高中數學人教A版（2019）數學史內容研究

凌銘君　王守峰

[摘? 要] 以《普通高中教科書·數學（A版）》為研究對象，對高中數學教材中數學史的運用方式、模塊分布進行文本研究，分析了該教材中數學史的使用情況，并針對存在的問題提出了建議.

[關鍵詞] 數學史;高中數學;數學教材

《普通高中數學課程標準（2017版）》[1]中指出：“在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養;將數學文化融入教學，有利于激發學生的數學學習興趣，有利于學生進一步理解數學，有利于開闊學生視野、提升數學學科核心素養.”此外，許多數學教育家也十分重視挖掘和發揮數學史的教育價值，如汪曉勤[2]、張奠宙[3]等. 由此可見，數學史作為數學文化的一個重要組成部分，在數學教育領域已經引起了廣泛關注，其教育價值也為廣大數學教育研究者和一線教師所認可.

目前我國已有許多學者對數學史與數學教育進行了研究. 文獻[4]研究了如何將數學史融入數學教學;文獻[5-8]研究了數學教材中的數學史內容;文獻[9]研究了HPM視角下的教學設計;文獻[10]研究了HPM與數學教師專業發展. 這些研究發現，現階段高中數學教材中的數學史內容普遍存在以下問題：首先，數學史知識模塊分布不夠均勻;其次，數學史欄目分布也不均勻，數學史主要集中在閱讀材料;最后，數學史運用方式單一，主要是“附加式”.

《普通高中教科書·數學（A版）》[11][12]是2019年人民教育出版社出版的高中數學教材，目前對于該版本教材的數學史內容的研究較少. 為了了解該版本教材中數學史內容的情況，本文選取《普通高中教科書·數學（A版）》（以下簡稱新版教材）中的必修部分，采用文本分析法，對數學史融入高中數學教材的現狀進行了研究分析.

總體特征

首先，考察數學史內容及分布情況. 統計發現，在新版教材中的必修部分共出現21處數學史內容（具體如表1所示）. 其中，必修一、二教材中出現數學史的次數分別為10次和11次，兩本教材中出現數學史的次數相差不大，但是在個別章節中出現數學史料的次數有較大區別.

數學史運用方式特征

對于數學史的運用方式，彭剛等[13]將其分為四種，分別為：附加式、復制式、順應式和重構式. 需要注意的是以上四種方式并無水平高低之分，具體選擇哪一種，取決于要達成的教學目標. “附加式”的主要特點是把數學史作為課堂教學的一個有益補充，講述與數學有關的歷史故事，包括數學家的名言、數學家的圖片、數學家發現數學的過程或者數學歷史名題等;“復制式”的主要特點是在數學教學中直接呈現歷史上的數學問題，讓學生直接與歷史上的先哲們“對話”，體會原汁原味的數學史;“順應式”的主要特點是根據課堂教學的需求對原始文獻進行改編，古為今用、推陳出新，表面上沒有歷史的痕跡，但他們既傳承了歷史的精神，又順應了時代的要求;“重構式”的主要特點是借鑒數學的發展歷史，將核心的數學思想、方法用今天的方式表達出來，呈現出數學知識的自然發生過程，重構歷史的這種方式對應發生教學法，讓學生體會到數學知識的起源和發展，并獲得數學探究的美好體驗.

通過統計，得出了新版教材中四種數學史運用方式出現的頻次，見表2.

從表2中可以看出，新版教材中數學史的運用方式以附加式為主，復制式、順應式出現較少，重構式的運用方式則是沒有出現. 這表明當前我國教材編寫對于數學史融入高中數學教材的重視程度不足，或者是對于數學史融入數學教材的發掘不夠充分，未能很好地將數學史的史學形態轉化為教育形態.

對不同運用方式的數學史內容進一步分析發現在17處以附加式出現的數學史內容中，處于正文部分的僅有6處，其余的都在課外的閱讀材料或文獻閱讀板塊. 這表明，在新版教材中能夠直接提供給教師在課堂上使用的數學史料較少. 如果教師希望利用數學史來輔助課堂教學，不僅需要教師自己去查找、收集課外的數學史料，而且需要在此基礎上對史料進行加工，使其適用于中學數學的課堂教學. 但是在教學任務等各方面的壓力較大的情況下，教師很少能有額外的精力和時間去做這個工作，這也是目前數學史融入高中數學教學面臨的困難之一：一線教師缺乏直接可用的數學史料.

數學史知識模塊分布特征

對于高中數學教材中的知識模塊分布，本文根據《普通高中數學課程標準（2017版）》中對于必修課程的內容劃分，從“預備知識”“函數”“幾何與代數”“概率與統計”四個模塊對其中包含的數學史內容進行統計和分析，見表3.

從表3中可以看出，由于課標的要求和知識模塊自身的特點等，四個模塊中包含的數學史內容呈現出分布不均勻的特征，其中分布在函數、幾何與代數兩個模塊中數學史內容較多，分布在預備知識、概率和統計兩個模塊中的數學史內容較少. 下面針對各個知識模塊的特點和課標的要求進行分析.

“預備知識”的設置是為了幫助學生完成從初中階段數學知識相對具體到高中階段數學知識相對抽象的過渡，是為學習高中數學課程做好心理、方式和知識技能等方面的準備. 一方面課程標準對于這部分內容的要求是為學習高中數學知識做準備，沒有提出太多融入數學文化的要求;另一方面因為借助學生熟悉的、實際的問題和情境能夠讓學生更易于學習和接受，所以這個模塊的數學史內容較少.

“函數”是貫穿高中數學課程的主線，不僅內容豐富而且對學生掌握的程度要求較高，為了達到預期的教學目的，需要教師對這一模塊的內容有整體的把握，能循序漸進地進行教學. 若想較好地完成該模塊的教學，需要將學生熟悉的例子與函數的發展歷程相結合，先以熟悉的例子引入，再遷移到函數與現實世界的密切聯系，最后輔以函數的發展歷程和對人類文明的貢獻，達到提升學生的數學素養的目的并增長學生對于數學發展的認識. 所以，新版教材在該主題中設置了許多的數學史內容，既可以讓學生在課外閱讀了解，也為教師提供了向學生介紹函數發展歷程的素材.

“幾何與代數”也是高中數學課程的主線之一. 該內容突出幾何直觀與代數運算之間的融合，通過形與數的結合，感悟數學知識之間的關聯，加深學生對于數學整體性的理解. 課程標準中提出在進行這部分內容的教學時，可以適當地融入數學文化，讓學生體會數系擴充中理性思維的作用，還可以組織學生收集、閱讀幾何學發展的歷史資料，結合內容撰寫報告，論述幾何學發展過程中的重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻. 根據課標的要求，新版教材也在這部分設置了很多數學史內容，不僅運用方式多樣，呈現的位置也涵蓋了正文和閱讀材料. 充分利用該模塊的數學史料，不僅能加深學生對知識的理解、技能的掌握，而且能幫助學生形成對該模塊的整體認識.

“概率與統計”是用來計算一些具有不確定性的事件某種結果發生概率的一種方法，也是對學生統計思維的有效訓練，學習該模塊能提升學生數學建模、數據分析、邏輯推理和數學運算等方面的素養. 該主題的學習需要通過日常生活中的實例來幫助學生了解概率的意義，并通過對實際問題的分析，學會使用統計的方法解決實際問題. 課程標準中也強調該模塊的教學應借助實例和生活中的典型案例，沒有提出貫穿概率與統計發展歷程的要求，所以在該模塊中的數學史內容較少. 但是該模塊在歷史上是有豐富且生動的史料的，通過介紹一些與古人有關的逸聞趣事和概率的發展歷程既能有效提高學生對學習概率與統計的興趣，也能讓學生感受到數學中的人文情懷.

數學史欄目分布特征

根據新版教材中的欄目分布，本文分為“正文”“例題”“習題”和“閱讀材料”四個部分對數學史內容的分布進行研究.

其中正文部分包括前言、探究思考、正文主體、邊注;例題即在正文主體中穿插作為案例的題目;習題部分包括“文獻閱讀與寫作”部分的實習作業和章節末尾的課后習題;閱讀材料包括章節末尾的“閱讀與思考”和“探究與發現”兩部分.

通過統計，得出了新版教材中數學史欄目分布的特征，見表4.

從表4中可以看出，正文和閱讀材料這兩部分中出現的數學史內容較多. 尤其是出現在正文部分的數學史內容較之前版本有顯著提高. 但是出現在例題和習題部分的數學史還是較少，且習題部分的數學史都是以學生自行查閱資料與寫作為主的開放題型，由于這種題型在高考中不會出現，所以在教學中容易流于形式，不能引起師生的足夠重視，其教育功能會大打折扣.

將出現次數最多的“閱讀材料”部分中的數學史素材進行細分，可以分為以下四類：（1）數學概念的發展，介紹重要數學概念的產生、發展、完善和應用;（2）思想方法介紹，介紹重大數學思想方法在學科內的運用;（3）數學故事，介紹數學家生平及其重要貢獻，以及相關數學趣題;（4）數學與其他，介紹數學在人類生活、生產或者其他領域的應用[6].

將新版教材的閱讀材料部分中出現的數學史內容分成以上四類，并統計各類的數量，制成表格，見表5.

從表5可以看出，在新版教材中，屬于數學概念的發展的閱讀材料有4處，屬于思想方法介紹的有2處，屬于數學故事的有3處. 新版教材在閱讀材料的類型分配上比較均勻，并且都注意在閱讀材料中借助史料激發學生的思考，這也體現了高中階段數學教育不同于義務教育階段數學教育的特點. 值得注意的是，新版教材的閱讀材料中沒有“數學與其他”方面的數學史內容，這說明對于數學的應用這一方面的展示，新版教材都是以更貼近學生實際生活經驗的方式來呈現的，體現出了新版教材在這方面的偏向，設計十分合理.

結論與建議

首先，數學史按知識模塊分布不夠均勻的問題依然存在. 例如，在“函數”和“幾何與代數”部分設置很多數學史材料，而“概率與統計”部分，卻只安排了很少的數學史內容.

其次，數學史欄目分布不均勻的問題也沒有解決. 新版教材中的數學史集中在閱讀材料部分，但是在實際教學中，由于教學進度和教學效果等各方面的壓力，閱讀材料很難在課堂教學中被提及和運用，也不能引起師生的過多關注，其應有的教育功能會大打折扣;相反，在正文、例題、習題部分出現的數學史較少，且古算題出現的頻次有顯著減少，而這兩部分的數學史正是師生可以直接利用的教學資源，因為在教師授課、講解例題以及學生解答習題的過程中，學生頭腦中會留下與數學史有關的印象，從培養學生情感、態度和價值觀的角度也是有意義的. 建議教材編寫更多地關注在正文以及例題、習題中融入數學史.

再次，數學史的運用方式不夠多樣的問題依然顯著. 新版教材中的數學史出現在閱讀材料和邊注的居多，且大都采用了“附加式”，以這種方式呈現的數學史在實際學習中容易被忽視，不能充分發揮其蘊含的教育價值. 建議教材編寫增加“復制式”“順應式”數學史的融入，這樣一方面可以重現知識探索的過程、難點和關鍵點，也可以增強數學研究在學生學習中的共鳴，提高學生學習數學的自信心;另一方面將數學史料進行巧妙翻譯、修改，使其易于為學生理解，從而有效提高學生學習的效率. 此外，還要重視“重構式”數學史的融入. 根據歷史發生原理、弗賴登塔爾的“再創造”、理論發生教學法，“重構式”數學史在教學中可以發揮巨大的作用. 而且，在教學實踐中，融入教材的“重構式”數學史為一線教師提供了直接可用的數學史料. 這種運用方式對于教師數學史素養的要求不高，可以有效解決教師缺乏直接的數學史料的困難，使得數學史融入數學課堂的程度更高，做到“不提數學史，但用數學史”.

最后，數學史在實際教學中的受重視程度需要提高. 課程標準中明確指出了數學文化應融入數學教學活動，要引導學生了解數學的發展歷程. 但是在新版教材中許多數學史內容都安排在閱讀材料以及正文邊注等教師和學生容易忽略的位置，再加上學校教學進度和教學效果的壓力、教師自身對于這部分內容的不重視等因素，數學史在實際教學中發揮的作用可以說微乎其微，自然也無法達到課程標準對數學文化的要求. 要想解決這個問題，一方面需要教材給教師提供足夠多的直接可用的數學史料，讓教師不費太多精力就能在課堂教學中使用;另一方面也需要教師有意識地提高自己的數學史素養，如果作為教師自身都沒有了解數學的發展歷程、缺乏數學史的素養，那么如何做到提升學生這方面的素養呢？

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 汪曉勤. HPM：數學史與數學教育[M]. 北京：科學出版社，2017.

[3]? 張奠宙，李士锜，李俊. 數學教育學導論[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[4]? 蒲淑萍，汪曉勤. 數學史怎樣融入數學教材：以中、法初中數學教材為例[J]. 課程·教材·教法，2012，32（08）：63-68.

[5]? 王靜. 基于數學史的高中數學教材比較研究[D].華中師范大學，2017.

[6]? 李保軍，葉雪梅. 文化視野下高中數學教材數學史分布的比較研究[J]. 教學與管理，2014（07）：49-52.

[7]? 羅新兵，魏金英，劉陽，恩斯特姆. 高中數學教材中數學史分布的特征和模式研究——以北師大版數學必修教材為例[J]. 數學教育學報，2012，21（01）：30-33.

[8]? 蘇明海，茍述珍. “華師版”與“湘教版”初中數學教科書數學史內容的比較研究[J]. 數學教學通訊，2020（35）：7-9+54.

[9]? 王芳，汪曉勤. HPM視角下“導數幾何意義”的教學[J]. 數學教育學報，2012，21（05）：57-60.

[10] 蒲淑萍. HPM與數學教師專業發展[D].華東師范大學，2013.

[11] 章建躍. 普通高中教科書數學必修第一冊[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[12] 章建躍. 普通高中教科書數學必修第二冊[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[13] 彭剛，汪曉勤，程靖. 數學史融入數學教學：意義與方式[J]. 成都師范學院學報，2016，32（01）：115-120.

3521501908269