一類含有兩個(n-1)-圈的三色有向圖本原指數

羅美金, 盧鈺松, 韋玉程

(河池學院 數理學院, 廣西 宜州 546300)

1 預備知識

若D是包含紅弧、黃弧和藍弧的有向圖，則稱D是一個三色有向圖.若D中每一對頂點(i,j)都存在從i到j的途徑，則稱D是強連通的.給定D中的一條途徑ω，若用r(ω)，y(ω)和b(ω)分別表示ω中紅弧、黃弧和藍弧的數目，稱ω為一條(r(ω),y(ω),b(ω))-途徑，則ω這條途徑的分解是向量(r(ω),y(ω),b(ω))或(r(ω),y(ω),b(ω))T[1].

一個三色有向圖D是本原的，當且僅當存在非負整數h，k和v，且h+k+v>0，使得D中的每一對頂點(i,j)都存在從i到j的(h,k,v)-途徑，h+k+v的最小值即為三色有向圖D的本原指數，記為exp(D)[1].

設C={γ1,γ2,…,γl}是D的圈集合，定義D的圈矩陣M是一個3×l矩陣，它的第i列是γi的分解.M的content(記為content(M))定義為0如果M的秩小于3，否則定義為M的所有非零3階主子式的最大公因數[2].

引理1[2]一個至少包含一條紅弧、一條黃弧和一條藍弧的三色有向圖D是本原的，當且僅當D是強連通的，且content(M)=1.

非負本原矩陣簇指數的研究是矩陣組合理論中一個嶄新的研究課題，是非負本原矩陣對指數問題的深化，更是單個非負矩陣概念的推廣，是國內外研究的熱點問題.當前，關于傳統單個非負本原矩陣、本原矩陣對的指數已經取得了不少成果[1,3-4]，而對于具有代表性的非負本原矩陣簇指數的研究因情況復雜，可能性多，計算量大等因素造成大部分問題都未得到解決，成果甚少[2,5-9].

本文將非負矩陣簇與其伴隨有向圖建立關系，在文獻[6]的基礎上，進一步討論至少包含一條紅弧、一條黃弧和一條藍弧的三色有向圖D，給出了a=c時的本原情況，并借助maple計算指數上界及刻畫極……