在“正態分布”教學中滲透數學文化之美

范世祥

【關鍵詞】正態分布；教學價值；數學文化；數學美

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）91-0070-02

正態分布是概率論中重要的連續型概率模型。然而在高中階段，受學生知識水平的限制，正態分布的許多結論無法嚴格證明或直接計算，在教學中教師往往一帶而過。為挖掘該課題的內在教學價值，筆者深入研究教學內容，結合自身教學實踐，得出了以下認識與思考。

“正態分布”是“隨機變量及其分布”的最后一節，安排在隨機變量、離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差之后。從本節課的教學內容來看，重點是正態分布的概念及性質，難點是正態分布概念的形成與理解，尤其是正態分布密度函數解析式。從正態分布在數學中的地位以及正態分布的發展歷史來看，本節內容包含了巨大的應用價值與文化價值。因此，筆者認為本節課定位于數學文化課與研究課比較適宜。教師可以引導學生通過對正態分布相關知識的學習與課后研究，了解正態分布的發展歷程，認識統計學的重要性及其廣泛的應用，體會數學的博大精深與數學的美，培養學生的研究能力，提升學生的科學素養。

1.對此引入方式

筆者綜合了各版本教材“正態分布”這部分內容的引入方式，發現大體可以分成兩種。第一種是從具體實例出發，描述誤差數據的分布引入，引導學生認識誤差隨機變量的取值無法一一列舉；第二種是借助計算機模擬，以高爾頓釘板的演示引入，在問題的引導下，學生利用所學的統計學知識進行數據處理——從頻率分布直方圖到頻率分布折線圖再到總體密度曲線引出正態分布的密度曲線，從離散型到連續型過渡，使學生歷經形成對正態分布最直觀最初步的認識。

無論哪種引入方式，都突出了對數據的分析與處理，其目的在于培養學生的數據分析素養。兩種引入方式對數據分析從育人的價值上做了引領，并將其落實到三個方面：一是提升學生主動獲取信息、定量分析的意識和能力；二是形成通過數據認識事物的思維品質；三是積累基于數據的活動經驗。

2.優化內容生成

本節課的內容主要分為兩個部分，第一部分是正態分布概念的形成，第二部分是正態曲線的性質探究及應用。對于第二部分，從正態分布密度函數的解析式出發，結合數學軟件等工具，學生不難獲得正態曲線的特點并能利用[3σ]原則解決相關問題。

正態分布的概念有三個層面，第一是直觀層面，鐘形曲線就是或近似地是正態曲線；第二個層面是從實例的特征理解怎樣的隨機變量服從或近似服從正態分布；第三個層面是正態分布密度函數[φμ，σ（x）]= [12πσe- （x-μ）22σ2]，[x∈（-∞，+∞）]的獲得，這一層面恰恰是學生感到最為困惑的。如何讓學生更清晰、準確地理解正態分布的概念，筆者認為可以嘗試以下三個步驟的教學。

第一，演示高爾頓釘板試驗，借助數據分析作圖首先可以使學生得到第一層面中對“鐘形曲線”的認識；再通過分析高爾頓釘板試驗結果以及其他實例引導學生得到第二個層面中對“眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和”的理解，并從實例中數據的均值與離散程度明確均值[μ]與標準差[σ]是正態分布中最重要的兩個參數，為第三個層面的突破做準備。

第二，結合正態曲線圖象在x軸上方以及其對稱性引導學生大膽猜想密度函數解析式的大致形式。

第三，教材以小貼士的方式提出了棣莫弗利用[n！]的近似公式得到正態分布。教師可以展示[n！]的近似公式，即斯特林（Stirling）公式：[n！≈2πn（ne）n]。學生在了解這些背景后就不會對[φμ，σ（x）]解析式的出現感到困惑與茫然了。

3.感悟數學之美

當正態分布密度函數[φμ，σ（x）=12πσe-（x-μ）22σ2]，[x∈（-∞，+∞）]很自然地一步步被呈現出來，學生可以從中感受到數學家們探索知識的過程，還可以欣賞這個解析式內在的數學美，這個式子完美地包含了數學中美麗的“五朵金花”：圓周率[π]、自然對數的底數[e]、最小質數的算術平方根[2]、均值[μ]、標準差[σ]。

本節課從結構上是“一條線索”——隨機誤差試驗的探究；從內容上有“兩個部分”——正態分布的概念、正態曲線的性質與應用；在正態分布概念的認識上有“三個層面”——圖形、特征、密度函數；貫穿教材及正態分布發展史有“三個人物”——高爾頓、棣莫弗、高斯；最后盛開的是“五朵金花”——[π ， e ， 2 ， μ ， σ]。筆者認為，正確地理解和把握以上內容，對于這節課的教與學是十分必要的。

高中數學教師用書上建議本節課以一課時完成，在一個課時內完成這樣的教學任務，使得學生既掌握正態分布的相關知識又能感受到其中所蘊含的豐富文化歷史背景還是比較困難的。如何利用好這節課的文化價值？筆者認為可以布置研究性學習的任務，先讓學生搜集正態分布的起源、發展、應用等相關數學素材，再分組合作寫成研究報告，最后選擇一些出色的小組在課堂上給全班同學做展示。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數學是人類文化的重要組成部分，高中數學課程應提倡數學的文化價值。筆者認為這節課的價值在高考之外，教師認真對待這節課，可以開拓學生的視野，對學生數學素養的提升有著很多益處，同時也可促進教師自身的專業發展。

（作者單位：江蘇省太倉高級中學）