L2空間中復(fù)合算子乘積的基本性質(zhì)

周澤華, 蘆慧強(qiáng), 周 航

(1. 天津大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 天津 300350; 2. 天津城建大學(xué) 理學(xué)院, 天津 300384)

復(fù)合算子理論是線性算子理論的一個(gè)重要分支，該理論有將近六十年的歷史. 復(fù)合算子理論研究的開端可以追溯到1968年E.Nordgren的研究[1]，但該理論自1987年才被學(xué)者們大量研究. 其中單位圓盤上不同解析函數(shù)空間上的復(fù)合算子以及加權(quán)復(fù)合算子在過去的幾十年中被學(xué)者們廣泛研究.關(guān)于解析函數(shù)空間上的復(fù)合算子理論，詳情參見由Cowen和Maccluer所寫的著名書籍[2].

復(fù)合算子理論還有另一研究分支，即定義在σ-有限的L2空間上的復(fù)合算子理論.該理論也是線性算子理論的一個(gè)重要分支，在遍歷理論[3]中起到重要作用.L2空間上的有界復(fù)合算子，首先由Nordgren[4]在1978年所研究，并逐步形成了完整的理論體系.在這一體系中，包含了L2空間上有界復(fù)合算子的正規(guī)性、次正規(guī)性、半正規(guī)性等重要性質(zhì).這些性質(zhì)至今仍為學(xué)者們的研究重點(diǎn).

下面簡單介紹這一理論體系：令(X,A,μ)是一個(gè)σ-有限的測度空間.由所有平方可積的復(fù)值函數(shù)構(gòu)成的Hilbert空間，通常用符號(hào)L2(X,A,μ)表示, 簡寫L2(μ).一個(gè)X到自身的映射φ:X→X通常被稱為X上的變換.

本文稱φ:X→X是一個(gè)A-可測的變換如果φ-1(A)?A,其中φ-1(A)={φ-1(Δ):Δ∈A}.

令μ°φ-1表示σ-代數(shù)A上的測度.它的定義由如下表達(dá)式給出

μ°φ-1(Δ)=μ(φ-1(Δ))

其中：Δ∈A.本文稱φ:X→X是集合X上的一個(gè)非奇異變換如果μ°φ-1關(guān)于μ是絕對(duì)連續(xù)的，即

μ°φ-1?μ

對(duì)于一個(gè)非奇異變換φ,復(fù)合算子Cφ:D(Cφ)→L2(μ)被定義為

Cφf=f°φ,f∈D(Cφ)

其中:D(Cφ)={f∈L2(μ):f°φ∈L2(μ)}表示Cφ的定義域.

本文斷言：若復(fù)合算子Cφ是良好定義的，則變換φ是非奇異的.事實(shí)上，這個(gè)論斷容易……