強化數學概念運用 提高問題解決能力

【摘 要】數學概念是學生進行數學思維的核心。在課堂教學中，教師可以通過習題講解深化學生對概念的理解，提高學生把握題目本質的能力、簡化數學運算的能力、轉化與化歸的能力，從而提高學生學習數學的信心和解決實際問題的能力。

【關鍵詞】數學概念;解題教學;解決問題

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2022）11-0044-03

【作者簡介】李青，南京市第一中學（南京，210001）教師，一級教師。

數學概念是數學的基礎，是學生認識數學并進行數學思考的起點，在數學教與學中具有舉足輕重的地位。正確理解概念，可以讓學生在問題解決的過程中很快地把握問題的本質，熟練掌握數學知識，提高處理問題的能力。因此，在平時的教學過程中，要以數學知識為載體，重視對數學概念的運用，以此提高學生解決實際問題的能力。

函數是高中數學的基礎和重要內容，貫穿高中數學的始終，是高考的重點考查內容之一。學好函數知識有助于發展學生的思維能力，為其他數學內容的學習打下堅實的基礎。而深刻理解函數中的相關概念對學好函數至關重要，理解數學概念往往是解決問題的第一步。掌握概念不應該僅僅是對定義、定理的死記硬背，更應該是對解題工具的深刻理解與靈活應用。在教學中，應讓學生親身經歷并感受建立函數相關概念的過程，準確把握函數的本質，熟練掌握并運用函數思想去分析和處理實際問題，培養學生的發現與探究、理性思維、分析和解決問題等數學能力。

本文以函數問題的解題教學為例，說明如何在教學解題方法的過程中強化學生對數學概念的運用，提高其解決問題的能力。

一、引導學生觀察問題結構，提高其準確把握題目本質的能力

對于一個數學問題，看清題目的本質往往比問題本身的結果更重要。而只有認真讀題，仔細觀察問題結構，才能深刻領悟題意，理解問題背后的數學本質，快速找到切入點。下面，筆者以一道例題的講解，說明在習題講解的過程中如何引導學生提高把握問題本質的能力。

例1：已知函數f（x）滿足f（x）+f（x+1）+f（x+2）=0，且f（2）=1，求f（2021）。

師：大家觀察題目可以發現，數字2021較大，通過一次次迭代求得f（2021）的值這個想法不現實。既然條件中沒有函數解析式，只有遞推式，而f（2021）又可求，那么f（2021）有沒有可能等于某個較小的x處的函數值？

生：有可能！那么函數f（x）應該是一個周期函數，只要找到它的最小正周期即可。

師：請同學們回顧一下函數周期性的定義，結合定義想一想如何從題目中的已知條件推出f（x）是周期函數？它的最小正周期又是多少呢？

生：由f（x）+f（x+1）+f（x+2）=0可得f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）=0，進而得到f（x）=f（x+3），所以函數f（x）為周期函數，它的最小正周期為3，因此f（2021）=f（3×673+2）=f（2）=1。

師：此題的本質是求f（x）的最小正周期，只要根據函數周期性的定義，轉化已知條件，問題便可迎刃而解。

對數學概念的理解，要在不斷對其內涵與外延的比較與辨別中，得到理性的思悟，從具體問題中理解其抽象性，從實踐中理解其簡潔性，從問題解決中欣賞其解法的靈活性，培養學生洞察問題的敏感度與思維的主體性。

在此基礎上，教師可以將題目中的有關條件推廣到具有一般性的f（x+m）=-f（x）、f（x+m）= [1f（x）]、 f（x+m）= - [1f（x）]，都可以得出f（x+2m）= f（x），即函數f（x）為周期函數，并可求得其最小正周期。在之后的解題中，學生便可以從函數題隱式條件的恒等變形中發現函數是周期函數，并且求得最小正周期。

解決此類問題的實質，就是要對已知條件中的函數恒等式進行變形，快速找出隱藏在條件中的函數特點（即周期性），從而把待求的函數值轉化為已知條件中的值的組合。如此解決，可提高學生準確把握題目本質的能力。

二、激活學生的數學知識，發展其簡化運算過程的能力

運算能力是學生所要掌握的數學能力之一，也是解決數學問題必備的基本能力。函數問題常與大量的計算相關，直接計算會導致時間的浪費和準確率的下降。所以，教師在函數習題的教學中，應引導學生掌握并熟練運用函數的相關概念，讓運算過程得以簡化，提升做題的速度和正確率。

例2：已知函數f（x）=（2x2-4x+3）（ex-1-e1-x）-2x+1在[0，2]上的最大值為M，最小值為m，則M+m= ? 。

師：由于函數f（x）的解析式較為復雜，我們無法通過畫圖來解決問題，觀察到條件中ex-1和e1-x這一結構以及函數f（x）的定義域，我們可不可以試著把解析式中的x-1看成一個整體t，利用換元，得到一個形式上簡單一點的新函數？

生：可以！這時f（x）可轉化為f（x）=[2（x-1）2+1]（ex-1-e1-x）-2（x-1）-1。令t=x-1，則t的取值范圍為[-1，1]，于是得到新函數g（t）=（2t2+1）（et-e-t）-2t-1，t∈[-1，1]。

師：請同學們仔細觀察這個函數有何特點。

生：這個函數的定義域關于原點對稱，我們可以嘗試從函數的奇偶性這一性質入手來解決問題。令G（t）=（2t2+1）（et-e-t）-2t，則G（t）=g（t）+1。因為G（-t）=-G（t），根據函數奇偶性的定義可得G（t）為奇函數，所以G（t）在[-1，1]上的最大值與最小值之和為零，即得M+m=-2。

師：函數的奇偶性是函數的一個重要性質，解決與此有關的問題時要特別注意觀察題目中所給函數的特點，進行適當的變形，挖掘隱藏條件，還原函數原本的面目。因此，同學們處理數學問題時一定要學會透過現象看本質，這樣往往可以避免煩瑣的計算。

在這個問題中，教師激活了學生關于函數奇偶性的知識，通過換元以及恒等變形，簡化了運算，同時也強化了學生對概念的運用。數學解題的關鍵在于解題方法的選擇、過程的簡潔和答案的正確。運算能力的提高，一直是中學數學教學中的重點目標，教師可以通過設置各種不同的問題情境，不斷強化學生的數學思維意識，從不同的途徑和渠道提高學生的運算能力。

三、幫助學生建構數學概念，實現其轉化與化歸的能力

數學概念的形成經歷了歸納、概括、抽象的過程，呈螺旋上升性。因此，在問題中呈現概念將會使學生對概念的理解上升到一個新的高度，從感性到理性，從對書本的靜態認識到直觀、動態化思維，更好地領悟并建構數學概念，進而在探究分析問題時靈活應用，化非常規為常規，化未知為已知，化復雜為簡單，化陌生為熟悉，提高解決問題的能力。

例3：已知函數f（x）=x-asinx，對任意的x1，x2∈（-∞，+∞），且x1≠x2，不等式[f（x1）-f（x2）x1-x2]>a恒成立，則實數a的取值范圍是 ? ?。

師：題目已知條件中的不等式[f（x1）-f（x2）x1-x2]>a是一個含雙變量的不等式，請大家觀察它的結構特點，想一想，你準備如何轉化這個條件？

生：因為對任意的x1≠x2，這個不等式恒成立，我們不妨設x1>x2，則不等式[f（x1）-f（x2）x1-x2]>a可變形為f（x1）-ax1>f（x2）-ax2。

師：這樣變形的目的是什么？

生：這樣我們就可以構造出新函數g（x）=f（x）-ax=x-ax-asinx，因為對任意的x1>x2都有g（x1）>g（x2），所以g（x）在R上為增函數，即g′（x）=1-a-acosx≥0恒成立，整理得（1+cosx）a≤1，再用分類討論和參變分離的方法即可求出a的范圍。

師：本題我們利用雙變量同形構造出了一個新函數g（x），由函數單調性的定義得到該函數在R上單調遞增，再根據定義的等價形式將所求問題轉化成“g′（x）≥0在單調區間上恒成立”的問題來求解，利用導數來研究函數的單調性。

諸如此類的問題在數學教學中很多，由于數學具有應用廣泛性以及思維靈活性等特點，對問題的解決方法就不局限于一種，但總的思維模式是應用相關概念來對欲求解的問題進行轉化，化為有利于問題解決的一面。

在課堂教學中，利用練習題深化學生對數學概念的理解，有助于引導學生進行深度學習，從解題、聽題的過程中獲得學習的樂趣;從多方面、多渠道進行思考，使學生的思維獲得全面的發展;教師幫助學生從不同的角度重新審視數學的應用性與分析問題、解決問題的靈活性，使學生在問題的解決中獲得心理滿足感，進而提升學習數學的信心與問題解決的能力。

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