淺談對高三學生數學思維品質的培養

摘 要：文章立足高三數學教學，通過探討數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想、等價轉化思想及基本數學方法的應用，以培養和提高學生解決問題的能力，促使學生的數學思維品質的發展。

關鍵詞：高中數學;復習教學;思維品質

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-9192（2022）03-0064-03

引? 言

高三學生不同程度地存在重資料輕課本、重考法輕學法、重巧法輕通法、重知識輕能力的現象，往往忽視對基礎知識、基本技能的掌握和運用，因而造成了自身分析問題和解決問題能力的相對薄弱，備考心理素質較差，考試成績不理想等情況。針對上述情況，高三數學教師在復習教學中除了要繼續抓緊抓好課本的使用和對《全日制普通高級中學數學教學大綱（試驗修訂版）》（以下簡稱《教學大綱》）的研究，把握正確的復習方向和迎考策略，努力夯實學生的基礎外，還應加強和提高學生在教學活動中的參與意識與思維品質。

筆者在多年的高三教學實踐中始終堅持“重三基，織網絡，抓訓練，提能力”，把培養和提高學生的參與意識和思維品質放在重要位置。在課堂教學中，筆者努力體現以教師為主導、學生為主體、訓練為主線的指導方針，本著“精、活、透、準、新”的原則，全方位、高層次優化課堂教學結構，并加大對學法指導的力度，取得了較好的教學效果。下面僅就高三數學教學中如何培養和優化學生的思維品質談一下個人的體會。

一、引導學生掌握數形結合的基本方法，培養學生思維的靈活性和獨創性

數學是研究客觀世界的空間形式和數量關系的科學，數是形的抽象概括，形是數的直觀表現[1]。數學問題的思考應從數與形的聯系入手，教師應充分重視并發揮學生的主體作用，最大限度地調動學生的參與意識，這樣的課堂教學才會張揚個性、激活思維，課堂上才會出現簡捷、高效的解題思路，學生的創造性思維品質才能真正得到發展。

數形結合的方法主要有圖像法、坐標法、構造法、綜合法等。數形結合的基本思路是以形助數、以數質形、數形結合。數形結合的本質是建模。

以形助數，就是已知某一數學問題的幾何圖形，尋求這一圖形所對應的代數表示。這一代數表示可能是方程，也可能是不等式。以形助數的應用，對學生的思維層次和知識水平要求不是很高，因此在教學中問題不是很大。

以數質形，就是已知某一數學問題的代數特征，探尋在該代數特征下，原數學問題中所包含的幾何解釋及其轉化規律。這是教學的重點，也是難點，教師在教學中應花大力氣去研究、探討和總結，使學生真正能夠理解和感悟以數質形這種轉化過程的本質和規律，從而真正提高學生的思維水平。現舉兩例加以說明。

例1：若，則的最小值是（? ?）。

A.? ? ? B.? ? ? C.? ? ?D.1

【分析】此題難度不大，但學生往往從原方程出發解出，代入，然后由配方求解，這樣處理問題比較麻煩。若學生能發散思維，視為直線L，那么就表示直線L上任意一點P到原點的距離，求的最小值實際上就轉化為求L上任意一點P到原點（0，0）的最短距離d，這樣就可求得d==，答案是A。

例2：當1<a<b時，求證ab-1>ba-1.

【分析】直接證明有困難，稍做變形，情況會怎樣呢？兩邊取對數，即證（b-1）lga>（a-1）lgb，由于b-1>a-1>0，于是上式改寫為>，由于lg1=0，此式即為，這讓我們聯想到斜率公式，若我們構造函數，考慮到1<a<b，畫出如圖1所示的圖像： 其中A（a，lga ），B（b， lgb），C（1，0），易證KAC>KBC，于是有，從而原不等式得證。

從以上兩例的求解過程可以看出，有些數學問題中的幾何背景并不是一眼就能從題設中看出的，教師在教學中要注意引導學生思維的分層遞進和相關知識的有機滲透，這樣才能找到問題的本質，從而有效解決問題。同時，數到形的轉化要求學生具備敏銳的觀察力、豐富的聯想能力、靈活遷移知識的能力。教學中，教師要有計劃、有步驟、有重點地培養學生的這三種能力。

因此，在高三數學復習教學中，教師應多通過具體典型實例的講解與分析，使學生體會到自己的主體參與意識和大膽探究行為對獲取知識與解決實際問題的重要性，進而激發學生的求知欲，使他們形成強烈的數形結合意識，從而提高學習效率。

二、通過函數、方程、不等式知識的整合與方程思想應用的訓練，培養學生思維的深刻性與廣闊性

函數是高中數學的一條主線，著名數學家克萊因曾說：“一般教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變量和函數來思考。”這就告訴數學教師必須把函數思想滲透到教學的各個方面，更好地為解題教學服務。為此，在高三數學復習教學中，教師應帶領學生做到以下三點：第一，厘清函數、方程、不等式三者間的聯系;第二，明確函數與方程的關系;第三，學會用函數方法解決方程問題。通過第一點學生會明確認識到：函數是整體，不等式是部分，方程是個體，可以結合二次函數的圖像來認識。通過第二點和第三點學生明確認識以下內容：函數和方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系，一個函數若有解析表達式，那么這個表達式就可以看成一個方程;一個二元方程，兩個變量間存在某種對應關系，如果這種對應關系又是函數關系，那么這個方程也可以看作一個函數。一個二元方程，它的兩端可以看成函數，方程的解就是這兩個函數圖像的交點的橫坐標。因此，許多有關方程的問題也可以用函數的方法解決;反之，許多函數的問題也可以通過方程的方法解決。所以，在高三數學復習教學中，教師要積極引導學生領悟蘊含在數學問題解題過程中的函數與方程思想，使學生真正獲得方法的積累和能力的提高。此外，教師還要重視課本，強化對單元題組的訓練，進而提高學生的思維能力。

例3：已知關于x的方程sin2x+acosx-2a=0有實數解，求實數a的取值范圍。

【分析一】（二次函數圖像法）將原方程化為二次函數，結合函數圖像來考慮。

將方程變形為cos2x-acosx+2a-1=0? ? ? ? ①

令t=cosx，則方程①變為 t2-at+2a-1=0

設f（t）=t2-at+2a-1，t∈[-1，1]

由f（-1）f（1）≤0或

解得：0≤a≤4

【分析二】（變量分離法）在帶參數的一元方程中，參數a與變量x之間必存在一個對應關系，這個關系如果是的函數關系，那么關于x的方程有實根時，求參數a的取值范圍可轉化為求實函數a=的值域，將方程① 變為

≤=，當且僅當2-cosx=時，（2-cosx）+ 有最小值， 所以a的取值范圍為。

通過上述一題多解的求解分析可以看出，函數、方程、不等式是互相包容和有機滲透的，而方程思想在高中數學的各個分支都有廣泛的應用，因此在高三數學復習教學中，教師應充分引導學生理解和重視函數、方程、不等式三者間的依賴關系及相關轉化原理，深入挖掘和探討數學問題中各題設間的內在聯系，并靈活運用方程思想去解決問題，這對學生思維品質的發展是非常有益的。

三、啟迪學生想象思維，培養學生思維的多向性和創造性

思維的多向性是指思維的發散性和求異性，即善于從不同的方位、不同的層次去考慮問題，或從同一條件下得出多種不同的結論。創造性思維形成于發散思維后的收斂思維中，可見發散思維是創造性思維的核心。數學教學中對學生思維多向性的培養，一般的做法是以問題解決為核心，啟迪學生多層次觀察，多方面聯想，多角度探索，多途徑獲解。

例4：已知b>a>0，m>0，求證.

關于它的證明，順向思維和逆向思維將產生以下作差法、作商法、分析法、反證法四種常規證明方法。

在學生明確了上述常規證明方法后，為了進一步拓寬學生的知識視野，強化數學思想方法，活躍不等式的證明思路，教師引導學生給出以下兩種非常規證明方法，也是非常有益的。

證明1（函數構造法）：由與的類比，構造單調遞增函數（x∈R+），于是0<x1<x2<+∞時，

∴f（x1）<f（x2）

∴f（x）在R+上是增函數，進而f（x）在當x≥0時，也是增函數

∴令x1=0，x2=m，得

證明2（解析構造法）：將與解析幾何中的斜率公式類比，于是構造圖2，在平面直角坐標系xOy中，設A（b，a），B（-m，-m）， KOA=，? KBA=，設AB與x軸交于點C，則∠ACX >∠AOC，tg∠ACX > tg∠AOC，

從例4的這兩種證法中可以看出，引導學生認識和活用基礎知識，善于類比聯想，注重轉化與化歸思想的滲透，是創造性、多向性解決數學問題的關鍵。

結? 語

因此，在高三數學復習教學中，教師應幫助學生正確認識思維品質的發展對學好高中數學的重要性，這樣學生才會在重視知識掌握的同時自覺主動地開展以思維創新、思維批判、思維發展等為內容的學習活動。教師也應堅持不懈地進行以思維點撥、思維探究、思維升華等為目標的教學研究與實踐活動，使學生的思維品質向著更深層次發展。

[參考文獻]

吳莉娜.精設高三數學復習課 提升學生思維品質[J].數學之友，2013（08）：75-77.

作者簡介：王建軍（1964.3-），男，甘肅張掖人，任教于甘肅省張掖市第二中學，中學高級教師，研究生學歷。