案例與實驗教學法在泊松過程教學中應用

王沁 唐家銀 趙春明

[摘 要] 本文探討了案例教學法和實驗教學法在泊松過程教學中的應用。案例教學法從四個維度上進行設計，形成由一般到特殊，再從特殊到一般的教學模式，從而避免傳統教學方式的枯燥，實現知識由“點”到“線”的思維過程，最終達到由“線”到“面”的思維升華；實驗教學法在設計上，從課堂內容實驗，到個性化實驗，再到綜合性實驗，形成從簡單到復雜，從基礎到應用，再到創新，層次遞進，逐層展開，從而潛在培養學生的創新精神與創新能力。

[關鍵詞] 泊松過程；案例教學法；實驗教學法

[基金項目] 2021—2023年四川省高等教育教學改革項目（JG2021-261）；2020—2022年度中國交通教育研究會交通教育科學研究課題項目（JTYB20-77）；2021年度西南交通大學本科教育教學研究與改革項目（2103113）

[作者簡介] 王 沁（1973—），女，四川夾江人，博士，西南交通大學數學學院副教授，主要從事應用統計和統計學教育、隨機過程教學研究。

[中圖分類號] G642.4 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）06-0121-04 [收稿日期] 2021-06-11

引言

“隨機過程”是應用數學、統計專業學生的一門最重要的專業基礎課，也是交通運輸、機械工程、電子信息等工科專業的基礎數學課，該課程綜合性強、難度大、內容抽象，公式較多，理論推導有一定深度。無論對于研究生還是本科生來說，要學好這門課程，不僅需要概率論、數理統計等方面的基礎知識，而且還需要具有高等數學方面的基礎知識，所以此門課程令很多學生感到枯燥頭疼，對學好“隨機過程”這門課的信心不足。

泊松過程是隨機過程中最重要的一類過程，被稱為隨機過程的基石，在整個“隨機過程”課程的教學課時中占了40%的比例。而且泊松過程在經濟、金融、交通運輸等多方面都具有廣泛的應用。掌握好泊松過程的基本知識、基本定理和知識點之間的層次關系，有利于觸類旁通學好馬爾科夫過程、平穩過程等隨機過程，有利于培養學生隨機數學意識，并以泊松過程的基本知識、基本定理為基礎開展一些拓展性的研究。鑒于此，本文結合教學改革的要求和教學實踐經驗，以及學生在學習泊松過程中表現出的不足，探討案例教學法和實驗教學法在泊松過程的應用和實踐，從而提高學生的學習興趣，促進學生能夠較快較好地掌握泊松過程的所有知識點，并在實踐中靈活準確的應用，以期拋磚引玉，推動本專業教學改革的發展與創新。

一、原有教學環節概況

在傳統教學實踐中，大多數教師通常圍繞泊松過程的定義、泊松過程的分布及有關概率的求法、泊松過程的數字特征、泊松過程相伴的等待過程的分布、兩質點到達時間間隔的分布函數，以及泊松過程的疊加、泊松過程的分解、復合泊松過程和非齊次泊松過程四種泊松過程的擴展來展開教學。因此，由概念入手，圍繞定理、性質的證明來層層遞進展開，并組織學生進行各類計算的方式，看起來符合學生的思維特征，具有邏輯上的合理性，但由于基本概念較多，內容抽象，數學推導較多，這些抽象的定義、嚴謹的推導證明，對大多數學生來說，往往難以深入理解和掌握。在此過程中，大多是以教師的講解為主，學生更多的被“灌輸”泊松過程的相關知識，而不是帶著問題或目的學習，必然導致學生學習積極性不高、學習效果較差的結果。不光教師教得累，學生聽得更累。這就需要對課堂教學結構進行不斷更新，積極探索“以學習者為中心”“以案例教學為驅動”的教學模式。

在傳統泊松過程的教學中，基本不設計實驗環節，大多通過課前預習、課堂講授、課后作業三大環節來展開教學。即在課程開始階段，要求學生復習概率論知識、復習上一節課所學知識點；在課程講解相應的階段，要求學生認真聽課，做好筆記；在課程結束階段，要求學生做完上一節課的作業，整理筆記。通過三大環節加深學生對抽象定義和理論知識的理解，但由于概率論知識的遺忘，泊松過程的概念、定理的抽象性，以及知識點較多，作業題目的局限性，學生往往覺得泊松過程難學，“隨機過程隨機過”，使學生學習隨機過程的積極性深受打擊，這不僅不利于激發學生對泊松過程的學習興趣，也大大限制了學生學習相關隨機過程學科知識的積極性和有效性，影響了課程的教學質量。需要積極探索“以課堂內容實驗為中心”“以個性化實驗為驅動”“以綜合性實驗為引導”的教學模式[1-5]，通過實驗教學法使學生有效掌握泊松過程的知識，并將所學的知識應用于實踐。

二、案例教學改革思路

根據泊松過程特點，圍繞泊松過程這一章節的課程教學目標和核心知識點融入案例，以案例教學法驅動泊松過程的課程教學改革，具體思路如下。

（一）由生活中常見的計數過程案例入手

在現實生活中，有許多“計數”的案例，比如，自2020年1月23日武漢封城以來，我國新型冠狀病毒感染的肺炎累計確診人數，當日新型冠狀病毒感染的肺炎確診人數，當日新型冠狀病毒感染的肺炎疑似病例數，武漢封城以來我國新型冠狀病毒感染的肺炎累計死亡人數等。又比如，自2018年1月1日以來，到達北京西站的乘客人數，北京西站每天客流量的變化，北京西站每天進站總人數，北京西站每天進站的出租車數，北京西站乘務員每天接警次數，自2018年1月1日以來，北京西站累計出站人數等，引導學生從生活中常見的“計數”案例入手，收集相關數據，理清以累計為基礎的隨機過程才是計數過程，理順如何將非累積“計數”轉化為以累計為基礎的計數過程，并引導學生在“計數”的案例中記錄隨機事件第i次發生時間，學會用充分小的時間段來分析計數過程的特征，從而清楚認識到泊松過程是計數過程中最特別、最重要的一類，將抽象的定義與生活中的案例結合。

（二）從關系入手融入案例

圍繞指數分布與埃爾朗分布的關系，二項分布與泊松分布的關系，指數分布與泊松過程的關系，泊松分布與泊松過程的關系，泊松過程的可加性，融入案例，理解泊松過程的屬性；圍繞條件分布與條件期望的關系，數字特征與特征函數的關系，一維分布函數與多維分布函數的關系，分布函數與特征函數的關系，融入案例，層次遞進地掌握泊松過程的本質特征；圍繞泊松過程與更新過程的關系，泊松過程與非齊次泊松過程的關系，融入案例，從一般的計數過程到齊次泊松過程，再到非齊次泊松過程，再到更新過程，形成整個計數過程的知識框架結構；圍繞泊松過程與馬爾科夫過程的關系，泊松過程與平穩過程的關系，將泊松過程的馬氏性，潛在平穩性融入案例，從一般的計數過程到齊次泊松過程，再到馬爾科夫過程，再到平穩過程，形成整個隨機過程的知識框架結構；拓展一維泊松過程到二維泊松過程，拓展泊松過程到更新過程，并理清一維泊松過程和二維泊松過程關系，泊松過程和更新過程的關系，形成系統的關于泊松過程的知識網絡結構。圍繞隨機過程的均方微積分與泊松過程的隨機微積分的關系，圍繞泊松過程的隨機微積分與伊藤積分的關系，從一般均方微積分，過渡到隨機微積分，形成用隨機微分方程方法探討隨機過程特征的知識脈絡。

（三）從相對復雜案例入手

在現實生活中，我們可以記錄從A入口進入商場的人數，記錄從B入口進入商場的人數，同時也可以記錄進入商店的總人數，購物的總人數，還可以記錄到女士服飾、兒童用品等不同商業區域的人數，還可以分析比較上下午不同時段進入商店人數的變化，分析各種商品銷售的零售額，這樣一個復雜的案例，就可能涉及非齊次泊松過程、泊松過程的疊加、泊松過程的分解，以及復合泊松過程等。這樣的復雜案例在現實生活中比較常見，比如，記錄從早晨8：00開始手機累計收到的呼叫次數，呼叫的時長、呼叫的費用、呼叫人的性別等；記錄從早晨9：30開市股票市場中累計買進或賣出股票的次數，累計成交金額等；這樣一來，將泊松過程的擴展融入實例，圍繞泊松過程的本質特征展開了整個泊松過程知識體系的教學。

（四）從問題入手融入案例

在課堂教學中選取教學難點和教學重點時，以學生常常遇到的某個問題為切入點，比如，復合泊松過程在何種情況下與泊松過程的分解等價，復合泊松過程在何種情況下與齊次泊松過程等價，泊松過程的獨立增量性是否是泊松過程最本質的特征，兩個相互獨立的泊松過程之差是否可以看作復合泊松過程，泊松過程的均分積分過程是否具有獨立增量性特征，如何將泊松過程轉化為平穩過程等，以拋磚引玉，讓學生運用所學知識，通過查閱資料和課堂討論，思考解決問題，使得泊松過程的擴展緊緊圍繞泊松過程的內在特征展開，從而掌握整個泊松過程的知識體系。

圍繞四個維度的案例教學，形成由一般計數過程到特殊計數過程泊松過程，由泊松過程到特殊的更新過程、馬爾科夫過程、平穩過程，由泊松過程到泊松過程疊加、泊松過程分解、復合泊松過程等泊松過程的擴展，又由泊松過程的擴展（泊松過程疊加、泊松過程的分解、復合泊松過程、非齊次的泊松過程）再回到一般的泊松過程的邏輯過程，使得泊松過程的知識體系立體化，使得泊松過程、馬爾科夫過程、平穩過程融合在一起，而不是獨立地存在隨機過程課程教學的各個章節中，從而使學生扎實地掌握基礎理論知識，形成系統深入的專業知識，培養學生隨機數學的思維能力。

三、實驗教學內容的項目設計

針對泊松過程現有教學中實驗教學環節的缺失，根據教學創新思路，設計課堂內容實驗、個性化實驗和綜合性實驗，從而使學生弄清泊松過程的本質，掌握相關定理，掌握泊松過程的特點，更好地引導學生解決實際問題。實驗項目設計說明如下。

（一）課堂內容實驗設計

課堂內容實驗設計是針對泊松過程的基本知識和基本定理，教師確定并設計題目，要求所有學生都需要掌握和完成的實驗項目，包括泊松過程的蒙特卡洛模擬，泊松過程數字特征的驗證、泊松過程的泊松強度的估計、泊松過程獨立增量性的驗證、泊松過程疊加的實現、泊松過程分解的實現、泊松過程的構成和檢驗、復合泊松過程的蒙特卡洛模擬、非齊次泊松過程的蒙特卡洛模擬等，這樣一來使教學過程對學生始終有一種吸引力，使學生享受到學習的樂趣，有利于使抽象、煩瑣、復雜的定理得到直觀的展示，有利于泊松過程知識點之間的層次關系形象直觀地呈現，激發學生學習興趣和求知欲望，從而使學生掌握泊松過程的理論和思想，以及相關的定理。

課堂內容實驗板塊，鼓勵學生采用不同的軟件，比如R軟件、Python軟件、EViews軟件等，來完成同一實驗內容，這樣一來避免了學生的抄襲，也可以引導學生掌握不同類型統計軟件，了解不同軟件在泊松過程上的適用度，從而讓學生借助軟件的使用，較為便捷地學習泊松過程的相關知識點[6，7]。

（二）個性化實驗設計

個性化實驗設計是指在教師的引導下，學生團隊獨立完成的實驗項目，比如，物料訂單的規劃，道路交通信號燈的設計，交通事故預測，齊次泊松過程與復合泊松過程在保險業風險管理中的應用，泊松過程在證券投資分析中的應用，泊松過程在供應鏈中的應用，服務系統顧客到達的非齊次泊松過程仿真等，圍繞現實生活中的泊松過程案例，完成個性化實驗的設計目的、實驗內容和系統性的報告，這樣一來有利于學生弄清泊松過程的本質，有利于激發學習隨機過程的興趣，培養隨機數學的思想。

（三）綜合性實驗設計

在綜合性實驗上，要求學生跨章節，將泊松過程與馬爾科夫過程、與平穩過程等隨機過程的知識融合在一起進行實驗內容設計。比如，鋼琴銷售的存貯策略問題，一個星期內累計購買鋼琴的人數是一個泊松過程，同時根據一個星期銷售量設置進貨量的策略是一個馬爾科夫過程，將泊松過程與馬爾科夫過程融合在一起；再比如，基于非齊次泊松過程及其參數化模型用于可靠性工程，基于復合泊松過程的某公司經濟狀況的分析，排隊論和泊松過程在小區物業管理中的應用，一維泊松過程和二維泊松過程在金融風險管理中的應用，馬氏調節泊松過程在系統可靠性分析中的應用，泊松過程和維納過程共同驅動的系統穩定性分析等，這樣一來了解泊松過程在物理學、地質學、生物學、金融、交通運輸和管理科學等領域中的廣泛的應用，激發學生的興趣、拓寬學生的視野，培養學生綜合運用泊松過程、平穩過程、馬爾科夫過程等隨機過程分析問題和解決問題的能力，發揮學生的自主能力，綜合運用多學科知識，理論與實踐相融合，培養創新精神與創新能力。

結語

泊松過程是“隨機過程”課程中最重要的一個教學章節，本文主要針對在泊松過程的教學過程中如何結合案例教學法和實驗教學法進行教學設計，作了簡單的探討。首先通過實際生活中的案例引入計數過程，再拓展到泊松過程一般性的定義，然后通過泊松過程、等待時間過程、時間間隔過程之間的關系，點明泊松過程的分布和本質特征，最后通過泊松過程的擴展，掌握泊松過程各個層面的知識點。這種由一般到特殊，再由特殊到一般的教學方式，同時由具體案例引入得到抽象公式，既能避免公式推導、定理證明的繁雜和枯燥，又遵循了思維發展規律，由淺入深地幫助學生較為輕松地掌握泊松過程。在實驗教學設計上，以課堂內容實驗、個性化實驗、綜合性實驗為載體，整合理論知識和實踐知識，探索“理實一體”的教學模式，不僅可以消除學生“枯燥”學習后“沒有用武之地”的想法，更能讓學生產生學習的動力，積極主動地學習“隨機過程”課程，培養學生分析和解決問題的能力，潛在培養學生的創新精神與創新能力。

參考文獻

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Application of Case and Experimental Teaching Method in the Teaching of Poisson Process

WANG Qin， TANG Jia-yin， ZHAO Chun-ming

（School of Mathematics， Southwest Jiaotong University， Chengdu， Sichuan 611756， China）

Abstract： This paper discusses the application of case and experimental teaching in Poisson process teaching. On the one hand， the case teaching method of Poisson process teaching is designed from four dimensions， which forms a teaching model from general to special， and then from special to general， so as to avoid the boredom of traditional teaching methods and realize the thinking process of knowledge from “point” to “line”， and finally achieve the thinking sublimation from “line” to “plane”. On the other hand， the experimental teaching of Poisson process teaching is designed from classroom content experiment to personalized experiment， and then to comprehensive experiment. The process of experimental teaching is to teach progressively form simple to complex， from basic to application， and then to innovation， so as to imperceptibly cultivate students’ innovative spirit and innovation ability.

Key words： Poisson process； case teaching method； experimental teaching method

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