問題模型溯源　命題探究突破

吳春霞

[摘? 要] 直角弦是基于曲線與直線位置所構建的特殊弦，實則為直角三角形的斜邊，故具有直角三角形的特性. 由于具有圓錐曲線的背景，直角弦模型含有特殊的性質結論，以其為基礎的考題較為常見，關注模型特征與命題方式極為重要. 文章對此類問題模型進行溯源，并結合實例探討突破策略.

[關鍵詞] 圓錐曲線;直角弦;策略;定點;向量積

圓錐曲線中的直角弦是高考數學重要考點，問題形式較為多樣，探究學習需要關注試題特點，掌握一般的解題策略，并總結常見的性質結論，形成系統的模型認識，下面深入探究.

[?] 溯源及探究

問題：已知直線y=x+b與拋物線y2=2x相交于點A和B，且OA⊥OB（點O為坐標的原點），試求b的值.

解讀：本題目是以直線與拋物線相交為背景，構建了相應的垂直關系，根據問題條件可繪制圖1所示圖像. 圖像中有兩個特點：一是直線與拋物線有兩個交點，二是基于交點A和B構建了垂直關系，OA⊥OB. 從幾何視角來看，以交點A和B及原點O為頂點，構建了Rt△AOB.

直角弦定義：直線與曲線相交于點A和B，若存在點P，使得PA⊥PB，則稱弦AB為相對于點P的直角弦.

解析：對于上述直角弦問題可以采用聯立代入的方法轉化求解，過程如下.

聯立直線與拋物線的方程，則有y=x+b，y2=2x，整理可得x2-2x+2bx+b2=0，兩者有兩個交點，則Δ>0，即Δ=4-8b>0. 設交點A（x，y），B（x，y），由韋達定理可得x+x=2-2b，x·x=b2. 又知OA⊥OB，則x·x+ y·y=0，結合直線解析式可化簡為2x·x+b（x+x）+b2=0，整理可得b（b+2）=0，可解得b=-2，或b=0（舍去），即b=-2.

探究：對于上述以拋物線為背景的直角弦情形，有如下兩點需要關注.

（1）對于Rt△AOB，直角弦AB為三角形的斜邊，則點O位于以AB為直徑的圓上，故可形成如下結論：若曲線上的點O位于以AB為直徑的圓上，則OA⊥OB，AB為直角弦.

（2）上述是關于拋物線y2=2x與直線y=x-2的相交問題，實際上可化為一般形式，即y2=2px和y=x-2p. 對于直線y=x-2p，顯然過定點（2p，0），故從中可衍生出如下結論：若直線l與拋物線y2=2px相交于點A和B，則OA⊥OB成立的充要條件為直線l經過點（2p，0）.

[?] 命題與破解

圓錐曲線中的直角弦問題常結合向量進行考查，即對于其中的垂直條件PA⊥PB，對應的向量表示為·=0. 結合上述所探究的內容，直角弦的實際考查方式有如下三種：

方式1：幾何垂直與向量積、圓過定點的關系，即PA⊥PB?以AB為直徑的圓過定點P?·=0;

方式2：角度的拓展，∠APB為鈍角?點P在以AB為直徑的圓內?·<0;

方式3：∠APB為銳角?點P在以AB為直徑的圓外?·>0.

上述考查方式是從幾何、向量、圓錐曲線的位置關系視角進行構建，三者之間存在緊密關聯，把握三者關系是突破的關鍵，而在解析時可采用如下兩種策略進行分步突破.

策略一：方程聯立+韋達定理

第一步，設出直線AB的方程;

第二步，聯立直線與曲線方程，整理為關于變量的一元二次方程;

第三步，由韋達定理寫出關于根與系數的關系;

第四步，結合向量條件·=0，代入根與系數關系轉化問題.

策略二：方程聯立+代換求點

第一步，設出直線AB的方程;

第二步，聯立直線與曲線方程，整理為關于變量的一元二次方程;

第三步，利用根與系數關系求點A坐標，結合垂直條件代換，推導點B的坐標;

第四步，由兩點式求出直線AB的方程，進而探究直線恒過的定點.

上述所呈現的是圓錐曲線直角弦問題的兩大解析策略，從其構建思路來看，適用于直角弦中的直線方程求解、恒過定點論證、直線與圓的位置關系問題.

[?] 類題深探究

圓錐曲線直角弦的問題形式較為多樣，實際求解時要合理運用結論，靈活使用解題策略，充分利用數形結合、設而不求思想來轉化求解.

類型一：探索直線中的參數

例1 已知橢圓C：+=1（a>b>0），其左、右焦點分別為F和F，離心率為，點I和J分別為橢圓C的右頂點和上頂點，已知△IOJ邊IJ上的中線長為，試回答下列問題.

[?] 總結與反思

上述深入探究了圓錐曲線直角弦的結構特征，總結了命題視角及突破策略，并結合實例探討了解題構建，下面結合教學實踐深入反思.

1. 把握模型特征，探索一般結論

上述實則是探索圓錐曲線直角弦模型，關注模型特征、探究問題本質極為重要. 教學中要引導學生關注曲線與直線的相交關系，把握模型的直角特性，從函數與幾何視角來綜合探究，即模型由直線相交構建，同時含有垂直關系. 同時應注重模型一般結論的探索，可采用知識探究的方式，從“特殊”到“一般”，讓學生經歷結論的論證過程，形成深刻的數學認知.

2. 把握命題考向，總結解題策略

高考考向是教學探討的重點，基于考向探索問題模型有利于定位考點. 如上述探究了直角弦問題模型的命題方式，構建了幾何、向量、圓錐曲線位置關系三者之間的聯系，有利于學生深入理解模型，完善知識體系. 實際教學中建議關注歷年考題，結合實例分析命題方式，同時探究知識原理，總結解題策略. 策略總結建議包括以下兩點：一是問題的知識背景、方法的知識原理，二是分步突破思路，所涉思想方法等.

3. 把握類題實例，變式拓展探究

通常問題模型在實際考查時有多種構建形式，雖問題結構不同，但知識本質是一致的. 如上述圍繞直角弦模型構建了直線參數問題、點與圓的位置關系問題，實際上還包括多類存在性問題. 教學探究建議圍繞核心考點進行命題構建，指導學生探索問題破解思路. 必要時可開展變式探究，從模型結論、曲線背景、設問形式、知識關聯等視角進行，使學生全面掌握問題模型，拓展解題思維，提升解題靈活性.

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