立序：數學教學的有效預設

李佳（江蘇省蘇州市滄浪實驗小學校 215000）

數學課堂是“預設”與“生成”的統一體。精心預設，是為了更好的生成。預設，關鍵就是要處理兩方面的問題：其一是教學的內容；其二是教學的形式。豐富教學內容，關鍵在于選材，而優化教學形式，關鍵在于立序。而無論選擇怎樣的素材，都有一個立序的問題。從某種意義上說，立序決定著教師的教學效能。通過立序，讓教師的教學目標、內容以及認知過程形成一致。

一、立序：依據數學的學科知識

陶行知先生所說：“千教萬教，教人求真；千學萬學，學做真人。”立序，關鍵是要依據數學學科知識的特質展開。立序，從組織形態來說，包括兩方面的內容：一是立學習內容組織之序，二是立學習素材組織之序。學習內容組織之序，就是要根據數學知識的誕生的先后過程，安排數學知識的學習順序。

比如，教學《認識體積》這一部分內容時，我們循著數學知識的演變順序，設計研發相關的任務，對學生的數學學習導學。其一是讓學生認識到物體總是占有一定的空間，其二是讓學生認識到物體所占有的空間有大有小。在此基礎上引導學生建構“體積”概念，即物體所占空間的大小叫作物體的體積。在這個過程中，教師組織學生展開數學實驗，也應該是非常有層次性、次序性的。如在引導學生認識“物體所占有的空間有大有小”這一環節，教師可以預設這樣的幾個步驟：其一是讓學生直觀感知物體所占有的體積有大有小，如一些排列的規則形體；其二是一些不規則的形體所占有的空間，可以采用一種等體積轉化的方法；其三是一個物體的形狀改變、但體積保持不變等。這樣的一種多維度的層次性的設計，能讓學生建立“體積”這樣的一個抽象性、形式化的概念。在這個過程中，可以直接比較大小、可以通過計數比較大小、可以通過等體積變形比較大小以及通過自身形狀的改變而體積不變等的“有序組織”，使學生對體積的概念的理解更加立體、豐富和全面。

二、立序：依據學生的具體學情

學生的具體學情是教師有序預設教學的又一個重要的依據。即使對于同一個數學教學內容，面對不同的學生，其設計邏輯、設計起點、設計序列是不同的。教師應當尋求最優化的設計序列，以便讓教學能切入學生數學學習的“最近發展區”，以便引導學生從“現實發展水平”提升至“可能發展水平”，讓學生“跳一跳摘到桃子”。順應學生的具體學情而有序設計的教學預案，能讓教學預設更富有針對性、實效性。

比如，教學《加法交換律》這一部分內容時，我們發現教材是這樣編排的：在《加法交換律》之后安排了《加法結合律》，在《加法結合律》之后安排了《乘法交換律》。盡管這樣的一種編排方式體現了知識的邏輯性、結構性和系統性，但從學生的學習心理需求看，我們認為將《加法交換律》和《乘法交換律》放置在一起比較科學。在深入研究《加法交換律》之后，學生會積極地調動相關的數學活動經驗、思想方法、學習方法等，主動猜想、驗證其他運算的交換律，包括乘法交換律。通過有序研究，學生對“交換律”這一知識本身就會形成比較深刻的認知：即應用交換律應當連同數字前面的符號一起進行交換，而不是簡單地交換加數、減數、乘數和除數等。如此，學生就能深刻地認識到，加法交換律同樣可以應用在減法算式上，乘法交換律可以應用在除法算式中。這樣的一種有序性的教學預設，更加地符合學生的具體學情，更加切入學生的認知區域，更符合學生的認知序列，因而更能啟發學生思考、引導學生探究。依據學生的具體學情而展開的一種有序教學預設，是一種有效的教學預設。

數學學科知識邏輯是一種客觀的邏輯，但學生的具體學情卻是有差異性的。基于具體學情，有序教學，力圖“解放學生”。立序，就是要求教師的教學“不凌節而施”，而是能循序漸進、有序推進。立序教學，呼喚著教師不斷地對教學預設進行打磨，從而讓自我的教學預設更能匹配學生的數學學習，更能適應學生的數學學習。

三、立序：依據課堂的動態變化

“預設”與“生成”不是對立的矛盾體，而是一體兩面的統一體。從某種意義上說，預設與生成是相互轉化的。在課堂上，好的預設能促進生成，同時，好的生成又能反過來調適教學預設。有序性的教學預設，不僅要從數學學科本體性知識的邏輯、學生的具體學情出發，而且要關涉課堂瞬息萬變的情態。有序有效的課堂預設，要從課堂的動態變化出發，引導學生尋根問道、立本望遠。

比如，教學《認識公頃》這部分內容時，我們開始的教學預設是這樣的：先給學生一個定義，讓學生認識到一公頃就是一萬平方米。在此基礎上，引導學生展開關于公頃的體驗性活動，如讓28個學生圍成一個正方形。在課堂教學實踐中，我們發現，這樣的一種教學預設存在著兩方面的突出問題：一是學生盡管認識了一公頃等于一萬平方米，但不知道為什么這樣規定？二是盡管有了28個學生圍成一個正方形的活動，但這種形成的動態表象不能成為學生的解決問題的有效參照。為此，我們在另一個班上課時，針對課堂的動態生成，調整教學預設，讓這一部分內容的教學有序可循、有物可依。由此建構了以下的序列化教學預設：一是幫助學生厘清相關的面積單位知識方面的序，從平方厘米到平方分米，從平方分米到平方米，從平方米到平方十米（公畝），從平方十米（公畝）到平方百米（公頃），從平方百米（公頃）到平方千米。如此，學生就能深刻地理解相鄰兩個面積單位之間的進率是一百。這樣的一種有序性的教學預設，讓學生充分地、深刻地認識到規定“一公頃等于一萬平方米”的合理性；二是引導學生將靜態參照與動態參照等結合起來。先讓學生直接感受、體驗，如組織28個學生圍成一個正方形；在此基礎上，在引導學生間接感知、推想，如學校中的一個操場、250間教室等。通過這樣的一種從直接到間接的有序設計，讓學生的數學問題解決獲得了多維參照，穩固了學生的表象。學生在實踐活動、問題解決的過程中能有效地調動自身的表象。

序，既是一種客觀性的存在，又是一種主觀性的理解。有序教學，不僅要遵循數學學科知識之序，更要尊重學生的認知之序。教學中，教師要認識“序”，理解“序”，實踐“序”，才能讓“序”在數學教學中真正地“立”起來。不同的理念會有不同的教學設計。有“序”的教學設計能打開學生的思維，讓學生的思考、探究更有序列性、步驟性。在數學教學中，“有序”與“無序”是辯證統一的。教師不僅要善于“立序”，更要善于“變序”“改序”“優序”。通過序列性的數學教學，讓學生的數學學習從低階邁向高階、從膚淺走向深刻，讓學生的數學學習深度發生。