建模課堂話“建?！?br/>——小學數學知識建模深度教學的設計與實施策略

徐麗華

新課標強調從學生已有的經驗出發，通過親身實踐，將自己所遇到的許多同類的實際問題抽象成數學模型加以解釋再應用［2］。那么，如何在實際的教學中幫助學生建構知識模型呢？

一、在課前的引領中建模，讓學習自然發生

數學建模的目的是讓學生主動參與學習、探究活動，獲取新知識，也是為了將所建構的模型更好地運用到實際生活與實踐中，更好地體現模型的價值。如何幫助學生在課前自主建構模型，讓學生的學習真實自然地發生呢？

教師在教學新知前，不妨可以嘗試轉換學習方式。例如，在學習蘇教版《義務教育教科書·數學》五年級下冊《圓的認識》一課之前，筆者根據以往學習長方形、正方形、三角形等平面圖形的知識經驗，設計了一系列問題引領學習單。這些學習單要求學生回顧：

1.在學習圓之前已經學過哪些平面圖形？

2.仔細回想一下我們是怎樣學習這些平面圖形的？

3.思考一下：以前所學的這些平面圖形與今天所要學習的圓之間又存在哪些異同？

4.你想學習有關圓的什么知識呢？

5.你準備怎樣學習圓？又會運用到哪些學習方法呢？

學生在一系列問題引導下，會調動已有知識經驗嘗試自主建構新的知識模型，例如，有的學生歸納如下：圓與原先所學圖形最大不同在于，它是曲面圖形，根據以往學習平面圖形的過程，我想了解圓的畫法、圓的各部分名稱、圓的周長、圓的面積等。學生在筆者精心設計的問題引領下尋求各種途徑（書本、網絡、同伴、教師）的幫助，對自主建構的問題進行深入研究。在這種教學方法中，教師會在教學新知識前，引導學生主動建構知識體系，學生在以后學習新知識時，自然而然會嘗試運用已有知識經驗，拓展學習新知的方法，學生在問題引領中自我構建新知體系，達到了最佳的學習效果。

二、在新課的探究中建模，讓過程內需生成

以生為本的課堂，就是要讓學生經歷數學知識的形成過程，讓學生在自主探究中建構模型，這就要求學生清楚知識發生、發展的過程，讓學生透過不同的直觀或貼近生活的實例進行綜合比較。

例如，在解決下面這一問題時，有許多學生在畫圖時會遇到一定的困難：學校長方形植物園原來長20米、寬15米，擴建后長增加5米、寬增加3米。那么，擴建后面積增加了多少？實踐表明，相應的教學對策之一是分解難點，教師可先讓學生解答兩道類似的準備題：（1）學校長方形植物園原來長20米、寬15米，擴建后長增加5米、寬不變；擴建后面積比原植物園面積增加了多少？（2）學校長方形植物園原來長20米、寬15米，擴建后長不變、寬增加3米后，面積增加多少平方米？對于類似的準備題，大部分學生都能夠根據已有知識經驗獨立完成圖示。學生通過數形結合，建立起算式與圖的對應關系，無形之中也就學會了怎樣畫圖。同時，圖示的直觀性還能啟迪學生想到多種解法：20×3＋15×5＋5×3；（20＋5）×3＋15×5；（15＋3）×5＋20×3等。然后教師可以再讓學生解答相關情境變換題組：

①某音樂廳原來每排20座，有15排，擴建后每排增加5座，增加3排。那么擴建后一共增加多少個座位？

②學校原計劃買20只皮球，每只15元，實際每只漲價3元，并且多買5只。實際比計劃多花多少元？

③明明準備做一些數學趣味題，計劃每天做25道，20天完成，實際每天多做了5道，又多做了3天。實際比計劃多做了多少道？

這三道題的情節內容各異，它們的數量關系抽象歸納（即數學模型）之后卻都是“因數變化前后的兩積之差”。在此教學過程中，教師先引導學生運用解題策略構建面積問題的圖形模型，然后再通過探究類似面積問題的其他情境變換題組，有效構建“矩形圖”的數學模型，讓學生主動經歷了知識的形成過程，真正在內需中生成建模，加深了對知識的應用和理解。

三、在練習的反饋中建模，讓研究走向深度

有些數學知識的概括、建模需要借助具體的實例，而單一的實例不足以提供概括、建模的條件。教師可讓學生通過解答一組形式類似、難度不等、算法相同的練習題，內化計算的方法，積累活動經驗，為概括、建模提供豐富的實例支撐，此后的建模過程可謂水到渠成。同時，教師還可以適時與相關舊知進行比較練習，把新知納入學生已有的認知結構之中，可以減輕學生的認知負荷，促進深度理解。

例如：50千克芝麻可榨油10千克，照這樣計算，榨200千克芝麻油需要多少千克芝麻？問題很簡單，但這卻是一道小學生易錯的題，究其原因，主要是到了高年級階段，由于學了小數除法之后，50÷10與10÷50都有意義，常有學生因此產生疑惑，造成列式錯誤。而教師如果采用列表法，幫助學生建構對應模型，并深度挖掘類似習題進行對比強化練習，則難點會消弭于無形。教師可在學生學完例題后，再次對比練習：一枚1元的硬幣大約重6克，照這樣推算，6千克硬幣是多少枚一元硬幣？600千克硬幣是多少枚硬幣？6噸硬幣是多少枚硬幣？實踐表明，當練習不再拘泥于刻板的解題形式，能有效幫助學生積極建構數學化表達的解題模型，同時通過辨析也強化了對問題意義、概念本質的理解，更有利于激發學生思維的活力，提高學生解決問題的興趣。

四、在課后的梳理中建模，讓知識結構內化

數學是一門邏輯思維很強的學科，只有在不斷的總結梳理中才能理清數學知識的精髓，從而順利構建結構化知識體系。

例如：最經典的《烙餅》問題：客人和媽媽只要3張餅，如果每次只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面3分鐘，請問怎樣烙才能盡快吃上餅？學生在分清條件、理解問題后，在猜測的基礎上探究，最后得出結果，總時間=（餅的數量×2）/每鍋可烙的面數×每面的時間。學生在課上經過一系列研究后，教師要引導學生課后對烙餅問題再次系統梳理，發現整個學習過程經歷了“準備建?！Ｐ图僭O—模型建構—模型求解—模型檢驗—模型應用”的過程。

在此基礎上，教師可以讓學生進一步思考生活中有沒有類似的模型知識，由于學生對知識進行了系統梳理，腦海中已經形成結構化思維，很快就發現在實際生活中就有很多可以應用這一模型解決的問題。例如，有的學生發現一種電腦小游戲，玩1局要5分鐘，可以單人玩，也可以雙人玩，曉東和爸爸、媽媽一起玩，每人玩2局，至少需要幾分鐘？這樣學生在解決“烙餅問題”的過程以及后續的知識拓展和遷移中，實現了“知識梳理”與“思維模型”的和諧統一。這種教學方法可以巧妙地將生活題材融入知識點，幫助學生在理解問題背景及其數學原理的基礎上，深度理解所建構的數學模型并加以應用。

小學數學建模教學的方式并不是一成不變的，作為數學教師，應依據學科教學的特點，根據不同的教學內容和學生的學習狀況，不斷探索新的教學模式，幫助學生學習如何建構各類數學模型，并形成結構化、系列化的思維方式，從而提升學生的數學綜合素質。