Frobenius擴(kuò)張下的W⊥-Gorenstein內(nèi)射性

宋 維

(浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室, 浙江 杭州 310053)

文中的環(huán)R,S均指帶有單位元的環(huán),若非特別指出,R-模均指右R-模,Mod-R表示所有右R-模構(gòu)成的模范疇,idR(M)表示MR的內(nèi)射維數(shù),r.gldimR表示環(huán)R的右整體維數(shù).

傾斜理論是代數(shù)表示論中的最基本也是最重要的內(nèi)容之一,其最本質(zhì)的研究對象就是傾斜模以及由傾斜模誘導(dǎo)出的一些子模范疇之間的對應(yīng).廣義傾斜模(也稱Wakamastu傾斜模[1])首先由Wakamastu[2]提出廣義傾斜模(也稱Wakamastu傾斜模[1]).一方面,廣義傾斜模具有很多和傾斜模類似的性質(zhì)；另一方面,一個和廣義傾斜模相關(guān)的Artin代數(shù)表示論中的著名的同調(diào)猜想,稱之為Wakamastu傾斜猜想(WTC),與表示論中其他著名猜想密切相關(guān).例如,可以利用著名的有限維猜想推出Wakamastu傾斜猜想,利用Wakamastu傾斜猜想可以推出Gorenstein對稱猜想和廣義Nakayama猜想等[1,3-4].

目前,關(guān)于Gorenstein同調(diào)代數(shù)的研究已有許多結(jié)果.作為Gorenstein內(nèi)射模的推廣形式,Ouaighi[5]定義了X-Gorenstein內(nèi)射模類,這里的X指的是包含內(nèi)射模類的一個模類.這種模類統(tǒng)一了一些重要的同調(diào)模類,事實(shí)上,若令X為所有內(nèi)射模的類,則X-Gorenstein內(nèi)射模即為經(jīng)典的Gorenstein內(nèi)射模.Meng等[6]給出這類模許多重要的性質(zhì).

環(huán)擴(kuò)張理論中,一類重要的環(huán)擴(kuò)張為Frobenius擴(kuò)張,它是Frobenius代數(shù)的一種推廣,它在代數(shù)表示論、結(jié)構(gòu)理論以及拓?fù)淞孔佑蚶碚撝芯兄匾饔肹7-10].Frobenius擴(kuò)張的研究通常會和可分?jǐn)U張聯(lián)系在一起,即是可分的Frobenius擴(kuò)張,其基本的例子是群代數(shù)在其具有有限指數(shù)的子群代數(shù)上的擴(kuò)張,更多的例子可參見文[11,例2.4].

1 W⊥-Gorenstein內(nèi)射模

首先回顧廣義傾……