相機選用“有挑戰的問題”驅動新知探究

李庾南　劉東升

【摘 要】在課堂教學中要基于學情相機提出一些“有挑戰的問題”，把學生的思維卷入新的問題中，激發學生探索新知的興趣。初中階段反比例函數圖象和性質的教學進程中，找準學生“最近發展區”，相機改變之前研究函數圖象的“序”，讓學生先由“式”想“形”，再舉例畫圖、驗證猜想。實踐表明，這樣教學是符合九年級學生認知特點的，有利于對學生高階思維的培養。

【關鍵詞】反比例函數;單元教學起始課;教學設計

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）03-0030-03

【作者簡介】1.李庾南，江蘇省南通市啟秀中學（江蘇南通，226600）教師，正高級教師，江蘇省特級教師;2.劉東升，江蘇省南通市教育科學研究院（江蘇南通，226600）教研員，高級教師。

“反比例函數”的單元教學起始課是很多教研活動經常選用的一個課題。基于對“重組教材”的認識，很多教師都不再“照本宣科”（只講教材上“反比例函數”的概念及相關概念，然后安排一些價值不大的練習），而是運用幾個情境問題快速引出反比例函數的概念之后，就組織學生進入對反比例函數圖象和性質的研究。那樣做固然很好，但有沒有更好的方法呢？筆者曾提出反比例函數圖象的教學不必再模仿八年級初學函數圖象時“列表、描點、連線”的機械做法，可以讓學生先舉例研究一個特殊的反比例函數（如y=[6x]），學生認真觀察反比例函數解析式的特點，由“式”想“形”，畫出圖象，驗證猜想，然后再結合幾何畫板驗證反比例系數對反比例函數圖象的影響，最后梳理、完善反比例函數的圖象和性質。[1]

最近一次教研活動中，我們基于承辦學校南通市啟秀中學的學情，對教學設計又做了一些改進。下面，筆者從本節課的教學設計及過程出發，進一步闡釋在課堂中設計“有挑戰的問題”的教學立意，希望可以與廣大教師進行探討。

一、反比例函數單元教學起始課教學設計

1.教學目標。

（1）認識反比例函數是描述具有反比例變化規律的數學模型;（2）自主運用研究函數的經驗和方法，探究反比例函數的圖象和性質;（3）理解反比例函數的圖象和性質。

2.教學重點與難點。

重點與難點：探究反比例函數的圖象和性質。

3.教學過程。

活動1：結合具體情境，構建反比例函數的概念。

師：請同學們分析下列問題中的兩個變量之間的關系。

問題1：距離為100 km，平均速度v與運行時間t之間的關系。

問題2：矩形面積為6，矩形長y與寬x之間的關系。

【教學組織】安排學生說出上述問題中兩個變量之間的關系：對于一個變量的每一個確定的值，另一個變量都有唯一確定的值與它對應。這說明兩個變量之間具有函數關系，函數解析式可列為y= [k/x]（k為常數，且k≠0），引出反比例函數的概念。

活動2：探究反比例函數的圖象特征和性質。

師：同學們之前已研究過正比例函數、一次函數、二次函數的圖象特征和性質。接下來該如何研究反比例函數的圖象和性質呢？

生：列表、描點、連線。

師：這樣做當然是可行的，但為了讓我們對反比例函數圖象的研究更加高效，可以先觀察反比例函數解析式的特點，由“數”猜想“形”，最后再來畫圖驗證。觀察反比例函數的解析式，同學們有什么發現呢？

（學生進行自主探究與思考。）

生1：我發現了解析式y=[k/x]（k為常數，且k≠0）的自變量x和函數y的取值范圍及相互關系。其中x≠0且y≠0，k>0時，x和y同號;k<0時，x和y異號。

生2：從“以（x，y）為坐標的點”的位置可以看出，反比例函數的圖象應該不會經過原點，而且這些點不可能在坐標軸上，k>0時，點分別位于第一或第三象限。

生3：k<0時，點分別位于第二或第四象限。

生4：連接這些點所成的圖形是斷開的。

生5：反比例函數的圖象應該是關于原點對稱的。

師（追問）：你是如何想到的？

生5：我是舉例驗證的，比如y= [6/x]中，當x=1時，y=6;當x=-1時，y=-6;它們對應的點（1，6）和（-1，-6）就是關于原點對稱的。

師：同學們的發現太豐富了！接下來我們來實踐操作，驗證同學們的分析與猜想。在k>0時，就取學生剛剛提到的k=6，用描點法研究y= [6/x]的圖象和性質。請同學們完成下面的表格。（見表1）

【教學組織】教師在學生列表之后引導學生觀察表格中數據的特點，驗證學生的分析和猜想。之后，教師進一步引導學生分析表格中的數據，得出結論：在k>0的前提下，x<0時，y隨x的增大而減小;x>0時，y隨x的增大而減小。對應著圖象特征：在k>0的前提下，反比例函數圖象分別位于第一和第三象限內，并且在每一個象限內，圖象從左向右的趨勢是下降的，并且越來越靠近坐標軸，但不與坐標軸相交。接下來再安排學生描點、連線，得到反比例函數的圖象。（見圖1）

教師歸納反比例函數y=[6/x]的圖象和性質，板書“雙曲線”的概念。再運用幾何畫板演示k為其他正數時函數的圖象，讓學生發現、確認雙曲線的變與不變。最后概括、完善反比例函數y=[k/x]（k>0）的圖象和性質，并完善板書。完成以上教學內容后，教師可安排學生探究反比例函數y=- [6/x]的圖象和性質，這個過程可以根據學情快速推進，結合幾何畫板演示，幫助學生快速掌握反比例函數y=[k/x]（k<0）的圖象和性質。

活動3：課堂小結與布置作業

【教學組織】在這一環節，教師引導學生回顧本節課所學的內容，特別強調研究順序與以前學習一次函數時并不一致，總結研究函數圖象和性質的一般方法：分析函數解析式，研究自變量和函數的取值范圍，根據自變量和對應的函數值的特點，研究函數圖象的大致位置和特征，確定函數的增減性。最后完善并總結關于反比例函數的圖象和性質的“結構化板書”。（限于版面，板書及作業略）

二、對于教學立意的進一步闡釋

1.基于理解數學和理解學情，預設教學活動。

數學是一門前后聯系、邏輯連貫的學科，函數作為一個重要的數學分支，在初、高中數學教學中都是很重要的一部分。對函數的圖象和性質的學習，初中階段相對形象直觀，只要求學生能夠用“列表、描點、連線”的方法畫出“系數明確”的函數圖象，然后結合圖象說出該函數的特征和性質;而高中階段則比較抽象，函數解析式中的參數較多，這時教師需要引導學生認真觀察解析式的特點，先想象、推定函數的圖象和部分性質，最后再賦值驗證得出結論。基于上述對不同學段所學的函數的理解和承辦校學生的學習情況，教師從理解數學、理解學情出發，預設反比例函數單元教學策略，將教材中前兩個課時的內容重組為一個課時，并且在課堂上根據學情“相機”呈現反比例函數圖象和性質的研究“順序”。

2.設計“有挑戰的問題”，發展學生數學思維。

從教學實際看，在兩個情境問題的引導下，學生類比一次函數、二次函數的定義，能概括出反比例函數的定義及其圖象和性質。這樣“很順利的開課”卻不利于學生真正理解并掌握反比例函數，所以我們決定適當放慢教學節奏：沒有讓學生繼續類比一次函數的圖象研究順序（“列表、描點、連線”），而是提出“研究函數圖象的順序能否改變”這一問題，讓學生仔細觀察反比例函數解析式的特點，想象、猜想出反比例函數的圖象特征和部分性質后，再舉例驗證，減少了直接“列表、描點、連線”的方法的盲目性，提高了課堂教學的效率和質量。

單墫教授在《數學是思維的科學》一文中指出，“數學是思維的科學，應當在培養‘會思想’方面起更大的作用”[2]，并認為“不一定追求形式上的新，原有的內容也可以用新的觀點去考查，特別是應當進一步挖掘它們在培養思維方面的作用”。我們關于反比例函數單元教學的實踐表明：對于初中階段很多經典教學內容，如果用“新的觀點去考查”，就能發揮它們在培養學生思維方面的積極作用，讓學生學會思考，變得更有智慧。【參考文獻】

[1]李庾南，劉東升.反比例函數單元教學起始課教學研究[J].中學數學，2018（12）：3-5.

[2]單墫.單墫數學與教育文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：615-620.

1880500783339