數(shù)”的材料，引導學生深度學習，把握概念的本質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 以數(shù)解形;格子圖;幾何概念;深度學習

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！彼貏e強調(diào)了數(shù)形結(jié)合的作用與重要性。在平常的數(shù)學教學中，我們更關(guān)注“以形助數(shù)”，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，用來理解或解決問題;而對于“以數(shù)解形”，借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性則重視不夠。顯然，在幾何概念教學中，數(shù)量的介入對于學生獲得清晰、精細、準確的認知顯得尤為重要。能否從這一層面做一些嘗試，借助數(shù)量，尤其是格子圖，讓學生獲得對幾何概念清晰、精細、準確的認知？結(jié)合人教版四上“平行四邊形的認識”這一課，筆者作了一些思考與研究。

一、對前人實踐的思考

（一）教學設計1

1. 認識平行四邊形的特征

（1）從生活中抽象出圖形。

（2）在方格紙上畫出圖形。

畫一畫：你還能想象出平行四邊形的樣子嗎？在方格紙上畫一個平行四邊形。（教師收集學生作品，排序做好展示準備）

看一看：展示的作品是不是平行四邊形？如果不是，請說出理由。

（3）通過對比找異同。

比一比：請觀察畫在方格紙上的平行四邊形，它們長得一樣嗎？不同點在哪兒？相同點在哪兒？

預設：

不同點：大小、形狀、方向等。（非圖形特征）

相同點：對邊平行、對邊相等、對角相等。（圖形特征）

（4）在操作中驗證特征。

用畫在方格紙上的平行四邊形或平行四邊形紙片，想辦法驗證剛才發(fā)現(xiàn)的一個或多個相同點。先獨立操作，再組內(nèi)交流，最后全班分享。

2. 概括平行四邊形的定義

對于平行四邊形，學生并不陌生，早在一年級下冊，學生就已經(jīng)初步認識了，在生活中與學習中，也多有接觸。但對于平行四邊形，學生還是停留在整體的感知上，對于“邊”與“角”的特征雖有一些感覺，但并未有很深刻的感悟。顯而易見，只通過觀察，是很難讓學生對平行四邊形的特征有深刻感悟的。本設計讓學生通過畫，把心中的平行四邊形展示出來;再通過比較、驗證，使學生對平行四邊形的特征有了較深刻的感悟，從而積累了經(jīng)驗。毋庸置疑，在本設計中，格子圖作用居功至偉。有了格子圖，才能讓學生較順利地畫出他們心中的平行四邊形;有了格子圖，才有不同平行四邊形之間的比較，學生能夠聚焦到平行四邊形的本質(zhì)特征上?？梢赃@樣說，正是借助格子圖，才成就了本節(jié)課;借助格子圖中的“格子數(shù)”，才能讓學生對形的本質(zhì)的認識有了思維的抓手。但細究之，還有一些地方值得商榷：對于平行四邊形的認識，學生本來就有“整體性”，再讓學生畫一個完整的平行四邊形是否有助于學生從“整體感知”走向“特征分析”？面面俱到式的觀察、驗證是否有利于學生對于特征的深度學習？

（二）教學設計2

1. 找圖形：呈現(xiàn)課本情境圖——電動移門、樓梯扶手、木柵欄

讓學生找一找、指一指圖片中的平行四邊形，再說一說在生活中還有哪些地方能見到平行四邊形，抽象出平行四邊形。

2. 同桌合作，用小棒圍平行四邊形

提供5根不同長度的小棒，6厘米、6厘米、5厘米、4厘米、4厘米。

思考：（1）你準備選用哪幾根小棒來圍平行四邊形？（2）想一想，可以圍成幾個平行四邊形？

3. 匯報交流

（1）展示學生不同的作品（圖1）。

（2）觀察，你們都用了哪幾根小棒來圍平行四邊形？在圍的時候要注意些什么？（對邊要選同樣長的小棒，對邊的小棒要擺平行）

（3）我們怎么來驗證平行四邊形對邊平行呢？出示圖2。

生驗證反饋：左右對邊之間的距離都是3格。而上下對邊之間的距離都是兩個小正方形的對角線的長度，說明兩組對邊分別平行（平行線之間的距離處處相等）。師借助課件動畫演示（圖3）。

（4）思考：你認為平行四邊形有什么特征？

4. 根據(jù)學生的回答，概括平行四邊形的特征，并歸納平行四邊形的概念

新課標指出：學生是數(shù)學學習的主人，有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式。通過學生自主地觀察思考、動手操作等體驗式學習，有助于解決數(shù)學概念的抽象性與兒童思維的形象性之間的矛盾，強化概念學習。本例中，用標有數(shù)量的小棒擺平行四邊形，讓學生充分利用原有經(jīng)驗，通過自主探索認識平行四邊形邊的特征。在這樣的活動過程中，小棒中的“數(shù)量”以及原有表象綜合在一起，共同促進學生對平行四邊形的認識，使學生的活動真正起到了發(fā)現(xiàn)、探究、證明的作用。顯然，擺的活動更傾向于“對邊相等”這一特點的體驗，對于“對邊平行”支持力度明顯不足。所以本例中，又提供格子圖背景的標準平行四邊形，讓學生再次觀察驗證，用“數(shù)”來幫助學生體驗平行四邊形對邊相等這一特征。不難發(fā)現(xiàn)，這樣的設計，對于平行四邊形的“對邊平行”的體驗是不夠深刻的，而“對邊平行”不僅是認識平行四邊形的特征的需要，更是與后繼課梯形的特征直接相關(guān)。

那么如何有效地利用格子圖，以“數(shù)”解“形”，讓學生自主地深度探究平行四邊形的特征呢？

二、我們的實踐與思考

（一）借“格”思“形”——從直覺認識走向具體分析

教學片段1：

1.由平行四邊形的生活例子引入，抽象出平行四邊形。

2. 出示格子圖（圖4）。

師：老師已在格子圖中畫了兩條直線（圖4），你能否再補畫兩條直線，創(chuàng)造出你心中的平行四邊形？

生：能。

師：請你先想象一下，該補畫怎樣的兩條直線呢？

師：大家已經(jīng)有想法了，那么動手畫一畫吧。

范希爾認為，兒童一開始是通過整體輪廓辨認圖形，能畫圖或模仿畫出圖形，初步描述圖形，但無法通過圖形的特征或要素名稱來分析圖形，也無法對圖形做概括地論述。學生對平行四邊形的原有認識也是這樣，具有整體性，能從整體外觀上判斷一個圖形“像”還是“不像”平行四邊形。對平行四邊形中關(guān)于邊的特征“對邊平行、對邊相等”這些特征，學生雖已有很多經(jīng)驗，但并未自動地作為判斷平行四邊形的理由與思考的方向。教師出示格子圖中的兩條已有直線，讓學生補畫兩條直線來創(chuàng)造平行四邊形，迫使學生調(diào)動已有的對平行四邊形的表象與經(jīng)驗，觀察、思考格子圖中的兩條直線的特征，使平行四邊形邊的特征納入學生主動探索的范圍，使學生對平行四邊形的認知，由模糊的直覺逐步走向?qū)μ卣鞯姆治觥?/p>

（二）用“格”辨“形”——讓認知從朦朧走向數(shù)學化

教學片段2：

1. （學生補畫后）你都補畫了幾個平行四邊形？你是怎么想的？

2. 匯報展示

①展示作品（圖5），這是你們心中的平行四邊形嗎？請你給大家介紹一下，你補畫了怎樣的一組直線創(chuàng)造出了平行四邊形？

展示作品（圖6），這也是你們心中的平行四邊形嗎？

師：同學們，這兩位同學的方法有什么相同的地方嗎？（前面三個都補畫了一組平行線，第4個補畫了一組相交線）

師：你們怎么都想到前面3個補畫一組平行線，第4個補畫一組相交線來創(chuàng)造平行四邊形呢？（前面三個已經(jīng)有一組平行線，所以再補畫一組平行線即可;第4個已經(jīng)有一組相交線，所以再補畫一組相交線就能創(chuàng)造出平行四邊形了）

②展示作品（圖7），這也是你們心目中的平行四邊形嗎？（第4個不是，前面三個是）

師：第4個也是補畫了一組相交的直線，為什么你們認為它就不是平行四邊形了呢？（有一組對邊不平行）

師：你們怎么知道這兩條線是不平行的呢？（這一頭有5格，那一頭有4格，延長后會相交）

師：通過觀察，你們看出了這兩條直線是不平行的，還有別的方法也能證明它們不平行嗎？（量一量這兩條直線之間的距離）（請學生上臺驗證）

師：大家用不同的方法說明了這兩條直線不平行，那么這個就不是一個平行四邊形了。

師：那這些線要怎樣才能創(chuàng)造出平行四邊形呢？（要平行）

師：你說的平行是指哪兩條直線要平行？（左右平行）那上下呢？（也要平行）

③師：你自己畫的圖形符合你們對平行四邊形的要求嗎？請大家選擇一個自己畫的平行四邊形驗證。（學生驗證）

師：看來，不管原來有一組平行線還是一組相交線，要創(chuàng)造平行四邊形，都必須要有兩組平行線，兩組平行線相交就能創(chuàng)造出平行四邊形。

弗賴登塔爾認為，數(shù)學作為人類的一種活動，它的主要特征就是數(shù)學化，數(shù)學學習的過程就是數(shù)學化的過程。簡單地說，數(shù)學化就是學會用數(shù)學的觀點考察現(xiàn)實，運用數(shù)學的方法解決實際問題。教學片段2中，學生對格子圖中的兩條直線的補畫，實質(zhì)上就是讓學生從數(shù)量上來考察、認識平行四邊形的過程。在補畫過程中，學生既能直觀地整體判斷所創(chuàng)造的圖形，又能從數(shù)量上做分析辨別，從而促使學生不斷地反思、調(diào)整自己對平行四邊形的認知。通過正例與錯例的比較，引導學生再次對畫法進行辨別、反思，將學生的思維引向精致化，幫助他們從整體感知逐步走向數(shù)量分析，進而超越經(jīng)驗，獲得關(guān)于平行四邊形基本特征的明確認識。這樣的過程，由表及里，逐步深入，使學生對平行四邊形的認識從朦朧的感覺走向明朗化、清晰化、數(shù)學化，從而一步一步地觸及概念的內(nèi)核，形成正確的概念認識。

（三）用“數(shù)”驗“形”——讓認識從粗淺走向深入

教學片段3：

1. 師：通過剛才的學習，我們發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩組對邊分別平行的特征，請你們仔細觀察，發(fā)現(xiàn)平行四邊形還有什么特征嗎？（學生思考）

師：把你們的發(fā)現(xiàn)寫在2號學習單上。你們可以在老師提供的平行四邊形上量一量，來證明你們的發(fā)現(xiàn)。

2. 反饋交流

生1：我量出這個平行四邊形的每條邊分別是……所以平行四邊形的對邊是相等的。

生2：量出每個角的度數(shù)，所以對角也是相等的。

師：哪些同學也有這樣的發(fā)現(xiàn)？

3. 師：剛才我們發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的對邊相等、對角相等的特征，是不是所有的平行四邊形都有這樣的特征呢？

老師在幾何畫板上畫出了一個平行四邊形（圖8）。請大家觀察：對邊相等嗎？分別是多少厘米？對角相等嗎？分別是多少度？

變化平行四邊形的形狀后，對邊、對角還會相等嗎？（拖動變化如圖9）

你有什么發(fā)現(xiàn)？（不論怎么變，對邊相等、對角相等。一個角的度數(shù)變了，對角的度數(shù)也跟著變……）

4. 師：看來所有的平行四邊形從“邊”來看，我們發(fā)現(xiàn)了對邊平行也相等的特征，從“角”來看，發(fā)現(xiàn)了對角相等的特征（板書）。

人類認識活動，總是先接觸個別事物，而后推及一般，又從一般推及個別，如此循環(huán)往復，使認識不斷深化。著名的化學家門捷列夫曾說：只有通過從規(guī)律中推出結(jié)果（沒有規(guī)律就不可能也不能期待結(jié)果），并且在經(jīng)驗檢驗中證實這些結(jié)果，才能得出這些規(guī)律。顯然，在平行四邊形特征的認識中，讓學生對平行四邊形進行觀察、發(fā)現(xiàn)、操作、驗證，在此基礎(chǔ)上得出“對邊相等”“對角相等”等結(jié)論僅僅是一個粗淺的認識。要進一步深化認識，還需要提供更豐富的材料，讓學生建立突出事物共性的、清晰的典型表象。幾何畫板中提供的可任意拖動變化的平行四邊形以及隨之變化的邊與角度的數(shù)據(jù)，極大地豐富了學生學習的材料，讓學生在觀察邊、角數(shù)據(jù)的變化中，進一步感悟到平行四邊形無論怎么變，對邊始終相等、對角始終相等的特征，甚至更進一步地認識到平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角和是180度、四個內(nèi)角和是360度等知識。巧妙地提供平行四邊形的邊與角的數(shù)據(jù)，不僅使教學更加流暢，還讓學生對形的認識從粗淺走向深入。

三、反思及聯(lián)想

用數(shù)解形，顯然有利于對形的深度學習。但怎樣利用數(shù)、什么時候利用數(shù)來深挖概念本質(zhì)是一個值得研究的問題。

（一）在感知模糊處結(jié)合“數(shù)”，凸顯“形”之本質(zhì)

形比較直觀，但正因為直觀，使學生對事物的認識多了幾分感性，少了幾分理性。然而對數(shù)學概念的理解，不僅要從直觀上知其然，還要從數(shù)理的本質(zhì)上知其所以然。這就離不開“數(shù)”的參與?！捌叫兴倪呅蔚恼J識”一例中，充分利用格子圖，讓學生對“對邊平行且相等”與“對角相等”的特征既能從直觀上得到感知，又能從數(shù)理上解釋所感知的內(nèi)容，讓學生對平行四邊形概念本質(zhì)的理解更加清晰、深刻。

小學教材中對平面圖形的認識，尤其是低段內(nèi)容，根據(jù)學生的年齡特點，教材在編排時多直觀、少數(shù)理。人教版二年級下冊的“平移與旋轉(zhuǎn)”，教材是這樣編排的：從生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象引入，讓學生直觀感知什么是平移，什么是旋轉(zhuǎn)。教師在講平移時，只能說是向上、向下、向各個方向直直地移動。至于什么是直直地移動，只能意會不能言傳了。這樣的編排與教學，在有助于低年級學生直觀學習的同時，似乎也少了些數(shù)學的味道，學生對概念的感知比較模糊。

怎樣破解？有教師這樣教學平移。

教學片段4：

1. 師：這（圖10）是格子板上的一個箭頭，你能平移一下這個箭頭嗎？

2. 學生嘗試后展示學生作品（圖11）。

師：這些（圖11）都是你們心中的平移嗎？（學生認為前3個作品是平移，第4個不是平移）

師質(zhì)疑：為什么說第4個不是平移？

生1：箭頭有點斜了。

生2：頭移動了2格，尾巴只移動了一格多，頭和尾移動的格數(shù)要一樣多。

師：同意他們的觀點嗎？前面3個頭和尾移動得一樣多嗎？

小結(jié)：看來，平移就是頭移動幾格，尾移動同樣的格子。平移時，可以向上平移，也可以向下平移。

3. 展示左右平移的作品，引導學生思考這是不是平移。（略）

4. 微視頻：斜著平移箭頭。讓學生區(qū)別是不是平移？為什么？（略）

這樣的教學，讓學生對平移的認知從模糊走向清晰，讓學生對概念的認知從感性走向理性。顯然，適當加入“數(shù)”，更有助于學生對概念本質(zhì)的理解。

（二）在表達不清處利用“數(shù)”，說清概念本質(zhì)

形的直觀使學生的思維變得更為感性，然而數(shù)學概念本質(zhì)相對抽象，學生雖通過觀察、操作等活動，對隱藏在直觀的形背后的數(shù)學本質(zhì)有感悟，但若缺失從直觀過渡到抽象的那一把梯子，就不能很好地把觀察所得理性地表達清楚。如在“平行四邊形的認識”一例中，教師提供了格子背景，使學生能很快借助格子從數(shù)據(jù)上得出結(jié)論與理由：上下邊長各是4格，左右邊長各是3斜邊，所以對邊相等。又因為上下邊距離都是3格，左右邊距離都是2對角線，所以對邊平行。讓直觀與理性分析得到完美地整合。又如在“平行與垂直”這一課中，對看似平行實則不平行的兩條線的判斷，學生是很難講清楚的。因為借助“兩條直線延長后不相交”，有時并非行得通，而且這種外延描述式的概念界定，使學生很難把握概念的本質(zhì)。有教師據(jù)此，對“平行與垂直”做如下教學。

教學片段5：

在學生初步認識相交與不相交后，出示課件（圖12）。

師：老師畫了兩幅圖（圖12），你們能幫助判斷一下，它們屬于什么情況？

生1：第①組的兩條直線延長之后不會相交，第②組的兩條好像不會相交。

生2：第②組的兩條也不一定呀。

師：老師這里有工具，借用一下，再來觀察，它們到底會不會相交，為什么？（課件呈現(xiàn)圖13）

生：第②組兩條直線很明顯，原來空的是兩格，后來距離變得越來越近，最后一定會相交了。

師：如果老師把它們延長，想象一下會怎么樣？（學生思考后，課件演示延長，圖14）

師：再看第①組，你們憑什么說它們不會相交？

生：因為兩條直線之間的距離一直都是兩格，再怎么延長也不會相交。

小結(jié)：看來，在同一張紙上的兩條直線，只要寬度不變，它們就不會相交，如果寬度有變化，延長后肯定相交。

通過格子圖中的數(shù)，讓學生清楚地表達出平行線的一個重要特征：平行線的距離處處相等。通過數(shù)讓學生清楚地表達出形的特征，而語言的清晰表達，則又鍛煉了學生的思維，促進學生對概念本質(zhì)的深度理解。

（三）在不甚理解時利用“數(shù)”，感悟概念本質(zhì)

數(shù)量的特點是精確，與形相比，剔除了外在的干擾，易于聚集于問題的本質(zhì)。如“角的初步認識”這一課中，教師通過做活動角、比較活動角等活動，花大量的時間，力圖讓學生感悟“角的大小與所畫邊的長短無關(guān)，與邊叉開的大小有關(guān)” 。實際的結(jié)果卻是，教師教得辛苦，學生學得牽強，仍無法從根本上讓學生信服此結(jié)論。究其原因是學生看到的角是兩邊的長短，至于兩邊的關(guān)系（叉開的大小）只是一個模糊的感覺，所以當邊的長度明顯變化時，更加刺激了學生關(guān)注邊的長度，而非思考邊與邊的關(guān)系。針對這一問題，有教師采用了這樣的設計。

教學片段6：

1. 師：老師在鐘面里畫了三個角（圖15），觀察這三個角，你想說些什么？

生1：第一個角的開口對著一格，第二個角的開口對著兩格，第三個角的開口對著三格，角的開口越來越大了。

生2：第一個角里面有一個小角，第二個角里面有兩個小角，第三個角里面有三個小角。所以第三個角最大。

師：大家同意嗎？看來角的兩邊張開得越大角就越大。

2. 師：比較這兩個角（圖16），誰大？你是怎么看出來的？

生：一樣大，因為它們都有一個小角，角的兩邊張開得一樣大。

師：哦，角的兩邊張開得一樣大，說明角的大小一樣。

3. 師：這兩個角呢（圖17）？

生1：第二個大，因為這個角的邊更長。

生2：不對。兩個一樣大。因為這兩個角都有一個小角，張開的大小是一樣的。

師：大家同意嗎？比較兩個角的大小，我們要看什么？

小結(jié)：角的大小與角兩邊叉開的大小有關(guān)，與邊的長度無關(guān)。

通過提供可視、可數(shù)的鐘面小角圖，實質(zhì)上為學生提供了可以比較、可以測量的工具，角的“大小”不再是語言中、手勢中的“大小”，而是可用“數(shù)”來描述的“大小”，讓概念的本質(zhì)屬性得以強化，讓學生的思維有了依靠。“數(shù)”的加入，真正使學生感悟到了角的“大小”的本質(zhì)。